第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《與對稱有關的最值模型》專項測試卷(帶答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．在中，，，點為線段上一動點，連接．

(1)如圖1，若，，求線段的長．(2)如圖2，以為邊在上方作等邊，點是的中點，連接并延長，交的延長線于點．若，求證：．(3)在取得最小值的條件下，以為邊在右側作等邊．點為所在直線上一點，將沿所在直線翻折至所在平面內得到．連接，點為的中點，連接，當取最大值時，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內得到，請直接寫出此時的值．2．已知，等腰直角中，，，為邊上的一點，連接，以為斜邊向右側作直角，連接并延長交的延長線于點．(1)如圖1，當，，時，求線段的長；(2)如圖2，當時，求證：點為線段的中點；(3)如圖3，點與點重合，，為邊上一點，為邊上一點，連接，當取最大值時，請直接寫出三角形周長的最小值．3．如圖①，已知，中，，，．點為線段上一動點．連接，將沿折疊，得到，連接，或的延長線交于點．(1)說明線段和線段的位置關系；(2)當共線時，求線段，線段的長；(3)①點為中點時，求的面積；②若點位于的中垂線上，求點到的距離．(4)如圖②，若交于點，直接寫出的最大值．4．在菱形中，，，分別是線段上的動點．將菱形沿翻折，點分別落在處，且線段過點B，線段與交于點O．(1)如圖1，當時，求證：；(2)當時，求長；(3)當最小時，連接與交于點M，求長．(4)連接與交于點M，求的最大值．5．在中，，為延長線上一點，E為線段的垂直平分線的交點，連接．(1)如圖1，當時，求的度數．(2)當時，①如圖2，連接，按邊分，是_______三角形．②如圖3，直線與交于點F，滿足為直線上的一個動點．說明當點P在什么位置時，的值最大？并求出這個最大值．6．如圖1，中，，，點為斜邊的中點，點是線段上的動點，點關于直線對稱點為點，連接，連接．(1)當為等邊三角形，的大小為________；(2)如圖2，延長，交射線于點，大小是否發生變化？若不變，請求出的大小：若變化，請說明理由．(3)如圖2，，點由點運動至點的過程中，的面積最大值為________，掃過的面積為________．7．【問題情境】：如圖，在中，，于，，，求的長．【問題解決】小明同學是這樣分析的：將沿著翻折得到，將沿著翻折得到，延長、相交于點，設為，在中運用勾股定理，可以求出的長．

（1）說明四邊形是正方形；（2）求出的長．【方法提煉】請用小明的方法解決以下問題：（3）如圖，四邊形中，，，，，求的最大值．（4）如圖，四邊形中，，，點是上一點，且，，，則的最大值為（直接寫出結果）8．如圖，為等腰三角形，，和分別為等邊三角形，與交于點，連接并延長，交于點．(1)求證：；(2)如圖2，點為邊上點，連接，且．①證明：；②若，點為線段上動點，若，求的最大值．9．在中，，，為延長線上一點，點為線段，的垂直平分線的交點，連接，，．(1)如圖1，當時，則的大小；(2)當時，①如圖2，連接，的形狀是三角形；②如圖3，直線與交于點，滿足．P為直線上一動點．說明P點在什么位置時，有最大值；請直接寫出這個最大值．（提示：作點D關于直線的對稱點）10．如圖，△ABC為等邊三角形，點D為線段BC上一點，將線段AD以點A為旋轉中心順時針旋轉60°得到線段AE，連接BE，點D關于直線BE的對稱點為F，BE與DF交于點G，連接DE，EF．（1）求證：∠BDF＝30°（2）若∠EFD＝45°，AC＝+1，求BD的長；（3）如圖2，在（2）條件下，以點D為頂點作等腰直角△DMN，其中DN＝MN＝，連接FM，點O為FM的中點，當△DMN繞點D旋轉時，求證：EO的最大值等于BC．11．如圖1，在平面直角坐標系中有矩形，點，將矩形沿折疊，使得點落在點處，邊交軸于點，．(1)求點E的坐標；(2)如圖2，在直線以及軸上是否分別存在點，，使得的周長最??？