考研數學一試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.當$x\to0$時，$f(x)=x-\sinx$是比$x^2$的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階但非等價無窮小D.等價無窮小2.設函數$y=f(x)$具有二階導數，且$f^\prime(x)\gt0$，$f^{\prime\prime}(x)\gt0$，$\Deltax$為自變量$x$在點$x_0$處的增量，$\Deltay$與$dy$分別為$f(x)$在點$x_0$處對應的增量與微分，若$\Deltax\gt0$，則（）A.$0\ltdy\lt\Deltay$B.$0\lt\Deltay\ltdy$C.$\Deltay\ltdy\lt0$D.$dy\lt\Deltay\lt0$3.級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^p}$（）A.當$p\gt1$時絕對收斂，當$0\ltp\leq1$時條件收斂B.當$p\gt0$時絕對收斂，當$p\leq0$時發散C.當$p\geq1$時絕對收斂，當$0\ltp\lt1$時條件收斂D.對任何$p\gt0$均條件收斂4.設$A$為$n$階方陣，且$|A|=0$，則（）A.$A$中必有兩行（列）元素對應成比例B.$A$中至少有一行（列）向量是其余行（列）向量的線性組合C.$A$中必有一行（列）元素全為零D.$A$的秩為$n-1$5.已知向量組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性無關，則下列向量組中線性無關的是（）A.$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1$B.$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3$C.$\alpha_1+2\alpha_2,2\alpha_2+3\alpha_3,3\alpha_3+\alpha_1$D.$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,2\alpha_1-3\alpha_2+22\alpha_3,3\alpha_1+5\alpha_2-5\alpha_3$6.設二維隨機變量$(X,Y)$的概率密度為$f(x,y)=\begin{cases}2,&0\ltx\lt1,0\lty\ltx\\0,&其他\end{cases}$，則$P\{X+Y\leq1\}$等于（）A.$\frac{1}{6}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{2}{3}$7.設隨機變量$X$服從正態分布$N(\mu,\sigma^2)$，則隨$\sigma$的增大，概率$P\{|X-\mu|\lt\sigma\}$（）A.單調增大B.單調減小C.保持不變D.增減不定8.設函數$f(x)$在區間$[a,b]$上連續，則$\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$等于（）A.0B.1C.$f(a)-f(b)$D.$f(b)-f(a)$9.設$A,B$為$n$階矩陣，且$A$與$B$相似，$E$為$n$階單位矩陣，則（）A.$\lambdaE-A=\lambdaE-B$B.$A$與$B$有相同的特征值和特征向量C.$A$與$B$都相似于一個對角矩陣D.對任意常數$t$，$tE-A$與$tE-B$相似10.設總體$X$服從參數為$\lambda$的泊松分布，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體$X$的樣本，則參數$\lambda$的矩估計量是（）A.$\overline{X}$B.$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i$C.$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2$D.$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i^2$答案：1.A2.A3.A4.B5.C6.B7.C8.A9.D10.A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，在$x=0$處可導的有（）A.$f(x)=|x|$B.$f(x)=x|x|$C.$f(x)=\sqrt[3]{x}$D.$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x},&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}$2.下列說法正確的是（）A.若$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收斂，則$\sum_{n=1}^{\infty}u_n^2$收斂B.若$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$絕對收斂，則$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收斂C.若$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$條件收斂，則$\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|$發散D.若$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收斂，$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$收斂，則$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)$收斂3.設$A$為$n$階矩陣，下列結論正確的是（）A.若$A$可逆，則$A$的伴隨矩陣$A^$也可逆B.若$A$不可逆，則$A$的伴隨矩陣$A^$的秩小于等于1C.若$r(A)=n-1$，則$r(A^)=1$D.若$r(A)\ltn-1$，則$A^=0$4.