PAGEPAGE12直角三角形第1課時直角三角形的性質與判定教學目標一、基本目標1．駕馭勾股定理及其逆定理，并能應用定理解決與直角三角形有關的問題．2．結合詳細例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，明確原命題成立，其逆命題不肯定成立．二、重難點目標【教學重點】駕馭直角三角形的性質定理(勾股定理)及判定定理的證明方法．【教學難點】運用定理解決與直角三角形有關的問題．教學過程環節1自學提綱，生成問題【5min閱讀】閱讀教材P14～P16的內容，完成下面練習．【3min反饋】(一)直角三角形的性質與判定1．直角三角形的兩個銳角互余．反之，有兩個角互余的三角形是直角三角形．2．勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．3．假如三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．4．下列四組線段中，能組成直角三角形的是(D)A．a＝1，b＝2，c＝3B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝2，b＝4，c＝5D．a＝3，b＝4，c＝55．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若b＝5，c＝13，則a＝12；若a＝8，b＝6，則c＝10.(二)命題與逆命題1．在兩個命題中，假如一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．2．假如有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱它們為互逆定理．環節2合作探究，解決問題活動1小組探討(師生互學)【例1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于點D.求：(1)AC的長；(2)△ABC的面積；(3)CD的長．【互動探究】(引發學生思索)視察圖形與已知條件，利用勾股定理求AC的長，利用三角形的面積公式計算△ABC的面積，利用等面積法求CD的長．【解答】(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝12cm.(2)S△ABC＝eq\f(1,2)CB·AC＝30cm2.(3)∵S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)CD·AB，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(60,13)cm.【互動總結】(學生總結，老師點評)解此類題時，一般是先利用勾股定理求出第三邊，利用兩種方法表示出同一個直角三角形的面積，然后依據面積相等得出一個方程，再解這個方程即可．【例2】寫出下列各命題的逆命題，并推斷其逆命題是真命題還是假命題．(1)兩直線平行，同旁內角互補；(2)垂直于同一條直線的兩直線平行；(3)相等的角是內錯角；(4)有一個角是60°的三角形是等邊三角形．【互動探究】(引發學生思索)什么是逆命題？逆命題肯定是真命題嗎？【解答】(1)逆命題：同旁內角互補，兩直線平行．該逆命題是真命題．(2)逆命題：假如兩條直線平行，那么這兩條直線垂直于同一條直線(在同一平面內)．該逆命題是真命題．(3)逆命題：內錯角相等．該逆命題是假命題．(4)逆命題：等邊三角形有一個角是60°.該逆命題是真命題．【互動總結】(學生總結，老師點評)逆命題的條件是原命題的結論，逆命題的結論是原命題的條件．【例3】如圖，在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝eq\f(1,4)AD，求證：CE⊥EF.【互動探究】(引發學生思索)視察圖形，要證CE⊥EF，考慮證△CFE是直角三角形．結合已知條件，可考慮利用勾股定理的逆定理進行證明．【證明】如題圖，連結CF，設正方形的邊長為4.∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝4.∵點E為AB中點，AF＝eq\f(1,4)AD，∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3，∴由勾股定理，得EF2＝12＋22＝5，EC2＝22＋42＝20，FC2＝42＋32＝25.∵EF2＋EC2＝FC2，∴△CFE是直角三角形，且∠FEC＝90°，即EF⊥CE.【互動總結】(學生總結，老師點評)利用勾股定理的逆定理可以推斷一個三角形是否為直角三角形，所以此定理也是判定垂直關系的一個主要方法．活動2鞏固練習(學生獨學)1．具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是(D)A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A－∠B＝∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3D．∠A＝∠B＝3∠C2．如圖，正方形網格中有△ABC，若小方格邊長為1，則△ABC的形態為(A)A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．以上答案都不對3．命題“全等三角形的周長相等”的逆命題是周長相等的三角形是全等三角形．4．如圖所示，以Rt△ABC的三條邊為邊長分別向外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，且S1＝4，S2＝8，則S3＝12.5．如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高．(1)求證：∠ACD＝∠B；(2)若AC＝3，BC＝4，AB＝5，則求CD的長．(1)證明：∵CD是Rt△ABC斜邊上的高，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝∠A＋∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B.(2)解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)AC·BC，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(3×4,5)＝eq\f(12,5).活動3拓展延長(學生對學)【例4】如圖所示，在等腰直角三角形OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以OA1為直角邊作等腰直角三角形OA1A2，以OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3，…，則OAn的長度為______．【互動探究】∵△OAA1為等腰直角三角形，OA＝1，∴OA1＝eq\r(2)OA＝eq\r(2).∵△OA1A2為等腰直角三角形，∴OA2＝eq\r(2)OA1＝2＝(eq\r(2))2.