天津市大白高中2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末綜合測(cè)試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某班級(jí)有男生人，女生人，現(xiàn)選舉名學(xué)生分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書(shū)記和體育班委.男生當(dāng)選的人數(shù)記為，則的數(shù)學(xué)期望為（）A． B． C． D．2．歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線(xiàn)交曲線(xiàn)左支于A，B兩點(diǎn)，△F2AB是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若該雙曲線(xiàn)的離心率為e，則e2＝（）A． B． C． D．4．設(shè)全集U＝{|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，則集合?UA的子集的個(gè)數(shù)是（）A．16 B．8 C．7 D．45．已知函數(shù)，若在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知命題：，命題：，且是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．一個(gè)球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，則右邊程序框圖輸出的S表示的是（）A．小球第10次著地時(shí)向下的運(yùn)動(dòng)共經(jīng)過(guò)的路程B．小球第10次著地時(shí)一共經(jīng)過(guò)的路程C．小球第11次著地時(shí)向下的運(yùn)動(dòng)共經(jīng)過(guò)的路程D．小球第11次著地時(shí)一共經(jīng)過(guò)的路程8．若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件，且最大值為1，則的最大值為（）A． B． C． D．9．已知的二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為32，則二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A．5 B．10 C．20 D．4010．已知隨機(jī)變量的概率分布如下表，則（）A． B． C． D．11．下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上為減函數(shù)的是（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則對(duì)任意，下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用一塊半徑為2分米的半圓形薄鐵皮制作一個(gè)無(wú)蓋的圓錐形容器，若銜接部分忽略不計(jì)，則該容器的容積為_(kāi)_______立方分米.14．在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形的內(nèi)切圓周長(zhǎng)為，外接圓周長(zhǎng)為，則.推廣到空間幾何可以得到類(lèi)似結(jié)論：若正四面體的內(nèi)切球表面積為，外接球表面積為，則__________．15．在正四棱錐P-ABCD中，PA=2，直線(xiàn)PA與平面ABCD所成角為60°，E為PC的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)PA與BE所成角的大小為_(kāi)__________．16．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，且.(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)求證:當(dāng)時(shí)，.18．（12分）設(shè)函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若，，求a的取值范圍.19．（12分）已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程根.(1)求的值；(2)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足是實(shí)數(shù)，且，求復(fù)數(shù)的值.20．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若存在滿(mǎn)足，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．21．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足（）.（1）計(jì)算，，，并寫(xiě)出與的關(guān)系；（2）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.22．（10分）每年的4月23日為“世界讀書(shū)日”，某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)某校學(xué)生做了一個(gè)是否喜愛(ài)閱讀的抽樣調(diào)查，該調(diào)查機(jī)構(gòu)從該校隨機(jī)抽查了名不同性別的學(xué)生，現(xiàn)已得知人中喜愛(ài)閱讀的學(xué)生占，統(tǒng)計(jì)情況如下表喜愛(ài)不喜愛(ài)合計(jì)男生女生合計(jì)（1）完成列聯(lián)表，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有的把握認(rèn)為是否喜愛(ài)閱讀與被調(diào)查對(duì)象的性別有關(guān)?請(qǐng)說(shuō)明理由：（2）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)在從所有學(xué)生中，采用隨機(jī)抽樣的方法抽取位學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，求抽取的位學(xué)生中至少有人喜愛(ài)閱讀的概率，（以下臨界值及公式僅供參考），

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分析：先寫(xiě)出的取值，再分別求的概率，最后求的數(shù)學(xué)期望.詳解：由題得所以故答案為：C點(diǎn)睛：（1）本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力.(2)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望2、B【解析】,對(duì)應(yīng)點(diǎn),位于第二象限,選B.3、D【解析】

