第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓中梯形的存在性問題》專項測試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．已知如圖，的外切等腰梯形的中位線，求梯形的腰長．（梯形中位線是指連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線，梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半）．2．如圖，是的切線，切點為A、B，，點D，C分別是上的點，平分的半徑是6，設(shè)．(1)求證：是的切線；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)梯形的面積為，求的長．3．已知是的直徑，弦，垂足為點，點在直徑上與、不重合，，連接并延長與交于點．(1)如圖1，當點與點重合時，求的度數(shù)；(2)連接交弦于點，如果，求的值；(3)當四邊形是梯形時，且，求的長．4．如圖，已知中，，，，點D在上，連接，以點A為圓心、以為半徑作圓A，圓A和邊交于點E，點F在圓A上，且．

(1)設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；并寫出的長；(2)如果點E是弧的中點，求的值；(3)連接，如果四邊形是梯形，求的長．5．如圖，，，，點O為射線上一動點，以O(shè)為圓心，長為半徑作，交射線于點P，交線段于點E，連接、相交于點G，與射線交于點F.(1)在圖1，若與直線相切，求弦的長；(2)在圖2，設(shè)（為銳角），，，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(3)如果與直線交另一點為Q，且四邊形是梯形，求的半徑.6．已知：如圖．在梯形中．，，，，，點是上一點（點與點不重合），以為半徑的與邊相交于點和點．(1)如果，求的長；(2)如果，試判斷以為直徑的與的位置關(guān)系；(3)聯(lián)結(jié)，如果和相似，求的長．7．如圖，已知梯形中，，，，以為直徑作．（1）求證：為的切線；（2）試探索以為直徑的圓與有怎樣的位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．8．如圖，已知△ABC，AB=，，∠B=45°，點D在邊BC上，聯(lián)結(jié)AD，以點A為圓心，AD為半徑畫圓，與邊AC交于點E，點F在圓A上，且AF⊥AD．（1）設(shè)BD為x，點D、F之間的距離為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（2）如果E是的中點，求的值；（3）聯(lián)結(jié)CF，如果四邊形ADCF是梯形，求BD的長．9．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=．點O為BC邊上的動點，以O(shè)為圓心，BO為半徑的⊙O交邊AB于點P．（1）設(shè)OB=x，BP=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定義域；（2）當⊙O與以點D為圓心，DC為半徑⊙D外切時，求⊙O的半徑；（3）連接OD、AC，交于點E，當△CEO為等腰三角形時，求⊙O的半徑．10．已知，如圖，在梯形中，，，以點為圓心，長為半徑的與相切于，與交于點，過點作，垂足為．求證：四邊形為矩形；若，，求的長．11．如圖，⊙O的直徑AB＝12cm，AM和BN是它的兩條切線，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C