∵△OA2A3為等腰直角三角形，∴OA3＝eq\r(2)OA2＝2eq\r(2)＝(eq\r(2))3.∵△OA3A4為等腰直角三角形，∴OA4＝eq\r(2)OA3＝4＝(eq\r(2))4，…，∴OAn＝eq\r(2)OAn－1＝(eq\r(2))n.【答案】(eq\r(2))n【互動總結】(學生總結，老師點評)此題主要考查了等腰直角三角形的性質以及勾股定理，嫻熟應用勾股定理是解題關鍵．環節3課堂小結，當堂達標(學生總結，老師點評)1．直角三角形的性質：(1)直角三角形的兩個銳角互余；(2)直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方(勾股定理)．2．直角三角形的判定eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(有兩個角互余的三角形是直角三角形,假如三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，,那么這個三角形是直角三角形))3．逆命題：在兩個命題中，假如一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．4．假如有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱它們為互逆定理．練習設計請完成本課時對應練習！第2課時直角三角形全等的推斷教學目標一、基本目標1．能夠證明直角三角形全等的“HL”定理，并能利用“HL”定理解決實際問題．2．進一步駕馭推理證明的方法，提升演繹推理實力和思維實力．二、重難點目標【教學重點】直角三角形全等的判定方法．【教學難點】直角三角形全等的判定的應用．教學過程環節1自學提綱，生成問題【5min閱讀】閱讀教材P18～P20的內容，完成下面練習．【3min反饋】1．證明三角形全等的方法有：AAS、ASA、SAS、SSS.2．斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等．這肯定理可以簡述為“斜邊、直角邊”或“HL”．3．如圖，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以證明△BAD≌△BCD的理由是(A)A．HL B．ASAC．SAS D．AAS4．下列條件中能判定兩個直角三角形全等的有(D)①有兩條直角邊對應相等；②有兩個銳角對應相等；③有斜邊和一條直角邊對應相等；④有一條直角邊和一個銳角對應相等；⑤有斜邊和一個銳角對應相等；⑥有兩條邊相等．A．6個 B．5個C．4個 D．3個環節2合作探究，解決問題活動1小組探討(師生互學)【例1】如圖，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在線段BC上，DE與AF交于點O，且AB＝CD，BE＝CF.求證：Rt△ABF≌Rt△DCE.【互動探究】(引發學生思索)證明三角形全等的方法有哪些？已知兩邊對應相等可以找尋哪些條件證明三角形全等？【證明】∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF與△DCE都為直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BF＝CE，,AB＝CD，))∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．【互動總結】(學生總結，老師點評)利用“HL”判定三角形全等，首先要判定這兩個三角形是直角三角形，然后找出對應的斜邊和直角邊相等即可．【例2】如圖，已知AD、AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，若AD＝AF，AC＝AE.求證：BC＝BE.【互動探究】(引發學生思索)從圖中可以知道，要證BC＝BE，可以從三角形全等入手．視察圖形推斷Rt△ADC和Rt△AFE全等嗎？Rt△ABD和Rt△ABF呢？【證明】∵AD、AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，∴∠D＝∠F＝90°.在Rt△ADC和Rt△AFE中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AC＝AE，,AD＝AF，))∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，∴CD＝EF.在Rt△ABD和Rt△ABF中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝AB，,AD＝AF，))∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，∴BD＝BF，∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.【互動總結】(學生總結，老師點評)證明線段相等可通過證明三角形全等解決．直角三角形的判定方法最多，運用時應當抓住“直角”這個隱含的已知條件．活動2鞏固練習(學生獨學)1．下列條件中能說明兩個直角三角形全等的是(D)A．銳角分別相等B．一條直角邊分別相等C．斜邊分別相等D．兩直角邊分別相等2．如圖所示，AB∥EF∥DC，∠ABC＝90°，AB＝DC，那么圖中共有全等三角形(C)A．5對 B．4對C．3對 D．2對3．在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，再補充一個條件BC＝EF(答案不唯一)，便可得Rt△ABC≌Rt△DEF.4．如圖，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF過點C，BE⊥EF于點E，DF⊥EF于點F，BE＝DF.求證：Rt△BCE≌Rt△DCF.證明：連結BD.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝DC.∵BE⊥EF，DF⊥EF，∴∠E＝∠F＝90°.在Rt△BCE和Rt△DCF中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝DC，,BE＝DF，))∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)．活動3拓展延長(學生對學)【例3】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB.點P、Q分別在線段AC和過點A且垂直于AC的射線AM上運動，且點P不與點A、C重合，那么當點P運動到什么位置時，才能使△ABC與△APQ全等？【互動探究】本題要分狀況探討：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此時AP＝BC＝10，可據此求出點P的位置；(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此時AP＝AC，P、C重合，不合題意．【解答】分狀況探討：(1)當點P運動到AP＝BC時，在Rt△ABC和Rt△QPA中，∠C＝∠QAP＝90°，BC＝AP，AB＝PQ