設(shè)，根據(jù)是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且，以及雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理求得的關(guān)系式，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)，如圖所示，因?yàn)槭且詾橹苯琼旤c(diǎn)的直角三角形，且，由，所以，由，所以，所以，即，所以，所以，，在直角中，，即，整理得，所以，故選D.本題主要考查了雙曲線(xiàn)的定義，以及雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求雙曲線(xiàn)的離心率(或范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可得的值(范圍)．.4、B【解析】因?yàn)椋裕系淖蛹膫€(gè)數(shù)是，故選B.5、D【解析】

首先判斷函數(shù)單調(diào)性為增.,將函數(shù)不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為普通的不等式,再把不等式轉(zhuǎn)換為兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系,利用圖像得到答案.【詳解】在定義域上單調(diào)遞增，，則由，得，，則當(dāng)時(shí)，存在的圖象在的圖象上方.，，則需滿(mǎn)足.選D.本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,解不等式,將不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖像關(guān)系等知識(shí),其中當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時(shí),是解題的關(guān)鍵.6、A【解析】

首先對(duì)兩個(gè)命題進(jìn)行化簡(jiǎn)，解出其解集，由是的必要不充分條件，可以得到關(guān)于的不等式，解不等式即可求出的取值范圍【詳解】由命題：解得或，則，命題：，，由是的必要不充分條件，所以故選結(jié)合“非”引導(dǎo)的命題考查了必要不充分條件，由小范圍推出大范圍，列出不等式即可得到結(jié)果，較為基礎(chǔ)。7、C【解析】結(jié)合題意閱讀流程圖可知，每次循環(huán)記錄一次向下運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)的路程，上下的路程相等，則表示小球第11次著地時(shí)向下的運(yùn)動(dòng)共經(jīng)過(guò)的路程.本題選擇C選項(xiàng).8、A【解析】

首先畫(huà)出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義得到，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得到的最大值.【詳解】由題知不等式組表示的可行域如下圖所示：目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，由圖易得，直線(xiàn)在時(shí)，軸截距最大.所以.因?yàn)椋矗?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取“”.故選：A本題主要考查基本不等式求最值問(wèn)題，同時(shí)考查了線(xiàn)性規(guī)劃，屬于中檔題.9、B【解析】

首先根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和，求得，再根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，求得，再求二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù).【詳解】因?yàn)槎?xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和，所以，又二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為=，，所以二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為．答案選擇B．本題考查二項(xiàng)式展開(kāi)系數(shù)、通項(xiàng)等公式，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解析】由分布列的性質(zhì)可得：，故選C.11、B【解析】

通過(guò)對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷得出答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：函數(shù)在既不是偶函數(shù)也不是減函數(shù)，故排除；對(duì)于選項(xiàng)：函數(shù)既是偶函數(shù)，又在是減函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)：函數(shù)在是奇函數(shù)且增函數(shù)，故排除；對(duì)于選項(xiàng)：函數(shù)在是偶函數(shù)且增函數(shù)，故排除；故選：B本題考查了函數(shù)的增減性以及奇偶性的判斷，屬于較易題.12、A【解析】

，可得在上是偶函數(shù).函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果.【詳解】解：，在上是偶函數(shù).函數(shù)，，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.，，.故選：A.本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性，不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先由題意得到半圓形的弧長(zhǎng)為，設(shè)制作的圓錐形容器的底面半徑為，求出底面半徑與圓錐的高，從而可求出結(jié)果.【詳解】半徑為2分米的半圓形的弧長(zhǎng)為，設(shè)制作的圓錐形容器的底面半徑為，則，則；則圓錐形容器的高為，所以容器的容積為.故答案為：本題主要考查求圓錐的體積，熟記圓錐的體積公式即可，屬于常考題型.14、【解析】分析：平面圖形類(lèi)比空間圖形,二維類(lèi)比三維得到,類(lèi)比平面幾何的結(jié)論,確定正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比,即可求得結(jié)論.詳解：平面幾何中，圓的周長(zhǎng)與圓的半徑成正比，而在空間幾何中，球的表面積與半徑的平方成正比，因?yàn)檎拿骟w的外接球和內(nèi)切球的半徑之比是，，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查類(lèi)比推理，屬于中檔題.類(lèi)比推理問(wèn)題，常見(jiàn)的類(lèi)型有：（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的類(lèi)比；（2）平面與空間的類(lèi)比；（3）橢圓與雙曲線(xiàn)的類(lèi)比；（4）復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的類(lèi)比；（5）向量與數(shù)的類(lèi)比.15、45°【解析】

