PAGEPAGE12.3.2拋物線的簡潔幾何性質預習課本P60～63，思索并完成以下問題拋物線有哪些幾何性質？eq\a\vs4\al([新知初探])拋物線的簡潔幾何性質類型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖象性質焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準線x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0對稱軸x軸y軸頂點O(0,0)離心率e＝1開口方向向右向左向上向下[點睛]拋物線的標準方程與對稱性、焦點位置的關系y2＝ax一次項為x項，x軸為對稱軸a>0時，焦點在x軸正半軸上，開口向右a<0時，焦點在x軸負半軸上，開口向左x2＝ay一次項為y項，y軸為對稱軸a>0時，焦點在y軸正半軸上，開口向上a<0時，焦點在y軸負半軸上，開口向下eq\a\vs4\al([小試身手])1．推斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)拋物線x2＝2py(p>0)有一條對稱軸為y軸()(2)拋物線y＝－eq\f(1,8)x2的準線方程是x＝eq\f(1,32)()答案：(1)√(2)×2．設點A為拋物線y2＝4x上一點，點B(1,0)，且|AB|＝1，則點A的橫坐標為()A．2 B．0C．2或0 D．－2或2答案：B3．過拋物線y2＝8x的焦點作傾斜角為45°的直線，則被拋物線截得的弦長為()A．8 B．16C．32 D．64答案：B4．若雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(16y2,p2)＝1(p>0)的左焦點在拋物線y2＝2px的準線上，則p＝________.答案：4拋物線方程及其幾何性質[典例]已知拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為x軸，且與圓x2＋y2＝4相交的公共弦長為2eq\r(3)，求拋物線的方程．[解]設所求拋物線的方程為y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，拋物線與圓的交點A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，則|y1|＋|y2|＝2eq\r(3)，即y1－y2＝2eq\r(3).由對稱性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝eq\r(3)，把y1＝eq\r(3)代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以點(1，eq\r(3))在拋物線y2＝2px上，點(－1，eq\r(3))在拋物線y2＝－2px上，可得p＝eq\f(3,2).于是所求拋物線的方程為y2＝3x或y2＝－3x.用待定系數法求拋物線方程的步驟[留意]求拋物線的方程時要留意拋物線的焦點位置，不同的焦點設出不同的方程．[活學活用]1．邊長為1的等邊三角形AOB，O為坐標原點，AB⊥x軸，以O為頂點且過A，B的拋物線方程是()A．y2＝eq\f(\r(3),6)x B．y2＝－eq\f(\r(3),3)xC．y2＝±eq\f(\r(3),6)x D．y2＝±eq\f(\r(3),3)x解析：選C設拋物線方程為y2＝ax(a≠0)．又Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(3),2)，\f(1,2)))(取點A在x軸上方)，則有eq\f(1,4)＝±eq\f(\r(3),2)a，解得a＝±eq\f(\r(3),6)，所以拋物線方程為y2＝±eq\f(\r(3),6)x.故選C.2．已知點M(x，y)在拋物線y2＝8x上，則f(x，y)＝x2－y2＋12x＋9的取值范圍為________．解析：f(x，y)＝x2－8x＋12x＋9＝(x＋2)2＋5，又x∈[0，＋∞)，所以當x＝0時，f(x，y)取得最小值9.所以f(x，y)的取值范圍為[9，＋∞)．答案：[9，＋∞)焦點弦問題[典例]過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，且A，B兩點的縱坐標之積為－4，求拋物線C的方程．[解]由于拋物線的焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，故可設直線AB的方程為x＝my＋eq\f(p,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋\f(p,2)，,y2＝2px，))得y2－2pmy－p2＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2＝－p2，∴－p2＝－4，由p>0，可得p＝2，∴拋物線C的方程為y2＝4x.(1)已知AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的弦，F為拋物線的焦點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；②|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(θ為直線AB的傾斜角)；③S△ABO＝eq\f(p2,2sinθ)(θ為直線AB的傾斜角)；④eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；⑤以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切．(2)當直線經過拋物線的焦點，且與拋物線的對稱軸垂直時，直線被拋物線截得的線段稱為拋物線的通徑，明顯通徑長等于2p.[活學活用]1．過拋物線x2＝4y的焦點F作直線l交拋物線于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點，若y1＋y2＝6，則|P1P2|＝()A．5 B．6C．8 D．10解析：選C由拋物線的定義知|P1P2|＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8.2．已知拋物線的頂點在原點，x軸為對稱軸，經過焦點且傾斜角為eq\f(π,4)的直線被拋物線所截得的弦長為6，求拋物線的標準方程．