（1）若AD＝4cm，求BC的長；（2）設(shè)AD=x，BC=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）梯形ABCD的面積為78cm2，求AD的長12．如圖，在梯形中，，，點為邊上一動點，作，垂足在邊上，以點為圓心為半徑畫圓，交線段于點．(1)求梯形的面積；(2)分別連接和，當與相似時，以點為圓心，為半徑的與相交，試求的半徑的取值范圍；(3)將劣弧沿直線翻折交于點，試通過計算說明線段和的比值為定值，并求出此定值．13．如圖所示，在梯形中，，為內(nèi)切圓，E、F為切點．(1)試猜與的位置關(guān)系，并說明理由．(2)若，，求的面積．14．若凸四邊形的兩條對角線所夾銳角為，我們稱這樣的凸四邊形為“美麗四邊形”．(1)①在“平行四邊形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“美麗四邊形”的有；②若矩形是“美麗四邊形”，且，則；(2)如圖1，“美麗四邊形”內(nèi)接于⊙O，與相交于點P，且對角線為直徑，，求另一條對角線的長；(3)如圖2，平面直角坐標系中，已知“美麗四邊形”的四個頂點，B在第三象限，D在第一象限，與交于點O，且四邊形的面積為，若二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，且）的圖象同時經(jīng)過這四個頂點，求a的值．15．在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5，CD=5．E為底邊BC上一點，以點E為圓心，BE為半徑畫⊙E交直線DE于點F．（1）如圖，當點F在線段DE上時，設(shè)BE，DF，試建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）當以CD直徑的⊙O與⊙E與相切時，求的值；（3）聯(lián)接AF、BF，當△ABF是以AF為腰的等腰三角形時，求的值.參考答案1．【分析】本題考查了梯形的中位線、圓外切四邊形的性質(zhì)，先根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)可得，再根據(jù)圓外切四邊形的性質(zhì)可得，由此即可得．【詳解】解：∵圓外切等腰梯形的中位線是，∴，∵等腰梯形是的外切等腰梯形，∴，∴，即梯形的腰長為．2．(1)見解析(2)(3)或【分析】（1）過點O作于點E，則．依據(jù)切線的性質(zhì)可知，接下來證明，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知，可證得結(jié)論；（2）過點D作于點F，則．由切線長定理可得：，則，在中依據(jù)勾股定理可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）設(shè)，由（2）可知，由梯形面積公式可得，再求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，過點O作于點E，則．∵與相切于點A，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∵是的半徑，∴是的半徑，∴是的切線；（2）解：如圖，過點D作于點F，∵是的切線，∴，∴四邊形是矩形，∴，由切線長定理得：，∵，∴，在中，，即，化簡得；（3）解：∵梯形是直角梯形，則，設(shè)，由（2）可知，∴，化簡得，解得或，∴長為或．【點睛】本題主要考查的是切線的性質(zhì)和判定，切線長定理，梯形的面積，解答本題主要應(yīng)用了切線的性質(zhì)和判定定理、全等三角形的性質(zhì)和判定，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．3．(1)(2)(3)【分析】(1)如圖，連接、、，根據(jù)垂徑定理推出，結(jié)合，即可推出四邊形是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)推出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得解；(2)結(jié)合圖形，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，進而推出，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)合題意求解即可；(3)結(jié)合得出，，根據(jù)梯形的性質(zhì)、圓周角定理、平行線的判定與性質(zhì)推出，解直角三角形得出，根據(jù)，EO=∠FEA，推出△CEO∽△FEA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，結(jié)合OA=OE+AE=3求解即可．【詳解】（1）解：如圖1，連接、、，，垂足為點，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，，，是等邊三角形，；（2）如圖，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，；（3）如圖，連接，由知，，，在梯形中，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，，設(shè)，則，，，．【點睛】此題是圓的綜合題，考查了垂徑定理、圓周角定理、菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、梯形的性質(zhì)等知識，熟練掌握垂徑定理、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．4．(1)，(2)(3)1或【分析】（1）過A作于H，利用銳角三角函數(shù)和勾股定理求解即可；（2）在上圖中，連接交于Q，根據(jù)垂徑定理的推論和直角三角形斜邊中線性質(zhì)得到，，利用正切定義得到，設(shè)，則，，由求得，，利用勾股定理求得即可求解；（3）根據(jù)梯形性質(zhì)，分和兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：過A作于H，則，∵，，∴，∵，，∴，，∴，，∴；（2）解：在上圖中，連接交于Q，∵點E是弧的中點，∴，，又，∴，在中，，在中，，∵，∴，設(shè)，則，，∴，解得：，∴，，在中，，∴，∴；（3）解：如果四邊形是梯形，有兩種情況：當時，如圖，