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由；(3)點P為y軸上一動點，作直線交直線于點，是否存在點使得為等腰三角形？如果存在，請求出的度數；如果不存在，請說明理由．12．在中，，對角線交于點，，是上兩點．延長交于點，延長交于點．(1)如圖1，若．①求證：；②如圖2，連結交于點，連結，若．求證：．(2)如圖3，若，，，是否存在最小值？若存在，求出最小值并直接寫出的長度；若不存在，請說明理由．13．【問題探究】（1）如圖1，在四邊形中，，，分別延長、，交于點，若，求的長；（2）如圖2，在中，，點為的中點，點為邊上的動點，連接、，若，，求的最小值；【問題解決】（3）隨著科技的飛速發展，人工智能（AI）已經成為驅動全球經濟和科技創新的重要力量．某科技公司有一個形狀為四邊形的研發基地（如圖3），測得，，，，現計劃在、、、邊上分別取點、、、，且，沿四邊形修建一個人工智能研究中心，為確保安全和保密，需要在該研究中心四周修建圍墻，圍墻必須使用某種特殊材料，為節省成本，要求圍墻的總長度（四邊形的周長）盡可能的短．問圍墻總長度是否存在最小值？若存在，求出圍墻總長度的最小值；若不存在，請說明理由．14．如圖，在中，，，點，分別為邊，上一點，與相交于點，將線段繞點順時針旋轉得到線段，點恰好在線段的延長線上(1)若，，求的長；(2)若，為的中點，猜想線段和之間存在的數量關系，并證明你的猜想；(3)在（2）的條件下，將沿直線翻折至所在平面內得到，點在線段上，且，點是線段上一動點，將沿直線翻折至所在平面內得到，點為線段上一動點，當取得最小值時，請直接寫出的值．15．在平面直角坐標系中，已知點B在y軸上，點A在第一象限，且，．(1)若點C從點O出發，向x軸正半軸上運動，點D從點B出發，在線段上運動，C、D兩點同時出發，①如圖1，連接，連接，若當，時，求的長度；②如圖2，連接，若D為中點時，，求證：；(2)如圖3，點N在x軸的負半軸，連接，若，，垂足為點F，，的延長線交于點E，P為上一動點，當時，取最小值，求此時的長（用含m的式子表示）．參考答案1．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）解，求得，根據即可求解；（2）延長使得，連接，可得，根據，得出四點共圓，則，，得出，結合已知條件得出，可得，即可得證；（3）在取得最小值的條件下，即，設，則，，根據題意得出點在以為圓心，為半徑的圓上運動，取的中點，連接，則是的中位線，在半徑為的上運動，當取最大值時，即三點共線時，此時如圖，過點作于點，過點作于點，連接，交于點，則四邊形是矩形，得出是的中位線，同理可得是的中位線，是等邊三角形，將沿所在直線翻折至所在平面內得到，則，在中，勾股定理求得，進而即可求解．【詳解】（1）解：在中，，，∴，∵，∴；（2）證明：如圖所示，延長使得，連接，

∵是的中點則，，，∴，∴，∴，∴∵是等邊三角形，∴，∵，∴四點共圓，∴，，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，

在取得最小值的條件下，即，設，則，，∴，，∵將沿所在直線翻折至所在平面內得到．∴∴點在以為圓心，為半徑的圓上運動，取的中點，連接，則是的中位線，∴在半徑為的上運動，當取最大值時，即三點共線時，此時如圖，過點作于點，過點作于點，

∵是的中點，∴，∴是等邊三角形，則，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，如圖所示，連接，交于點，則四邊形是矩形，

∴，是的中點，∴即是的中位線，同理可得是的中位線，∴，∵是等邊三角形，將沿所在直線翻折至所在平面內得到，∴∴則在中，∴．