解：當拋物線焦點在x軸正半軸上時，可設拋物線標準方程為y2＝2px(p>0)，則焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，直線l的方程為y＝x－eq\f(p,2).設直線l與拋物線的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，過點A，B向拋物線的準線作垂線，垂足分別為點A1，點B1，則|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(p,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(p,2)))＝x1＋x2＋p＝6，∴x1＋x2＝6－p.①由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px))消去y，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))2＝2px，即x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝eq\f(3,2).∴所求拋物線的標準方程是y2＝3x.當拋物線焦點在x軸負半軸上時，用同樣的方法可求出拋物線的標準方程是y2＝－3x.直線與拋物線的位置關系[典例]若拋物線y2＝4x與直線y＝x－4相交于不同的兩點A，B，求證OA⊥OB.[證明]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝x－4，))消去y，得x2－12x＋16＝0.∵直線y＝x－4與拋物線相交于不同兩點A，B，∴可設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1＋x2＝12，x1x2＝16.∵eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∴eq\o(OA,\s\up7(→))⊥eq\o(OB,\s\up7(→))，即OA⊥OB.將直線方程與拋物線方程聯立，轉化為一元二次方程，可通過直線與拋物線的位置關系轉化為對判別式Δ或者對向量數量積的限制條件，利用限制條件建立不等式或等式，利用根與系數的關系運算求解．[活學活用]過點(－3,2)的直線與拋物線y2＝4x只有一個公共點，求此直線方程．解：明顯，直線斜率k存在，設其方程為y－2＝k(x＋3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－2＝kx＋3，,y2＝4x，))消去x，整理得ky2－4y＋8＋12k＝0.①(1)當k＝0時，方程①化為－4y＋8＝0，即y＝2，此時過(－3,2)的直線方程為y＝2，滿意條件．(2)當k≠0時，方程①應有兩個相等實根．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≠0，,Δ＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≠0，,16－4k8＋12k＝0，))得k＝eq\f(1,3)或k＝－1.所以直線方程為y－2＝eq\f(1,3)(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0.故所求直線有三條，其方程分別為：y＝2，x－3y＋9＝0，x＋y＋1＝0.層級一學業水平達標1．以x軸為對稱軸，通徑長為8，頂點為坐標原點的拋物線方程是()A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y解析：選C依題意設拋物線方程為y2＝±2px(p>0)，則2p＝8，所以拋物線方程為y2＝8x或y2＝－8x.2．若直線y＝2x＋eq\f(p,2)與拋物線x2＝2py(p>0)相交于A，B兩點，則|AB|等于()A．5p B．10pC．11p D．12p解析：選B將直線方程代入拋物線方程，可得x2－4px－p2＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝4p，∴y1＋y2＝9p.∵直線過拋物線的焦點，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝10p.3．設O為坐標原點，F為拋物線y2＝4x的焦點，A為拋物線上一點，若eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(AF,\s\up7(→))＝－4，則點A的坐標為()A．(2，±2eq\r(2)) B．(1，±2)C．(1,2) D．(2,2eq\r(2))解析：選B設A(x，y)，則y2＝4x，①又eq\o(OA,\s\up7(→))＝(x，y)，eq\o(AF,\s\up7(→))＝(1－x，－y)，所以eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(AF,\s\up7(→))＝x－x2－y2＝－4.②由①②可解得x＝1，y＝±2.4．過點(1,0)作斜率為－2的直線，與拋物線y2＝8x交于A，B兩點，則弦AB的長為()A．2eq\r(13) B．2eq\r(15)C．2eq\r(17) D．2eq\r(19)解析：選B設A(x1，y1)，B(x2，y2)．由題意知AB的方程為y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝－2x＋2，))得x2－4x＋1＝0，∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1.∴|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋416－4)＝eq\r(5×12)＝2eq\r(15).5．設F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32) D.eq\f(9,4)解析：選D易知拋物線中p＝eq\f(3,2)，焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，直線AB的斜率k＝eq\f(\r(3),3)，故直線AB的方程為y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))，代入拋物線方程y2＝3x，整理得x2－eq\f(21,2)x＋eq\f(9,16)＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(21,2).