∵，∴，∴D和（1）圖中的H重合，則；當時，連接，如圖，

∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，又，∴，∴，即，解得，（負值舍去），∴，綜上，當四邊形是梯形時，的長為1或．【點睛】本題是圓的綜合題，涉及銳角三角函數(shù)、勾股定理、垂徑定理的推論、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、解一元二次方程、梯形性質(zhì)等知識，綜合性較強，解答本題熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，對學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識貫穿起來．5．(1)(2)，(3)【分析】（1）由與直線相切，可得，，，可得到，由，即可求得（2）過點A作于點M，連接，求得，由，得到，即可得到結(jié)果（3）由四邊形是梯形，若，，即可求得半徑為，若，這樣的圓不存在；【詳解】（1）∵與直線相切，∴，即，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴（2）過點A作于點M，連接，雖然點O為射線上一動點，但是不變由（1）所求數(shù)據(jù)知：，，，，，∴，∵，∴，，∴，∵，，∴，∴，即，且∴，∴，∴，∵（為銳角），∴，即，即，∴，（3）連接，，設(shè)圓的半徑為由四邊形是梯形，若，且，則，∴，，由（2）知，∴，∴，若，且則，∴，∴點G與點B或點D重合，當G與點B重合時，點P也與點B重合，這樣的圓不存在；當G與點D重合時，由，點P不會在射線上，這樣的圓也不存在；綜上所述，的半徑為：【點睛】本題是圓的綜合題目，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)等，本題綜合性強，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵6．(1)(2)以為直徑的與外切(3)的長為或【分析】（1）作于，如圖，利用矩形的性質(zhì)得，在Rt中，利用正弦的定義可計算出，再利用勾股定理計算出，則，然后證明，利用相似比可計算出；（2）作于，根據(jù)三線合一得出，進而可得為梯形的中位線，得出與的半徑，根據(jù)，即可判斷兩圓的位置關(guān)系；（3）作于，則，設(shè),則，證明，求得，，進而分兩種情況討論，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，解方程即可求解．【詳解】（1）作于，如圖，∵，∴，在中，∴，∴，∴，∵，∴，而，∴，∴，即，∴；（2）作于，如圖∵，∴，∵，∴為梯形的中位線，∴，，∴，∴，∴以為直徑的與外切；（3）如圖，作于，則，設(shè),則,∵，∴，∴，即解得：∴∴∵，∴，∵，∴，而，∴，當，∴，即即，解得：（舍去）∴當，∴，即，解得：（舍去）∴綜上所述，的長為或．【點睛】本題考查了梯形的中位線，梯形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，圓與圓的位置關(guān)系，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．7．（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）找到梯形的中位線即可解題，（2）作出輔助線，證明和【詳解】（1）證明：過點作于點，∵在梯形中，，∴，∴，∵，∴是梯形的中位線，∴，∵，∴，∵以為直徑作．∴直線是的切線．（2）設(shè)圓心為．過點作于點，過點作，∴是梯形的中位線，∴，∴，∵，∴=∠FA在和中，，∴≌，∴，∴與相切,即以為直徑的圓與相切.【點睛】本題考查了梯形的中位線，直線和圓的位置關(guān)系，綜合性較強.作輔助線，證明三角形全等是解題關(guān)鍵.8．(1)(0≤x≤3);(2);(3)BD的長是1或.【分析】（1）過點A作AH⊥BC，垂足為點H．構(gòu)造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD的長度．聯(lián)結(jié)DF，點D、F之間的距離y即為DF的長度，在Rt△ADF中，利用銳角三角形函數(shù)的定義求得DF的長度，易得函數(shù)關(guān)系式．（2）由勾股定理求得：AC=．設(shè)DF與AE相交于點Q，通過解Rt△DCQ和Rt△AHC推知．故設(shè)DQ=k，CQ=2k，AQ=DQ=k，所以再次利用勾股定理推知DC的長度，結(jié)合圖形求得線段BD的長度，易得答案．（3）如果四邊形ADCF是梯形，則需要分類討論：①當AF∥DC、②當AD∥FC．根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合圖形解答．【詳解】（1）過點作AH⊥BC，垂足為點H．∵∠B=45°，AB=，∴．∵BD為x，∴．在Rt△中，，∴．聯(lián)結(jié)DF，點D、F之間的距離y即為DF的長度．∵點F在圓A上，且AF⊥AD，∴，．在Rt△中，，∴．∴．

;（2）∵E是的中點，∴，平分．∵BC=3，∴．∴．設(shè)DF與AE相交于點Q，在Rt△中，，．在Rt△中，，．∵，∴．設(shè)，，∵，，∴．∵，∴．（3）如果四邊形ADCF是梯形則①當AF∥DC時，．∵，∴，即點D與點H重合．∴．②當AD∥FC時，．∵，∴．∵，∴．∴∽．∴．∵，．∴．即,整理得