【點睛】本題考查了解直角三角形，全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質，三角形中位線的性質，折疊的性質，圓外一點到圓上距離的最值問題，垂線段最短，矩形的性質，等邊三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．2．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）過點作于點，根據等腰直角三角形性質可得出，，運用勾股定理可得出，再運用含度角的直角三角形的性質，勾股定理即可求出答案；（2）過點作于點，過點作交的延長線于點，連接，在上截取，連接，先證明是等腰直角三角形，再證明，即可證得結論；（3）延長至點，使，延長至點，使，連接，取中點，連接，，利用軸對稱性質和三角形中位線定理可求得，要使最大，必須最大，運用兩點間距離及三角形三邊關系可得的最大值，即可求得答案．【詳解】（1）解：如圖1，過點作于點，，，，，，，，，，，，；（2）過點作于點，過點作交的延長線于點，連接，在上截取，連接，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，即，，，，，，，，，，，，，，，點為線段的中點；（3）如圖3，延長至點，使，延長至點，使，連接，取中點，連接，，∵AB=4，∠ACB=90°，AC=BC，，點是中點，，，，點是中點，，的最大值為，，，，，，、關于對稱，、關于對稱，三角形周長的最小值為的長，，，，，，，要使最大，必須最大，的最大值為，三角形周長的最小值為的長，即【點睛】本題考查了等腰直角三角形性質，直角三角形性質，全等三角形判定和性質，勾股定理，軸對稱性質，三角形中位線定理等，解題關鍵是熟練掌握軸對稱性質、等腰直角三角形性質等相關知識，合理添加輔助線構造全等三角形，通過軸對稱性質解決線段的最值問題．3．(1)線段垂直線段(2)；(3)①；②或者(4)【分析】題目主要考查折疊的性質，解三角形，相似三角形及全等三角形的判定和性質，理解題意，作出相應輔助線，結合圖形求解是解題關鍵．（1）根據折疊的性質即可得出結果；（2）根據題意及勾股定理得出，即可確定，再由余弦函數代入求解即可；（3）①過點作，垂足為，根據等腰三角形的性質及勾股定理得出，再由三角函數確定，結合圖形即可求解；②分兩種情況：當時，當時，作出相應輔助線，設，此時，利用相似三角形的判定和性質及一元二次方程的解法求解即可；（4）設為不同于的一點，此時交于點，過點作于點，利用軸對稱性質得出，，再由全等三角形的判定和性質及解三角形即可得出結果．【詳解】（1）解：線段垂直線段，理由如下：是沿折疊得到，，線段是線段垂直平分線的一部分，線段垂直線段；（2）當共線時，點重合，，在中，，，，，，，，，此時；（3）①過點作，垂足為，點為中點，，，，∴，由勾股定理可得，，，在中，，，，同理：，，，，，，由對稱的性質可知，；②當時，設的中點為，連接，過點作于點，設，此時，，，，，，，（舍去），點到的距離為，當時，同理可得：，點到的距離為，綜上所述：點到的距離為或者；（4），當最小時，取得最大值，當時，最小，理由如下：設為不同于的一點，此時交于點，過點作于點，由軸對稱性質可知，，，，，在中，，此時最小，在中，，，的最大值為：．4．(1)見解析(2)1(3)(4)【分析】（1）根據菱形性質可得，，由三角形內角和得，繼而得到，繼而得到本題答案；（2）設，根據菱形性質及角的轉化證明，繼而利用相似比得到本題答案；（3）過點作的對稱點，由題意得點在上，連接，當時，最小，即最小，則，，則，由得：，解得：，故，顯然為等邊三角形，則，由對稱得，，可求證，故；（4）當最大，即最小，同上可知時，最小，同上可求，則．【詳解】（1）解：∵菱形，∴，∴，∴，∵將菱形沿翻折，點分別落在處，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴設，，，∴，，∴，解得：，∴；（3）解：過點作的對稱點，由題意得點在上，連接，當時，最小，即最小，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得，設，則，∴由得：，解得：，∴∵，，∴為等邊三角形，∴，由對稱得，，∴，∴∴，∴；（4）解:過點作的對稱點，由題意得點在上，連接，當最大，即最小，同上可知時，最小，同上可求，∴．