由拋物線的定義可得弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(21,2)＋eq\f(3,2)＝12，結合圖象可得O到直線AB的距離d＝eq\f(p,2)·sin30°＝eq\f(3,8)，所以△OAB的面積S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(9,4).6．直線y＝x－1被拋物線y2＝4x截得的線段的中點坐標是________．解析：將y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根與系數的關系，得x1＋x2＝6，eq\f(x1＋x2,2)＝3，∴eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(x1＋x2－2,2)＝eq\f(6－2,2)＝2.∴所求點的坐標為(3,2)．答案：(3,2)7．已知A(2,0)，B為拋物線y2＝x上的一點，則|AB|的最小值為________．解析：設點B(x，y)，則x＝y2≥0，所以|AB|＝eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(x－22＋x)＝eq\r(x2－3x＋4)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋\f(7,4)).所以當x＝eq\f(3,2)時，|AB|取得最小值，且|AB|min＝eq\f(\r(7),2).答案：eq\f(\r(7),2)8．已知AB是拋物線2x2＝y的焦點弦，若|AB|＝4，則AB的中點的縱坐標為________．解析：設AB的中點為P(x0，y0)，分別過A，P，B三點作準線的垂線，垂足分別為A′，Q，B′.由題意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝eq\f(|AA′|＋|BB′|,2)＝2.又|PQ|＝y0＋eq\f(1,8)，所以y0＋eq\f(1,8)＝2，解得y0＝eq\f(15,8).答案：eq\f(15,8)9．已知拋物線的焦點F在x軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A，B兩點，O為坐標原點，若△OAB的面積等于4，求此拋物線的標準方程．解：由題意，可設拋物線方程為y2＝2ax(a≠0)，則焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0))，直線l：x＝eq\f(a,2)，∴A，B兩點坐標分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－a))，∴|AB|＝2|a|.∵△OAB的面積為4，∴eq\f(1,2)·eq\f(a,2)·2|a|＝4，∴a＝±2eq\r(2).∴拋物線方程為y2＝±4eq\r(2)x.10．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過點A(2，－4)．(1)求拋物線C的方程，并求其準線方程；(2)若點B(0,2)，求過點B且與拋物線C有且僅有一個公共點的直線l的方程．解：(1)由拋物線C：y2＝2px(p>0)過點A(2，－4)，可得16＝4p，解得p＝4.所以拋物線C的方程為y2＝8x，其準線方程為x＝－2.(2)①當直線l的斜率不存在時，x＝0符合題意．②當直線l的斜率為0時，y＝2符合題意．③當直線l的斜率存在且不為0時，設直線l的方程為y＝kx＋2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,y2＝8x))得ky2－8y＋16＝0.由Δ＝64－64k＝0，得k＝1，故直線l的方程為y＝x＋2，即x－y＋2＝0.綜上直線l的方程為x＝0或y＝2或x－y＋2＝0.層級二應試實力達標1．過點(2,4)作直線l，與拋物線y2＝8x只有一個公共點，這樣的直線l有()A．1條 B．2條C．3條 D．4條解析：選B可知點(2,4)在拋物線y2＝8x上，∴過點(2,4)與拋物線y2＝8x只有一個公共點的直線有兩條，一條是拋物線的切線，另一條與拋物線的對稱軸平行．2．過拋物線y2＝4x的焦點，作一條直線與拋物線交于A，B兩點，若它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線()A．有且僅有一條 B．有兩條C．有無窮多條 D．不存在解析：選B設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義，知|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7.又直線AB過焦點且垂直于x軸的直線被拋物線截得的弦長最短，且|AB|min＝2p＝4，所以這樣的直線有兩條．故選B.3．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2解析：選B易知拋物線的焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以過焦點且斜率為1的直線的方程為y＝x－eq\f(p,2)，即x＝y＋eq\f(p,2)，代入y2＝2px得y2＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(p,2)))＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根與系數的關系得eq\f(y1＋y2,2)＝p＝2(y1，y2分別為點A，B的縱坐標)，所以拋物線的方程為y2＝4x，準線方程為x＝－1.4．已知拋物線C：y2＝8x與點M(－2,2)，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))＝0，則k＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D．2解析：選D由題意可知拋物線C的焦點坐標為(2,0)，則直線AB的方程為y＝k(x－2)，將其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(4k2＋2,k2)，,x1x2＝4.))①由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＝kx1－2，,y2＝kx2－2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝kx1＋x2－4k，②,y1y2＝k2[x1x2－2x1＋x2＋4].