，解得（負數(shù)舍去）．

綜上所述，如果四邊形ADCF是梯形，BD的長是1或．【點睛】此題屬于圓的綜合題，涉及了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)值以及勾股定理等知識，綜合性較強，解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識貫穿起來．9．（1）y=x（0＜x≤）；（2）1.8；（3）當△CEO為等腰三角形時，⊙O的半徑為3或4．【分析】（1）首先作OM⊥BD，即可滿足垂徑定理，在直角△OBM中求得BM的長，即可求得BP；（2）連接OD．作AN⊥BC，根據(jù)三角函數(shù)即可求得CD的長，根據(jù)兩圓相外切時，圓心距等于半徑的和即可得到一個關(guān)于半徑長的一個方程，即可求得半徑長；（3）當△CEO為等腰三角形時，利用當EO=EC時，當CE=CO時，分別求得圓的半徑．【詳解】解：（1）作OM⊥BP，則BP=2BM．在直角△BMO中，cosB==．∴BM=OB?cosB=．則BP=2BM=．∴函數(shù)的解析式是：y=x（0＜x≤）；（2）連接OD．作AN⊥BC．∵在直角△ABN中，cosB==．∴BN=AB?cosB=5×=3．則AN=CD=4．在直角△OCD中，OC=BC﹣OB=6﹣x，CD=4．則OD=．當兩圓相切時：=x+4解得：x=1.8；（3）在Rt△ACD中，AC=5，設(shè)⊙O的半徑為x，當EO=EC時，∠EOC=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EOC，∴AB∥OD，又∵AD∥BC，∴OB=AD=3，∴⊙O的半徑為3，當OE=OC時，∠ECO=∠CEO，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠ECO，∵∠AED=∠CEO，∴∠DAE=∠AED，∴AD=DE=3，∴OD=OE+DE=6﹣x+3=9﹣x，在Rt△OCD中，∵CD2+OC2=OD2，∴42+（6﹣x）2=（9﹣x）2，解得：x=（不合題意舍去）當CE=CO時，∠CEO=∠COE，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠COE，∵∠AED=∠CEO，∴∠AED=∠ADE，∴AD=AE=3，∵CE+AE=AC，∴6﹣x+3=5，∴x=4，∴⊙O的半徑為4．綜上所述，當△CEO為等腰三角形時，⊙O的半徑為3或4．【點睛】本題考查了三角函數(shù)，以及外切兩圓的性質(zhì)，關(guān)鍵是理解兩圓外切的性質(zhì)：圓心距=兩圓半徑的和．10．（1）證明見解析；（2）；【分析】(1)說明四邊形ABED的每一個角為直角即可．(2)設(shè)AD=DC=3k，則BC=4k，EC=k，根據(jù)勾股定理列方程，求出k．根據(jù)垂徑定理知CF=2CE．【詳解】∵與相切于點，∴，∵，，∴，∴，∴四邊形為矩形．∵四邊形為矩形，∴，∵，∴點在上，∵為圓心，，∴，∵，設(shè)則，∴，，，由勾股定理得，即，∴，∵，∴，∴．【點睛】主要考查直線與圓的位置關(guān)系，矩形，矩形的性質(zhì)，矩形的判定，垂直于直徑的弦

等．11．解：（1）如圖，過點D作DF⊥BC于點F，∵AM，BN，CD都是⊙O的切線，∴MAO＝∠NBO＝90°，AD＝DE，CB＝CE，∴四邊形ABFD是矩形，∴BF＝AD＝DE＝4cm，DF＝AB＝12cm，設(shè)BC＝CE＝xcm，則CF＝（x-4）cm，CD＝（x+4）cm，在Rt△DCF中，CD2＝DF2+CF2即(x+4)2＝122+（x-4）2解得X＝9，∴BC的長為9cm.