【點睛】本題考查菱形性質，三角形內角和定理，勾股定理，相似三角形判定及性質，等邊三角形判定及性質等知識點，熟練掌握各個知識點，添加恰當的輔助線是解決本題的關鍵．5．(1)(2)①等邊；②當點P在（點為點D關于直線的對稱點）的延長線上時，的值最大，最大值為2【分析】（1）利用線段的垂直平分線的性質以及三角形內角和定理，四邊形內角和定理解決問題即可；（2）①是等邊三角形，證明，即可；②結論：．如圖3中，作點關于直線的對稱點，連接，，．當點在的延長線上時，的值最大，此時，利用全等三角形的性質證明，可得結論．【詳解】（1）解：如圖1中，點是線段，的垂直平分線的交點，，，，，，，，，．（2）解：①如圖2中，點是線段，的垂直平分線的交點，，，，，，，，，，是等邊三角形；②如圖3中，作點關于直線的對稱點，連接，，．當點在的延長線上時，的值最大，此時，，，，，，，，，，，時等邊三角形，，，，，，，，，，．∴點在的延長線上時，的值最大，最大值為2，【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，軸對稱的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考常考題型．6．(1)(2)的大小不變，始終為(3)，【分析】（1）根據等邊三角形及軸對稱的性質即可求得，進而可得答案；（2）設的大小為，則，由軸對稱可知，，可得，，進而求得，再由三角形外角的性質即可得出答案；（3）作的外接圓，連接，，，過點作，，可知（當與重合時取等號），進而根據三角形的面積即可求得的面積最大值，再證、、、四點共圓，點在以為圓心，為直徑，的圓上運動，連接并延長交與，則，根據運動臨界點可知所掃過的面積為弦所對的弓形的面積，進而可求得答案．【詳解】（1）解：當為等邊三角形，，則，由軸對稱可知，，∴，故答案為：；（2）的大小不變，始終為．設的大小為，則由軸對稱可知，，，∵，則，，是的外角，；（3）作的外接圓，連接，，，過點作，，由（2）可知，，，∴，∵，∴，則，，∴（當與重合時取等號），∴的面積最大值為；∵，，點為斜邊的中點，∴，，，則、、、四點共圓，∴點在以為圓心，為直徑，的圓上運動，連接并延長交與，則，∴，當點在點時，點與點重合，當點在點時，點與點重合，則點由點運動至點的過程中，所掃過的面積為弦所對的弓形的面積，∴掃過的面積；故答案為：，．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，軸對稱的性質，圓周角定理，解直角三角形等，正確地作出輔助線是解題的關鍵．7．（1）見解析；（2）；（3）的最大值為；（4）【分析】（1）由折疊的性質可得，，，，，，，可證四邊形是正方形；（2）由正方形的性質可得，，由勾股定理可求解；（3）將沿著翻折得到，將沿著翻折得到，由折疊的性質可求，當，，三條線段共線時，有最大值為，即可求解；（4）由折疊的性質可得，，，，，，可求，當，，三條線段共線時，有最大值．【詳解】解：（1）將沿著翻折得到，將沿著翻折得到，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形；（2）設，四邊形是正方形，，，，，在中，，，或（舍去），；（3）如圖，將沿著翻折得到，將沿著翻折得到，連接，，，，，，，，，，，，，當，，三條線段共線時，有最大值，則的最大值；（4）如圖，將沿著翻折得到，將沿著翻折得到，連接，