③))∵eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))＝0，∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0.∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④由①②③④解得k＝2.故選D項．5．已知拋物線y2＝eq\f(1,2)x，則弦長為定值1的焦點弦有________條．解析：因為通徑的長2p為焦點弦長的最小值，所以給定弦長a，若a>2p，則焦點弦存在兩條；若a＝2p，則焦點弦存在一條；若a<2p，則焦點弦不存在．由y2＝eq\f(1,2)x知p＝eq\f(1,4)，則通徑長2p＝eq\f(1,2)，因為1>eq\f(1,2)，所以弦長為定值1的焦點弦有2條．答案：26．直線y＝x－3與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，過A，B兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P，Q，則梯形APQB的面積為________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝x－3))消去y得x2－10x＋9＝0，得x＝1或9，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝6.))所以|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，所以|PQ|＝8，所以梯形APQB的面積S＝eq\f(10＋2,2)×8＝48.答案：487．設點P(x，y)(y≥0)為平面直角坐標系xOy內的一個動點(其中O為坐標原點)，點P到定點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))的距離比點P到x軸的距離大eq\f(1,2).(1)求點P的軌跡方程；(2)若直線l：y＝kx＋1與點P的軌跡相交于A，B兩點，且|AB|＝2eq\r(6)，求實數k的值．解：(1)過點P作x軸的垂線且垂足為點N，則|PN|＝y，由題意知|PM|－|PN|＝eq\f(1,2)，∴eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2)＝y＋eq\f(1,2)，化簡得x2＝2y.故點P的軌跡方程為x2＝2y.(2)由題意設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝2y，))消去y化簡得x2－2kx－2＝0，∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.∵|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(4k2＋8)＝2eq\r(6)，∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.8．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線y＝4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且|QF|＝eq\f(5,4)|PQ|.(1)求C的方程；(2)過F的直線l與C相交于A，B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M，N兩點，且A，M，B，N四點在同一圓上，求l的方程．解：(1)設Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝eq\f(8,p).所以|PQ|＝eq\f(8,p)，|QF|＝eq\f(p,2)＋x0＝eq\f(p,2)＋eq\f(8,p).由題設得eq\f(p,2)＋eq\f(8,p)＝eq\f(5,4)×eq\f(8,p)，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程為y2＝4x.(2)依題意知l與坐標軸不垂直，故可設l的方程為x＝my＋1(m≠0)．代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故AB的中點為D(2m2＋1,2m)，|AB|＝eq\r(m2＋1)|y1－y2|＝eq\r(m2＋1)·eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝4(m2＋1)．又l′的斜率為－m，所以l′的方程為x＝－eq\f(1,m)y＋2m2＋3.將上式代入y2＝4x，并整理得y2＋eq\f(4,m)y－4(2m2＋3)＝0.設M(x3，y3)，N(x4，y4)，則y3＋y4＝－eq\f(4,m)，y3y4＝－4(2m2＋3)．故MN的中點為Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m2)＋2m2＋3，－\f(2,m)))，|MN|＝eq\r(1＋\f(1,m2))|y3－y4|＝eq\r(1＋\f(1,m2))·eq\r(y3＋y42－4y3y4)＝eq\f(4m2＋1\r(2m2＋1),m2).由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四點在同一圓上等價于|AE|＝|BE|＝eq\f(1,2)|MN|，從而eq\f(1,4)|AB|2＋|DE|2＝eq\f(1,4)|MN|2，即4(m2＋1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2m＋\f(2,m)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m2)＋2))2＝eq\f(4m2＋122m2＋1,m4).化簡得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.所求直線l的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0.(時間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．