上海市崇明區2025年數學高二下期末經典模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過點的直線與函數的圖象交于，兩點，為坐標原點，則（）A． B． C．10 D．202．已知A＝B＝｛1，2，3，4，5｝，從集合A到B的映射滿足：①；②的象有且只有2個，求適合條件的映射的個數為()A．10 B．20 C．30 D．403．歐拉公式eix＝cosx＋isinx(i為虛數單位)是由瑞士著名數學家歐拉發明的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里非常重要，被譽為“數學中的天橋”．根據歐拉公式可知，e2i表示的復數在復平面中對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．從裝有4粒大小、形狀相同，顏色不同的玻璃球的瓶中，隨意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），則倒出奇數粒玻璃球的概率比倒出偶數粒玻璃球的概率（）A．小 B．大 C．相等 D．大小不能確定5．如圖是求樣本數據方差的程序框圖，則圖中空白框應填入的內容為（）A． B．C． D．6．設集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|2﹣x＞0},則A∩B＝（）A．[﹣3，2） B．（2，3] C．[﹣1，2） D．（﹣1，2）7．當取三個不同值時，正態曲線的圖象如圖所示，則下列選項中正確的是（）A． B．C． D．8．從一個裝有3個白球，3個紅球和3個藍球的袋中隨機抓取3個球，記事件為“抓取的球中存在兩個球同色”，事件為“抓取的球中有紅色但不全是紅色”，則在事件發生的條件下，事件發生的概率（）A． B． C． D．9．已知、為雙曲線C：的左、右焦點，點P在C上，∠P=，則A．2 B．4 C．6 D．810．已知雙曲線的焦點坐標為，，點是雙曲線右支上的一點，，的面積為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．11．設，則的虛部是（）A． B． C． D．12．橢圓的左焦點為，若關于直線的對稱點是橢圓上的點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在某項測量中，測量結果服從正態分布，若在內取值的概率，則在內取值的概率為.14．一個口袋里裝有5個不同的紅球，7個不同的黑球，若取出一個紅球記2分，取出一個黑球記1分，現從口袋中取出6個球，使總分低于8分的取法種數為__________種．15．有9本不相同的教科書排成一排放在書架上，其中數學書4本，外語書3本，物理書2本，如果同一學科的書要排在一起，那么有________種不同的排法（填寫數值）.16．投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形且側棱垂直于底面，側棱長是是的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的大小；18．（12分）已知函數，且.（Ⅰ）若是偶函數，當時，，求時，的表達式；（Ⅱ）若函數在上是減函數，求實數的取值范圍.19．（12分）已知等式.（1）求的展開式中項的系數，并化簡：；（2）證明：（ⅰ）；（ⅱ）.20．（12分）已知，R，矩陣的兩個特征向量，．（1）求矩陣的逆矩陣；（2）若，求．21．（12分）已知公差不為零的等差數列滿足，且，，成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）若，且數列的前項和為，求證：.22．（10分）某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日銷量（單位：千克）與銷售價格（單位：元千克）滿足關系式，其中，為常數，已知銷售價格為元/千克時，每日可售出該商品千克.（1）求的值：（2）若該商品的成本為元千克，試確定銷售價格的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

判斷函數的圖象關于點P對稱，得出過點的直線與函數的圖象交于A，B兩點時，得出A，B兩點關于點P對稱，則有，再計算的值．【詳解】，∴函數的圖象關于點對稱，∴過點的直線與函數的圖象交于A，B兩點，且A，B兩點關于點對稱，∴，則．故選D．本題主要考查了函數的對稱性，以及平面向量的數量積運算問題，是中檔題．2、D【解析】分析：將元素按從小到大的順序排列，然后按照元素在中的象有且只有兩個進行討論.詳解：將元素按從小到大的順序排列，因恰有兩個象，將元素分成兩組，從小到大排列，有一組；一組；一組；一組，中選兩個元素作象，共有種選法，中每組第一個對應集合中的較小者，適合條件的映射共有個，故選D.點睛：本題考查映射問題并不常見，解決此類問題要注意：（）分清象與原象的概念；（）明確對應關系.3、B【解析】

由題意得，得到復數在復平面內對應的點，即可作出解答.【詳解】由題意得，e2i＝cos2＋isin2，∴復數在復平面內對應的點為(cos2，sin2)．∵2∈，∴cos2∈(－1，0)，sin2∈(0，1)，∴e2i表示的復數在復平面中對應的點位于第二象限，故選B.本題主要考查了復數坐標的表示，屬于基礎題.4、B【解析】試題分析：四種不同的玻璃球，可設為，隨意一次倒出一粒的情況有4種，倒出二粒的情況有6種，倒出3粒的情況有4種，倒出4粒的情況有1種，那么倒出奇數粒的有8種，倒出偶數粒的情況有7種，故倒出奇數粒玻璃球的概率比倒出偶數粒玻璃球的概率大.考點：古典概型.5、D【解析】

由題意知該程序的作用是求樣本的方差，由方差公式可得.【詳解】由題意知該程序的作用是求樣本的方差，所用方法是求得每個數與的差的平方，再求這8個數的平均值，則圖中空白框應填入的內容為：故選：D本題考查了程序框圖功能的理解以及樣本方差的計算公式，屬于一般題.6、C【解析】