，，，，，，，，，，當，，三條線段共線時，有最大值，故答案為：．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了折疊的性質，正方形的判定和性質，勾股定理等知識，利用折疊的性質添加輔助線是解題的關鍵．8．(1)見解析(2)①見解析；②【分析】（1）根據等腰三角形和等邊三角形的性質得到，推出，求證可得，根據等腰三角形底邊三線合一即可證明；（2）①設，根據三角形的外角的性質得出，，根據三角形呢幾何定理得出；②作點關于的對稱點，連接并延長交于點，連接，根據最大，證明是等邊三角形，進而得出，即可求解．【詳解】（1）證明：，，和為等邊三角形，，，．在和中，，，，，，；（2）①設由（1）可得，則又∴,∵，∴∵，∴，∵即，∴，②∴∵∴∴，作點關于的對稱點，如圖所示，連接并延長交于點，連接此時最大，由①可得∴∵∴∴∴是等邊三角形∴∴∵∴即的最大值為【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，三角形的外角的性質，三角形內角和定理的應用，兩點之間線段最短，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．9．(1)(2)①等邊②點在的延長線上時，的值最大，最大值為2，理由見解析【分析】（1）利用線段的垂直平分線的性質以及三角形內角和定理，四邊形內角和定理解決問題即可；（2）①是等邊三角形，證明，即可；②結論：．如圖3中，作點關于直線的對稱點，連接，，．當點在的延長線上時，的值最大，此時，利用全等三角形的性質證明，可得結論．【詳解】（1）解：如圖1中，點是線段，的垂直平分線的交點，，，，，，，，，．（2）解：①如圖2中，點是線段，的垂直平分線的交點，，，，，，，，，，是等邊三角形；②如圖3中，作點關于直線的對稱點，連接，，．當點在的延長線上時，的值最大，此時，，，，，，，，，，，時等邊三角形，，，，，，，，，，．∴點在的延長線上時，的值最大，最大值為2，【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，軸對稱的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．10．（1）見解析；（2）2；（3）見解析【分析】（1）由△ABC是等邊三角形，可得∠ABC=60°，由D、F關于直線BE對稱，得到BF=BD，則∠BFD=∠BDF，由三角形外角的性質得到∠BFD+∠BDF=∠ABD，則∠BDF=∠BFD=30°；（2）設，由D、F關于直線BE對稱，得到∠BGD=∠BGF=90°，EF=ED，EG=DG，由含30度角的直角三角形的性質和勾股定理得，，證明△EAB≌△DAC得到，再由，得到，由此求解即可；（3）連接OG，先求出，證明OG是三角形DMF的中位線，得到，再根據兩點之間線段最短可知，則OE的最大值等于BC．【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵D、F關于直線BE對稱，∴BF=BD，∴∠BFD=∠BDF，∵∠BFD+∠BDF=∠ABD，∴∠BDF=∠BFD=30°；（2）設，∵D、F關于直線BE對稱，∴∠BGD=∠BGF=90°，EF=ED，∴∠EDG=EFG=45°，∴EG=DG，∵∠BDG=30°，∴，∴，由旋轉的性質可得AE=AD，∠EAD=∠BAC=60°，∴∠EAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD，即∠EAB=∠DAC，又∵AB=AC，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴，∵，∴，∴，∴；（3）如圖所示，連接OG，∵在等腰直角三角形DMN中，，∴，∵D、F關于直線BE對稱，∴G為DF的中點，又∵O為FM的中點，∴OG是三角形DMF的中位線，∴，由（2）可得，根據兩點之間線段最短可知，∴OE的最大值等于BC．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，軸對稱的性質，全等三角形的性質與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形性質，三角形中位線定理，兩點之間線段最短等等，解題的關鍵在于能夠熟練掌握軸對稱的性質和等邊三角形的性質．