(2024·浙江高考)橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的離心率是()A.eq\f(\r(13),3) B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,9)解析：選B依據題意知，a＝3，b＝2，則c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(5)，∴橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).2．θ是隨意實數，則方程x2＋y2sinθ＝4的曲線不行能是()A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．圓解析：選C由于θ∈R，對sinθ的值舉例代入推斷．sinθ可以等于1，這時曲線表示圓，sinθ可以小于0，這時曲線表示雙曲線，sinθ可以大于0且小于1，這時曲線表示橢圓．3．設橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，上頂點為B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，則該橢圓的方程為()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,2)＋y2＝1 D.eq\f(x2,4)＋y2＝1解析：選A∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2，∴a＝2，c＝1，∴b＝eq\r(3).∴橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.4．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\f(\r(5),2)，則C的漸近線方程為()A．y＝±eq\f(1,4)x B．y＝±eq\f(1,3)xC．y＝±eq\f(1,2)x D．y＝±x解析：選C∵e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,4)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，則C的漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)x.5．設P是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a>0)上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x－2y＝0，F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|＝3，則|PF2|＝()A．1或5 B．6C．7 D．8解析：選C雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1的一條漸近線方程為3x－2y＝0，故a＝2.又P是雙曲線上一點，故||PF1|－|PF2||＝4，而|PF1|＝3，則|PF2|＝7.6．已知直線y＝kx－k(k為實數)及拋物線y2＝2px(p>0)，則()A．直線與拋物線有一個公共點B．直線與拋物線有兩個公共點C．直線與拋物線有一個或兩個公共點D．直線與拋物線沒有公共點解析：選C因為直線y＝kx－k恒過點(1,0)，點(1,0)在拋物線y2＝2px的內部，所以當k＝0時，直線與拋物線有一個公共點，當k≠0時，直線與拋物線有兩個公共點．7．已知雙曲線eq\f(x2,2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦點分別是F1，F2，其一條漸近線方程為y＝x，點P(eq\r(3)，y0)在雙曲線上，則eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝()A．－12 B．－2C．0 D．4解析：選C由漸近線方程為y＝x，知雙曲線是等軸雙曲線，∴雙曲線方程是x2－y2＝2，于是兩焦點分別是F1(－2,0)和F2(2,0)，且P(eq\r(3)，1)或P(eq\r(3)，－1)．不妨取點P(eq\r(3)，1)，則eq\o(PF1,\s\up7(→))＝(－2－eq\r(3)，－1)，eq\o(PF2,\s\up7(→))＝(2－eq\r(3)，－1)．∴eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝(－2－eq\r(3)，－1)·(2－eq\r(3)，－1)＝－(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))＋1＝0.8．設雙曲線C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)與直線l：x＋y＝1相交于兩個不同的點，則雙曲線C的離心率e的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2))) B．(eq\r(2)，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))∪(eq\r(2)，＋∞)解析：選D由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－y2＝1，,x＋y＝1))消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.由于直線與雙曲線相交于兩個不同的點，則1－a2≠0?a2≠1，且此時Δ＝4a2(2－a2)>0?a2<2，所以a2∈(0,1)∪(1,2)．另一方面e＝eq\r(\f(1,a2)＋1)，則a2＝eq\f(1,e2－1)，從而e∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))∪(eq\r(2)，＋∞)．9．已知|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝3，A，B分別在y軸和x軸上運動，O為坐標原點，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up7(→))，則動點P的軌跡方程是()A.eq\f(x2,4)＋y2＝1 B．x2＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,9)＋y2＝1 D．