求得集合A={x|-1≤x≤3},B={x|x<2}，根據集合的交集運算，即可求解．【詳解】由題意，集合A={x|x所以A∩B={x|-1≤x<2}=[-1,2)．故選：C．本題主要考查了集合的交集運算，其中解答中正確求解集合A,B，再根據集合的運算求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．7、A【解析】分析：由題意結合正態分布圖象的性質可知，越小，曲線越“瘦高”，據此即可確定的大小.詳解：由正態曲線的性質知，當一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，所以.本題選擇A選項.點睛：本題主要考查正態分布圖象的性質，系數對正態分布圖象的影響等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.8、C【解析】

根據題意，求出和，由公式即可求出解答.【詳解】解：因為事件為“抓取的球中存在兩個球同色”包括兩個同色和三個同色，所以事件發生且事件發生概率為：故.故選：C.本題考查條件概率求法，屬于中檔題.9、B【解析】本試題主要考查雙曲線的定義，考查余弦定理的應用．由雙曲線的定義得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故選B．10、B【解析】

由的面積為，可得，再由余弦定理求出，根據雙曲線的定義可得，從而可得結論.【詳解】因為的面積為，，所以，可得，，，所以離心率，故選B.本題主要考查雙曲線的定義及離心率，屬于中檔題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．11、B【解析】

直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得，進而可得的虛部.【詳解】∵，∴，∴的虛部是，故選B．本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，共軛復數的概念，屬于基礎題．12、A【解析】

利用點關于直線的對稱點，且A在橢圓上，得，即得橢圓C的離心率；【詳解】∵點關于直線的對稱點A為，且A在橢圓上，即，∴，∴橢圓C的離心率．故選A．本題主要考查橢圓的離心率，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.8【解析】

由于正態分布N(1，σ2)(σ>0)的圖象關于直線ξ＝1對稱，且ξ在(0,1)內取值的概率為0.4，因此ξ在(1,2)內取值的概率也為0.4，故ξ在(0,2)內取值的概率為0.8.14、【解析】根據題意,設取出個紅球,則取出個黑球,此時總得分為，若總分低于8分,則有，即，即可取的情況有2種，即或，即總分低于8分的情況有2種：①、取出6個黑球,有種取法，②、取出1個紅球,5個黑球,有種取法，故使總分低于8分的取法有7+105=112種；故答案為：112.15、1728【解析】

根據題意，將同學科的書捆綁，由排列的概念，即可得出結果.【詳解】因為一共有數學書4本，外語書3本，物理書2本，同一學科的書要排在一起，則有種不同的排法.故答案為：本題主要考查排列的應用，利用捆綁法即可求解，屬于常考題型.16、【解析】該同學通過測試的概率為，故答案為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】分析：⑴設與相交于點，連接，根據題意可得，利用線面平行的判定定理得到平面；⑵建立空間直角坐標系，求出法向量，然后運用公式計算二面角的大小詳解：（1）設與相交于點P，連接PD，則P為中點，D為AC中點，PD//,又PD平面D，//平面D.（2）如圖建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，，0），（0，，）=（-1，，-），=（-1，0，-）設平面的法向量為n=（x，y，z）則nn則有，得n=（，0，1）由題意，知=（0，0，）是平面ABD的一個法向量。設n與所成角為，則，二面角的大小是.點睛：本題主要考查了線面平行的判定定理，要求二面角平面角的大小，可以采用建立空間直角坐標系的方法，給出點坐標，求出各面上的法向量，利用公式即可求出角的大小。18、(1)見解析;(2).【解析】分析：⑴根據偶函數性質，當時，，求出表達式⑵復合函數同增異減，并且滿足定義域詳解：（Ⅰ）∵是偶函數，所以，又當時，∴當時，，∴，所以當時，.（Ⅱ）因為在上是減函數，要使在有意義，且為減函數，則需滿足解得,∴所求實數的取值范圍為.點睛：本題主要考查了復合函數，關鍵是分解為兩個基本函數，利用同增異減的結論研究其單調性，再求參數范圍。19、（1）；（2）（ⅰ）詳見解析；（ⅱ）詳見解析.【解析】

（1）的展開式中含的項的系數為，二項式定理展開，展開得到含項的系數，利用，即可證明；（2）（ⅰ）用組合數的階乘公式證明；（ⅱ）利用（ⅰ）的結論和組合數的性質得到，最后結合（1）的結論證明.【詳解】（1）的展開式中含的項的系數為由可知的展開式中含的項的系數為，，；（2）（ⅰ）當時，；（ⅱ）由（1）知，，.本題考查二項式定理和二項式系數和組合數的關系，以及組合數公式的證明，意在考查變形，轉化，推理，證明的能力，屬于難題，本題的（ⅱ）的關鍵步驟是這一步用到了（ⅰ）的結論和組合數的性質.20、（1）（2）【解析】

（1）由矩陣的特征向量求法，解方程可得，再由矩陣的逆矩陣可得所求；（2）求得，再由矩陣的多次變換，可得所求.【詳解】解：（1）設矩陣的特征向量對應的特征值為，特征向量對應的特征值為，則，則．（2）因，所以．本題考查矩陣的特征值和特征向量，考查矩陣的逆矩陣，以及矩陣的變換，考查運算求解能力，屬于中檔題.21、(1).(2)見詳解.【解析】

(1)設公差為，由已知條件列出方程組，解得，解得數列的通項公式.(2)得出，可由裂項相消法求出其前項和，進而可證結論.【詳解】(1)設等差數列的公差為().由題意得則化簡得解得所以.(2)證明：，