山東省濟南育英中學2025年高二數學第二學期期末調研試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，或，則（）A． B．C． D．2．歐拉公式（i為虛數單位）是由著名數學家歐拉發明的，他將指數函數定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，根據歐拉公式，若將表示的復數記為z，則的值為（）A． B． C． D．3．在平面幾何里有射影定理：設三角形的兩邊，是點在上的射影，則.拓展到空間，在四面體中，面，點是在面內的射影，且在內，類比平面三角形射影定理，得出正確的結論是（）A． B．C． D．4．一工廠生產某種產品的生產量（單位：噸）與利潤（單位：萬元）的部分數據如表所示：從所得的散點圖分析可知，與線性相關，且回歸方程為，則（）A． B． C． D．5．已知函數在區間上是增函數，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知點是的外接圓圓心,.若存在非零實數使得且,則的值為（）A． B． C． D．7．某產品生產廠家的市場部在對4家商場進行調研時，獲得該產品售價單位：元和銷售量單位：件之間的四組數據如表：售價x46銷售量y1211109為決策產品的市場指導價，用最小二乘法求得銷售量y與售價x之間的線性回歸方程，那么方程中的a值為A．17 B． C．18 D．8．《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》是我國古代數學的重要文獻.現擬把這4部著作分給甲、乙、丙3位同學閱讀，每人至少1本，則甲沒分到《周髀算經》的分配方法共有（）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種9．正邊長為2，點是所在平面內一點，且滿足，若，則的最小值是（）A． B． C． D．10．已知向量，，則（）A． B． C． D．11．已知雙曲線的離心率為，焦點是，，則雙曲線方程為（）A． B．C． D．12．已知，則的最小值是A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．課本中，在形如……的展開式中，我們把）叫做二項式系數，類似地在…的展開式中，我們把叫做三項式系數，則……的值為______.14．某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為和的線段，則的最大值為．15．在ΔABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，D是AB的中點，若CD=1且(a-16．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知．（1）求函數的單調遞增區間與對稱軸方程；（2）當時，求的最大值與最小值．18．（12分）對某種書籍的成本費（元）與印刷冊數（千冊）的數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值.表中.為了預測印刷20千冊時每冊的成本費，建立了兩個回歸模型：.（1）根據散點圖，擬認為選擇哪個模型預測更可靠?（只選出模型即可）（2）根據所給數據和（1）中的模型選擇，求關于的回歸方程，并預測印刷20千冊時每冊的成本費.附：對于一組數據，其回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.19．（12分）已知函數.（1）證明：；（2）若對任意的均成立，求實數的最小值.20．（12分）已知.（1）當時，求的展開式中含項的系數；（2）證明：的展開式中含項的系數為.21．（12分）若二面角的平面角是直角，我們稱平面垂直于平面，記作.（1）如圖，已知，，，且，求證：；（2）如圖，在長方形中，，，將長方形沿對角線翻折，使平面平面，求此時直線與平面所成角的大小.22．（10分）某市政府為了節約生活用電，計劃在本市試行居民生活用電定額管理，即確定一戶居民月用電量標準a，用電量不超過a的部分按平價收費，超出a的部分按議價收費為此，政府調查了100戶居民的月平均用電量單位：度，以，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖所示．根據頻率分布直方圖的數據，求直方圖中x的值并估計該市每戶居民月平均用電量的值；用頻率估計概率，利用的結果，假設該市每戶居民月平均用電量X服從正態分布估計該市居民月平均用電量介于度之間的概率；利用的結論，從該市所有居民中隨機抽取3戶，記月平均用電量介于度之間的戶數為，求的分布列及數學期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

首先解絕對值不等式，從而利用“并”運算即可得到答案.【詳解】根據題意得，等價于，解得，于是，故答案為C.本題主要考查集合與不等式的綜合運算，難度不大.2、A【解析】