x2＋eq\f(y2,9)＝1解析：選A設P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)＝eq\f(1,3)(0，y0)＋eq\f(2,3)(x0,0)，即x＝eq\f(2,3)x0，y＝eq\f(1,3)y0，所以x0＝eq\f(3,2)x，y0＝3y.因為|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝3，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝9，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x))2＋(3y)2＝9，化簡整理得動點P的軌跡方程是eq\f(x2,4)＋y2＝1.10．探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，已知燈口的直徑為60cm，燈深40cm，則拋物線的標準方程可能是()A．y2＝eq\f(25,4)x B．y2＝eq\f(45,4)xC．x2＝－eq\f(45,2)y D．x2＝－eq\f(45,4)y解析：選C假如設拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，則拋物線過點(40,30)，從而有302＝2p×40，即2p＝eq\f(45,2)，所以所求拋物線方程為y2＝eq\f(45,2)x.雖然選項中沒有y2＝eq\f(45,2)x，但C中的2p＝eq\f(45,2)符合題意．11.我們把離心率為黃金分割系數eq\f(\r(5)－1,2)的橢圓稱為“黃金橢圓”．如圖，“黃金橢圓”C的中心在坐標原點，F為左焦點，A，B分別為長軸和短軸上的頂點，則∠ABF＝()A．90° B．60°C．45° D．30°解析：選A設橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由已知，得A(a,0)，B(0，b)，F(－c,0)，則eq\o(BF,\s\up7(→))＝(－c，－b)，eq\o(BA,\s\up7(→))＝(a，－b)．∵離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴c＝eq\f(\r(5)－1,2)a，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)a))2)＝eq\r(\f(\r(5)－1,2))a，∴eq\o(BF,\s\up7(→))·eq\o(BA,\s\up7(→))＝b2－ac＝0，∴∠ABF＝90°.12．已知直線y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A，B兩點，F為C的焦點，若|FA|＝2|FB|，則k＝()A.eq\f(1,3) B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(2\r(2),3)解析：選D將y＝k(x＋2)代入y2＝8x，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，設A(x1，y1),B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(8－4k2,k2)，x1x2＝4，拋物線y2＝8x的準線方程為x＝－2，由|FA|＝2|FB|及拋物線定義得x1＋2＝2(x2＋2)，即x1＝2＋2x2，代入x1x2＝4，整理得xeq\o\al(2,2)＋x2－2＝0，解得x2＝1或x2＝－2(舍去)．所以x1＝4，eq\f(8－4k2,k2)＝5，解得k2＝eq\f(8,9)，又因為k>0，所以k＝eq\f(2\r(2),3).二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中的橫線上)13．以雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為________．解析：雙曲線焦點(±4,0)，頂點(±2,0)，故橢圓的焦點為(±2,0)，頂點(±4,0)．答案：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝114．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個焦點與拋物線x＝eq\f(1,4)y2的焦點重合，且雙曲線的離心率等于eq\r(5)，則該雙曲線的方程為________．解析：拋物線x＝eq\f(1,4)y2的方程化為標準形式為y2＝4x，焦點坐標為(1,0)，則得a2＋b2＝1，又e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，易求得a2＝eq\f(1,5)，b2＝eq\f(4,5)，所以該雙曲線的方程為5x2－eq\f(5,4)y2＝1.答案：5x2－eq\f(5,4)y2＝115．已知二次曲線eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1，當m∈[－2，－1]時，該曲線的離心率的取值范圍是________．解析：∵m∈[－2，－1]，∴曲線方程化為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,－m)＝1，曲線為雙曲線，∴e＝eq\f(\r(4－m),2).∵m∈[－2，－1]，∴eq\f(\r(5),2)≤e≤eq\f(\r(6),2).答案：eq\f(\r(5),2)，eq\f(\r(6),2)16．設F1，F2分別是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為(6,4)，則|PM|＋|PF1|的最大值為________．解析：由橢圓的定義知|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，易知M點在橢圓外，連接MF2并延長交橢圓于點P，此時|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值為10＋|MF2|＝10＋eq\r(6－32＋42)＝15.答案：15三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知拋物線的頂點在原點，它的準線過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個焦點，并且這條準線與雙曲線的兩焦點的連線垂直，拋物線與雙曲線交于點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))，求拋物線的方程和雙曲線的方程．