已知向量組$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$線性相關，則（）A.該向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示B.存在一組不全為零的數$k_1,k_2,\cdots,k_s$，使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$C.向量組$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$的極大線性無關組所含向量個數小于$s$D.對任意一組不全為零的數$k_1,k_2,\cdots,k_s$，都有$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s\neq0$5.設二維隨機變量$(X,Y)$的分布函數為$F(x,y)$，則（）A.$F(-\infty,y)=0$B.$F(x,-\infty)=0$C.$F(+\infty,+\infty)=1$D.$F(x,y)$關于$x$和$y$均單調不減6.設隨機變量$X$和$Y$相互獨立，且都服從正態分布$N(0,1)$，則（）A.$X+Y$服從正態分布B.$X-Y$服從正態分布C.$X^2+Y^2$服從$\chi^2$分布D.$\frac{X}{Y}$服從$t$分布7.下列積分中，值為零的有（）A.$\int_{-\pi}^{\pi}x\sinxdx$B.$\int_{-\pi}^{\pi}x\cosxdx$C.$\int_{-1}^{1}\frac{x}{1+x^2}dx$D.$\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx$8.設$A,B$為$n$階矩陣，且$AB=0$，則（）A.$r(A)+r(B)\leqn$B.$r(A)\leqn-r(B)$C.$r(B)\leqn-r(A)$D.$A$的列向量組線性相關，$B$的行向量組線性相關9.設總體$X$的均值為$\mu$，方差為$\sigma^2$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體$X$的樣本，則（）A.$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$是$\mu$的無偏估計量B.$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$是$\sigma^2$的無偏估計量C.$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$是$\sigma^2$的無偏估計量D.$\overline{X}^2$是$\mu^2$的無偏估計量10.設函數$f(x)$在區間$[a,b]$上可積，則（）A.$f(x)$在$[a,b]$上有界B.$f(x)$在$[a,b]$上連續C.$f(x)$在$[a,b]$上至多有有限個間斷點D.存在$[a,b]$的一個劃分，使得積分和的極限存在答案：1.BD2.BCD3.ABCD4.ABC5.ABCD6.ABC7.BC8.ABC9.AB10.AD三、判斷題（每題2分，共10題）1.若函數$f(x)$在點$x_0$處可導，則$f(x)$在點$x_0$處一定連續。（）2.若級數$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$與$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$都發散，則$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)$一定發散。（）3.若矩陣$A$與$B$等價，則$A$與$B$一定相似。（）4.向量組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性相關，則$\alpha_1$一定能由$\alpha_2,\alpha_3$線性表示。（）5.設二維隨機變量$(X,Y)$的概率密度為$f(x,y)$，則$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1$。（）6.若隨機變量$X$與$Y$的協方差$Cov(X,Y)=0$，則$X$與$Y$相互獨立。（）7.函數$y=f(x)$在區間$[a,b]$上的定積分$\int_{a}^{b}f(x)dx$是一個常數。（）8.若$n$階矩陣$A$滿足$A^2=A$，則$A$的特征值只能是0或1。（）9.總體$X$的樣本均值$\overline{X}$是總體均值$\mu$的最大似然估計量。（）10.若函數$f(x)$在區間$[a,b]$上單調增加，則$f^\prime(x)\gt0$在$[a,b]$上恒成立。（）答案：1.√2.×3.×4.×5.√6.×7.√8.√9.√10.×四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數$y=x^3-3x^2+1$的單調區間與極值。答案：先求導$y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$y^\prime=0$，得$x=0,2$。當$x\lt0$或$x\gt2$時，$y^\prime\gt0$，函數單調遞增；當$0\ltx\lt2$時，$y^\prime\lt0$，函數單調遞減。所以極大值為$y(0)=1$，極小值為$y(2)=-3$。2.計算$\int\frac{1}{x^2+2x+2}dx$。答案：先將分母配方，$x^2+2x+2=(x+1)^2+1$。令$u=x+1$，$du=dx$，則原式變為$\int\frac{1}{u^2+1}du$，根據積分公式，結果為$\arctanu+C=\arctan(x+1)+C$。3.設矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，求其逆矩陣$A^{-1}$。答案：先求行列式$|A|=1\times4-2\times3=-2$。伴隨矩陣$A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$。則$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\