根據歐拉公式求出，再計算的值.【詳解】∵，∴.故選：A.此題考查復數的基本運算，關鍵在于根據題意求出z.3、A【解析】

由平面圖形到空間圖形的類比推理中，一般是由點的性質類比推理到線的性質，由線的性質類比推理到面的性質，即可求解，得到答案．【詳解】由已知在平面幾何中，若中，是垂足，則，類比這一性質，推理出：若三棱錐中，面面，為垂足，則．故選A．本題主要考查了類比推理的應用，其中類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想），著重考查了推理能力，屬于基礎題．4、C【解析】

根據表格中的數據計算出和，再將點的坐標代入回歸直線方程可求出實數的值.【詳解】由題意可得，，由于回歸直線過樣本中心點，則有，解得，故選：C.本題考查利用回歸直線方程求原始數據，解題時要充分利用“回歸直線過樣本中心點”這一結論的應用，考查運算求解能力，屬于基礎題.5、D【解析】分析：求出導函數，利用函數的單調性，推出不等式，利用基本不等式求解函數的最值，推出結果即可．詳解：函數，可得f′（x）=x2﹣mx+1，函數在區間[1，2]上是增函數，可得x2﹣mx+1≥0，在區間[1，2]上恒成立，可得m≤x+，x+≥2=1，當且僅當x=2，時取等號、可得m≤1．故選：D．點睛：本題考查函數的導數的應用，考查最值的求法，基本不等式的應用，考查轉化思想以及計算能力．函數在一個區間上單調遞增，則函數的導函數大于等于0恒成立，函數在一個區間上存在單調增區間，則函數的導函數在這個區間上大于0有解.6、D【解析】

根據且判斷出與線段中點三點共線，由此判斷出三角形的形狀，進而求得的值.【詳解】由于，由于，所以與線段中點三點共線，根據圓的幾何性質可知直線垂直平分，于是是以為底邊的等腰三角形，于是，故選D.本小題主要考查平面向量中三點共線的向量表示，考查圓的幾何性質、等腰三角形的幾何性質，屬于中檔題.7、B【解析】

求出樣本中心點，代入線性回歸方程，即可求出a的值．【詳解】由題意，，，線性回歸方程，，．故選：B．本題考查回歸分析，考查線性回歸直線過樣本中心點，在一組具有相關關系的變量的數據間，這樣的直線可以畫出許多條，而其中的一條能最好地反映x與Y之間的關系，這條直線過樣本中心點．8、B【解析】分析：先不考慮限制條件，則共有種方法，若甲分到《周髀算經》，有兩種情況：甲分到一本（只有《周髀算經》），甲分到2本（包括《周髀算經》），減去即可.詳解：先不考慮限制條件，則共有種方法，若甲分到《周髀算經》，有兩種情況：甲分到一本（只有《周髀算經》），此時共有種方法；甲分到2本（包括《周髀算經》），此時共有種方法，則分配方法共有種.點睛：本題考查了分組分配的問題，關鍵在于除去不符合條件的情況，屬于基礎題9、A【解析】分析：建立直角坐標系后求出各點坐標，用坐標表示詳解：如圖：以為原點，所在直線為軸，過點垂直于為軸則，，設，則點軌跡為由可得：故當時，故選點睛：本題主要考查的是平面向量的基本定理．設不共線的兩個向量為基底，求參量和的最值，本題的解法較多，可以通過建立空間直角坐標系，求交點坐標建立數量關系，也可以用等和線來解．10、A【解析】

先求出的坐標，再根據向量平行的坐標表示，列出方程，求出.【詳解】由得，解得，故選A．本題主要考查向量的加減法運算以及向量平行的坐標表示．11、A【解析】由題意e=2，c=4，由e=，可解得a=2，又b2=c2﹣a2，解得b2=12所以雙曲線的方程為．故答案為．故答案選A.12、B【解析】

將代數式與代數式相乘，展開后利用基本不等式求出代數式的最小值，然后在不等式兩邊同時除以可得出答案．【詳解】因為，又，所以，當且僅當時取，故選B．本題考查利用基本不等式求代數式的最值，在利用基本不等式求最值時，要注意配湊“定值”的條件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的應用．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0【解析】