（2）由（1）可知DF＝AB＝12cm，當AD=x，BC=y時，CD＝x+y，在Rt△DCF中，CD2＝DF2+CF2即(x+y)2＝122+（y-x）2，化簡得y=(x>0).(3)∵梯形ABCD是直角梯形，則S梯形ABCD＝78，設(shè)AD＝x，則（2）可知BC＝，∴

，化簡得，解得x=4或x=9，∴AD的長為4cm或9cm.【分析】(1)過點D作DF⊥BC于點F，可證四邊形ABFD是矩形，則BF＝AD＝DE＝4cm，DF＝AB＝12cm，BC＝CE＝xcm，則CF＝（x-4）cm，CD＝（x+4）cm，在Rt△DCF中由勾股定理可求.(2)當AD=x，BC=y時，CD＝x+y，在Rt△DCF中由勾股定理可得y=(x>0).(3)梯形ABCD是直角梯形，則S梯形ABCD＝78，設(shè)AD＝x，則（2）可知BC＝，通過方程即可求解.【詳解】略12．(1)(2)(3)線段和的比值為定值，為【分析】本題主要考查圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握等腰梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)及與圓有關(guān)的位置關(guān)系等知識點．（1）作，由等腰梯形性質(zhì)知、，據(jù)此利用梯形面積公式即可解答；（2）知，從而可設(shè)，則、，由得，據(jù)此求得的值，從而得出圓的半徑，再根據(jù)兩圓間的位置關(guān)系求解可得；（3）在圓上取點關(guān)于的對稱點，連接，作、，先證得，由、、知、，據(jù)此得出、及，繼而表示出、的長，從而出答案．【詳解】（1）解：如圖，作于點，連接，梯形中，，且，，，梯形的面積為；（2）解：根據(jù)（1）中可得設(shè)、、，，，四邊形是梯形，且，，當時，，，，，，即，解得：（經(jīng)檢驗，舍去），則，即圓的半徑為，圓與圓相交，且，，；當時，，即，為負值，不成立；綜上，；（3）解：如圖，在圓上取點關(guān)于的對稱點，連接，作于，于，則、、、，，，，，，，，由（1）知、、，、，、，，，，，故線段和的比值為定值，為．13．(1)，理由見解析(2)【分析】本題考查的是切線長定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，切線的性質(zhì)；（1）先證明，再證明，，可得，從而可得結(jié)論；（2）先求解，結(jié)合切線的性質(zhì)求解，從而可得答案．【詳解】（1）解：∵在梯形中，，∴，∵為四邊形內(nèi)切圓，∴，，∴，∴，∴．（2）解：∵，，，∴，∵切于，∴，∴，∴，∴的面積為：．14．(1)①菱形、正方形；②或；(2)(3)或【分析】（1）①根據(jù)平行四邊形、梯形、菱形、正方形的對角線特點即可求解；②分類討論（i）如若為較短的邊（ii）若為較長的邊，兩種情況即可求解；（2）過點O作于點H，連接，可得；在中，求出；在中，求出，即可求；（3）求出直線解析式為，設(shè)二次函數(shù)解析式為，聯(lián)立：得，可推出；根據(jù)可得，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：①∵菱形、正方形的對角線互相垂直，∴菱形、正方形不是“美麗四邊形”．故答案為：菱形、正方形．②設(shè)矩形對角線相交于點O，∴，∴，∵矩形是“美麗四邊形”，∴夾角為；（i）如圖1，若為較短的邊，則，∴是等邊三角形，∴，∴中，；（ii）如圖2，若為較長的邊，則，∴是等邊三角形，∴，∴中，，綜上所述：或；（2）解：過點O作于點H，連接，∴，，∵，∴⊙O直徑，∴，∴，∵四邊形是“美麗四邊形”，∴，∴中，，∴中，，∴；（3）解：過點B作軸于點M，過點D作軸于點N，∴，∵四邊形是“美麗四邊形”，∴，∴，∴直線解析式為，∵二次函數(shù)的圖象過點，即與x軸交點為A、C，∴設(shè)二次函數(shù)解析式為，聯(lián)立：，整理得：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得：，∴a的值為或．【點睛】本題以新定義題型為背景，考查了平行四邊形及平行四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，利用三角函數(shù)解直角三角形，二次函數(shù)，一元二次方程等知識點，綜合性較強，需要學(xué)生掌握