11．(1)(2)存在，周長的最小值為8(3)存在，或【分析】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質，直角三角形的性質，等腰三角形的性質，折疊的性質，利用分類討論思想解決問題是本題的關鍵．（1）由矩形的性質和折疊的性質可得，，可得，由直角三角形的性質可求解；（2）過點作軸的對稱點，過點作的對稱點，連接交軸于點，與交于，即的周長最小值為，由直角三角形的性質可求，的長，可求點，點坐標，即可求解；（3）分三種情況討論，由等腰三角形的性質可求解．【詳解】（1）解：點，，四邊形是矩形，，，，由折疊可知：，，設，則，根據勾股定理可得，即，解得（負值舍去），點的坐標；（2）解：如圖2，過點作軸的對稱點，過點作的對稱點，連接交軸于點，與交于，，，的周長為，則點四點共線時最小值為，由（1）可得，點，點關于軸對稱，點，點關于對稱，，，點，點，，的周長最小值為8；（3）解：存在點使得△為等腰三角形，若，如圖3，，，，，若時，如圖4，，，；若，如圖5，，，此時點與點重合，不存在這樣的點．綜上所述：的度數為或．12．(1)①見解析；②見解析(2)存在，，【分析】（1）①證明即可解答；②證明，得出，再結合①得出，即可得，證明，即可解答．（2）取的中點，證明，得出，作點關于直線的對稱點，則，，作交延長線于點，則，，證明，得出，取中點，連接，得出是的中位線，，，則三點共線時，最?。^作于點，求出，，連接，勾股定理求出，根據，求出的最小值為．再證明，根據相似三角形的性質求出即可解答．【詳解】（1）解：①證明：在中，，，，在與中，，．②證明：，，，，，，，，，．（2）解：存在．四邊形是平行四邊形，，，取的中點，則，，，在和中，，作點關于直線的對稱點，則，，作交延長線于點，則，，∴，∴，，取中點，連接，∵點是的中點，∴是的中位線，∴，，則三點共線時，最?。^作于點，則，，，，，連接，，，，的最小值為．∵，∴，∴，，∴，∴，故此時．【點睛】該題考查了相似三角形的性質和判定，平行四邊形的性質，解直角三角形，勾股定理，三角形中位線定理，軸對稱的性質，全等三角形的性質和判定等知識點，解題的關鍵是正確做出輔助線．13．（1）；（2）；（3）圍墻總長度存在最小值，最小值為【分析】（1）根據解直角三角形的計算得到，，由即可求解；（2）如圖2，作點關于的對稱點，連接、，則，，當、、三點共線時，最小，即此時最小，最小值為的長，作的中位線，則，，，，由此即可求解；（3）如圖3，延長和，兩線交于點，根據解直角三角形得到，，，，分別作點關于，所在直線的對稱點，，連接，作點關于所在直線的對稱點，連接，延長交于點，作點關于所在直線的對稱點.過點作的垂線，垂足為，并延長，交于點，連接交于點，連接，，，，所以,當點，，，，共線時，四邊形的周長最小，該最小值等于線段的長，，，，在中，，由此即可求解．【詳解】解：（1）在中，，，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴；（2）如圖2，作點關于的對稱點，連接、，則，，∴，∴當、、三點共線時，最小，即此時最小，最小值為的長，取的中點，即，又∵點是的中點，∴，，∴，∵，∴，即的最小值為；（3）如圖3，延長和，兩線交于點，∵，，∴，∵，，，，∴，，∴，∴，，，分別作點關于，所在直線的對稱點，，連接，作點關于所在直線的對稱點，連接，延長交于點，作點關于所在直線的對稱點.過點作的垂線，垂足為，并延長，交于點，連接交于點，連接，，，，∴，，，四邊形關于所在直線對稱，∴，∴,∴當點，，，，共線時，四邊形的周長最小，該最小值等于線段的長，根據題意可得，，，∴，，，，根據題意，四邊形是矩形，則，，∴，，∴，∴，在中，，當點，，，，共線時，四邊形的周長取得最小值，最小值為，故圍墻總長度存在最小值，最小值為．【點睛】本題主要考查解直角三角形，軸對稱最短路徑的計算，勾股定理，矩形的判定和性質，掌握解直角