先確定直線(xiàn)PA與平面ABCD所成的角，然后作兩異面直線(xiàn)PA和BE所成的角，最后求解．【詳解】∵四棱錐P－ABCD是正四棱錐，∴就是直線(xiàn)PA與平面ABCD所成的角，即＝60°，∴是等邊三角形，AC＝PA＝2，設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O，連接OE，則OE是的中位線(xiàn)，即，且，∴是異面直線(xiàn)PA與BE所成的角，正四棱錐P－ABCD中易證平面PAC，∴，中，，∴是等腰直角三角形，∴＝45°．∴異面直線(xiàn)PA與BE所成的角是45°．故答案為45°．本題考查異面直線(xiàn)所成的角，考查直線(xiàn)與平面所成的角，考查正四棱錐的性質(zhì)．要注意在求空間角時(shí)，必須作出其“平面角”并證明，然后再計(jì)算．16、【解析】

根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的表示方法算出即可.【詳解】由,則,所以故答案為：本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）推導(dǎo)出，解得，從而，由此能求出的值；（2）利用分析法，只需證，只需證，只需證，根據(jù)基本不等式即可得到結(jié)果．【詳解】(1)∵，∴，∴，解得，同理解得即；(2)要證時(shí)，，只需證，只需證，只需證，只需證，只需證，根據(jù)基本不等式得，所以原不等式成立．本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查數(shù)列的遞推公式、遞推思想等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．18、（1）；（2）.【解析】

（1）利用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值解不等式即可.（2）利用絕對(duì)值意義求出的最小值，使，解絕對(duì)值不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述：（2），本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，考查了分類(lèi)討論的思想，屬于基礎(chǔ)題.19、(1)(2)或.【解析】

（1）實(shí)系數(shù)方程虛根是互為共軛復(fù)數(shù)的，得出另一根為，根據(jù)韋達(dá)定理即可得解.(2)設(shè),由是實(shí)數(shù)，得出關(guān)于的方程，又得的另一個(gè)方程，聯(lián)立即可解得的值，即得解.【詳解】（1）實(shí)系數(shù)方程虛根是互為共軛復(fù)數(shù)的，所以由共軛虛根定理另一根是，根據(jù)韋達(dá)定理可得.（2）設(shè)，得又得,所以或，因此或w=.本題考查了實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對(duì)原理、根與系數(shù)的關(guān)系，復(fù)數(shù)的乘法及模的運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20、（1）或；（2）【解析】

（1）以為分界點(diǎn)分段討論解不等式。（2）原不等式可化為，由絕對(duì)值不等式求得的最小值小于3，解得參數(shù).【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，解得，即；當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，解得，即；當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，解得，即．綜上所述，原不等式的解集為或．由，即，得，又，，即，解得．所以。對(duì)于絕對(duì)值不等式的求解，我們常用分段討論的方法，也就是按絕對(duì)值的零點(diǎn)把數(shù)軸上的實(shí)數(shù)分成多段進(jìn)行分段討論，要注意分段時(shí)不重不漏，分段結(jié)果是按先交后并做運(yùn)算。21、（1），，；；（2）證明見(jiàn)解析，【解析】

（1）代入，和，計(jì)算得到，，，通過(guò)，得到與的關(guān)系；（2）根據(jù)（1）中所得與的關(guān)系，得到，并求出的值，從而得到是等比數(shù)列，寫(xiě)出其通項(xiàng)，再得到的通項(xiàng).【詳解】（1）由已知可得，時(shí)，，即，時(shí)，，即，時(shí)，，即.由（），得，兩式相減，得，即.（2）證明：由（1）得，且，∴，∴數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，