解：依題意，設拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，∵點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))在拋物線上，∴6＝2p×eq\f(3,2).∴p＝2，∴所求拋物線的方程為y2＝4x.∵雙曲線的左焦點在拋物線的準線x＝－1上，∴c＝1，即a2＋b2＝1，又點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))在雙曲線上，∴eq\f(9,4a2)－eq\f(6,b2)＝1，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝1，,\f(9,4a2)－\f(6,b2)＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(3,4)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝－8))(舍去)．∴所求雙曲線的方程為4x2－eq\f(4,3)y2＝1.18．(本小題滿分12分)已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1及直線l：y＝eq\f(3,2)x＋m，(1)當直線l與該橢圓有公共點時，求實數m的取值范圍；(2)求直線l被此橢圓截得的弦長的最大值．解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,9)＝1，))消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0.①Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)．∵直線l與橢圓有公共點，∴Δ≥0，據此可解得－3eq\r(2)≤m≤3eq\r(2).故所求實數m的取值范圍為[－3eq\r(2)，3eq\r(2)]．(2)設直線l與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由①得：x1＋x2＝－eq\f(6m,9)，x1x2＝eq\f(2m2－18,9)，故|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6m,9)))2－4×\f(2m2－18,9))＝eq\f(\r(13),3)·eq\r(－m2＋18)，當m＝0時，直線l被橢圓截得的弦長的最大值為eq\r(26).19．(本小題滿分12分)雙曲線x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，直線l過F2且與雙曲線交于A，B兩點．(1)若直線l的傾斜角為eq\f(π,2)，△F1AB是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；(2)設b＝eq\r(3)，若直線l的斜率存在，且(eq\o(F1A,\s\up7(→))＋eq\o(F1B,\s\up7(→)))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，求l的斜率．解：(1)設A(xA，yA)．由題意得F2(c,0)，c＝eq\r(1＋b2)，yeq\o\al(2,A)＝b2(c2－1)＝b4，因為△F1AB是等邊三角形，所以2c＝eq\r(3)|yA|，即4(1＋b2)＝3b4，解得b2＝2.故雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(2)x.(2)由題意知F1(－2,0)，F2(2,0)．設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l：y＝k(x－2)，明顯k≠0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(y2,3)＝1，,y＝kx－2))得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.因為l與雙曲線交于兩點，所以k2－3≠0，且Δ＝36(1＋k2)>0.設AB的中點為M(xM，yM)．由(eq\o(F1A,\s\up7(→))eq\o(F1A,\s\up7(→))＋eq\o(F1B,\s\up7(→)))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0即eq\o(F1M,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，知F1M⊥AB，故kF1M·k＝－1.而xM＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2k2,k2－3)，yM＝k(xM－2)＝eq\f(6k,k2－3)，kF1M＝eq\f(3k,2k2－3)，所以eq\f(3k,2k2－3)·k＝－1，解得k2＝eq\f(3,5)，故l的斜率為±eq\f(\r(15),5).20．(本小題滿分12分)已知動圓C過定點F(0,1)，且與直線l1：y＝－1相切，圓心C的軌跡為E.(1)求動點C的軌跡E的方程；(2)已知直線l2交軌跡E于兩點P，Q，且PQ中點的縱坐標為2，求|PQ|的最大值．解：(1)由題設知點C到點F的距離等于它到l1的距離，所以點C的軌跡是以F為焦點，l1為準線的拋物線，所以所求軌跡的方程為x2＝4y.(2)由題意易知直線l2的斜率存在，又拋物線方程為x2＝4y，當直線l2的斜率為0時，|PQ|＝4eq\r(2).當直線l2的斜率k不為0時，設中點坐標為(t,2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則有xeq\o\al(2,1)＝4y1，xeq\o\al(2,2)＝4y2，兩式作差得xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝4(y1－y2)，即得k＝eq\f(x1＋x2,4)＝eq\f(t,2)，則直線方程為y－2＝eq\f(t,2)(x－t)，與x2＝4y聯立得x2－2tx＋2t2－8＝0.由根與系數的關系得x1＋x2＝2t，x1x2＝2t2－8，則|PQ|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a