根據的等式兩邊的項的系數相同，從而求得要求式子的值.【詳解】，其中系數為……，，而二項式的通項公式，因為2015不是3的倍數，所以的展開式中沒有項，由代數式恒成立可得……，故答案為：0.本題考查二項式定理，考查學生的分析能力和理解能力，關鍵在于構造并分析其展開式，是一道難題.14、【解析】構造如圖所示長方體，長方體的長、寬、高分別為，則，，，，所以。則（當且僅當，上式取等號）。15、15【解析】

由題意及正弦定理得到a2+b2-c2=ab2，于是可得cosC=14，sin【詳解】如圖，設∠CDA=θ，則∠CDB=π-θ,在ΔCDA和ΔCDB中，分別由余弦定理可得cosθ=兩式相加，整理得c2∴c2由(a-12b)整理得a2由余弦定理的推論可得cosC=a2把①代入②整理得a2又a2+b所以4≥2ab+ab2=所以SΔABC即ΔABC面積的最大值是155故答案為155本題考查解三角形在平面幾何中的應用，解題時注意幾何圖形性質的合理利用．對于三角形中的最值問題，求解時一般要用到基本不定式，運用時不要忽視等號成立的條件．本題綜合性較強，考查運用知識解決問題的能力和計算能力．16、【解析】

通過，可得，化簡整理可求出，從而得到答案.【詳解】根據題意，可得，即，代入，得到，于是與的夾角為.本題主要考查向量的數量積運算，向量垂直轉化為數量積為0是解決本題的關鍵，意在考查學生的轉化能力，分析能力及計算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調遞增區間為，k∈Z．對稱軸方程為，其中k∈Z．（2）f（x）的最大值為2，最小值為–1．【解析】（1）因為，由，求得，k∈Z，可得函數f（x）的單調遞增區間為，k∈Z．由，求得，k∈Z．故f（x）的對稱軸方程為，其中k∈Z．（2）因為，所以，故有，故當即x=0時，f（x）的最小值為–1，當即時，f（x）的最大值為2．18、（1）模型更可靠.（2），1.6【解析】分析:(1)根據散點圖的形狀得到選擇模型更可靠.(2)令，則建立關于的線性回歸方程，求得關于的線性回歸方程為，再求出求關于的回歸方程，令x=20，求出的值，得到印刷20千冊時每冊的成本費.詳解：（1）由散點圖可以判斷，模型更可靠.（2）令，則建立關于的線性回歸方程，則，∴∴關于的線性回歸方程為，因此，關于的回歸方程為當時，該書每冊的成本費元.點睛：（1）本題主要考查線性回歸方程的求法，考查非線性回歸方程的求法，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.（2）建立非線性回歸模型的基本步驟：①確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是預報變量；②畫出確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（是否存在非線性關系）；③由經驗確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數據呈非線性關系，一般選用反比例函數、指數函數、對數函數模型等）；④通過換元，將非線性回歸方程模型轉化為線性回歸方程模型；⑤按照公式計算線性回歸方程中的參數（如最小二乘法），得到線性回歸方程；⑥消去新元，得到非線性回歸方程；⑦得出結果后分析殘差圖是否有異常.若存在異常，則檢查數據是否有誤，或模型是否合適等.19、（1）證明見解析（2）【解析】

(1)由可得,再構造函數,分析函數單調性求最值證明即可.(2)根據題意構造函數,再根據的正負分析函數的單調性可知為最大值,進而求得實數的最小值即可.【詳解】（1）證明：由,得,.設,所以,函數在上單調遞增,在單調遞減,所以,.又因為（其中）,所以,,所以,成立.（2）解：設,.,,所以,.下面證明當時,成立.,因為,所以,所以.又因為當時,,所以,所以,所以,當時,.故,.所以,的最大值為,所以,的最小值為.本題主要考查了利用導數證明函數不等式的問題,同時也考查了數列中求最大值項的方法.需要構造數列求解的正負判斷,屬于難題.20、（1）84；（2）證明見解析【解析】

（1）當時，根據二項展開式分別求出每個二項式中的項的系數相加即可；（2）根據二項展開式，含項的系數為，又，再結合即可得到結論．【詳解】（1）當時，，的展開式中含項的系數為．（2），，故的展開式中含項的系數為因為，所以項的系數為：.本題考查二項式定理、二項展開式中項的系數的求