第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《圓性質綜合之求線段長度問題》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．已知中，，為的弦，直線與相切于點．(1)如圖1，連接，若，直徑與相交于點，求和的大?。?2)如圖2，若，，垂足為，與相交于點，，求線段的長．2．如圖1~圖3，半圓O的直徑，弦在半圓O上滑動（點C，D可以分別與A，B兩點重合），且．(1)如圖1，求劣弧的長；(2)連接，，，，當時，如圖2，求證：；(3)點E是的中點，過點C作于點F，如圖3．①當時，求線段的長；②在弦滑動的過程中，直接寫出線段長度的最大值．3．是的內接三角形，是的直徑，是弦，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，過點作于點，延長到，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，若，，求線段的長．4．如圖，內接于⊙O，，點是弧上的動點，是沿直線翻折得到的，的對應點是點于點，交延長線于點，連接．(1)求證：點三點共線；(2)當，時，求線段的長；(3)求證：．5．已知為的直徑，為的弦，弦的長為5．(1)如圖①，若直徑的長為10，求的大??；(2)如圖②，過點作的切線與的延長線相交于點，若，線段的長為3，求直徑的長．6．已知：是⊙的弦，點A是上的一點：，連接并延長交于點D．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，作直徑，過點A作，垂足為點F，連接，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點G在上，連接，，其中，且，若，求線段的長．7．已知：的切線交直徑所在的直線于F，D為直徑上一點，連接并延長交于點E，，(1)求證：；(2)過點C作于H，交于于點G，連接、，求證：；(3)在（2）的條件下，，時，求線段的長．8．是的內接三角形，連接，過點作于點．(1)如圖1．求證：；(2)如圖2．若平分，求證：；(3)如圖3．在（2）的條件下，時，連接，交弦于點，交弦于點在線段上，連接，若，求線段的長．9．【定義新知】定義：有一個角是其對角一半的圓內接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角．【初步應用】（1）如圖1，已知四邊形是圓美四邊形，是美角，連接．①寫出的度數是______，的度數是______，的度數是______；②點為的中點，的半徑為5，求線段的長；【拓展提升】（2）如圖2，已知四邊形是圓美四邊形，是美角，連接，若平分，的半經為6，則的最大值是______．10．如圖，是的直徑，點是上一點，和過點的切線互相垂直，垂足為，直線與的延長線相交于．弦平分，交直徑于點，連接．(1)求證：平分；(2)若，求線段的長．11．如圖，已知為的直徑，與相切于點，交的延長線于點，連接，，，平分交于點，過點作于點．(1)求證：；(2)若的直徑為，求線段的長．12．如圖，是的直徑，點是上一點，和過點的切線互相垂直，垂足為，直線與的延長線相交于．弦平分，交直徑于點，連接．(1)求證：平分；(2)求證：；(3)若，，求線段的長．13．在中，直徑交弦于點E，連接、，且．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點F在弧上，弦交線段于點G，于點H，交于另一點M，若，求的度數；(3)如圖3，在（2）的條件下，點N在弧上，連接、、，若，，，求線段的長．14．如圖，的半徑與直徑垂直，點P在上，的延長線交于點D，在的延長線上取點E，使．(1)求證：是的切線；(2)當時，求線段的長．15．如圖，為的直徑，直線是的切線，切點為點，過作，垂足為點，交的延長線于點．(1)求證：．(2)若，求線段的長．參考答案1．(1)；(2)【分析】（1）根據切線性質得出于點，即，根據平行線的性質得出，求出，根據垂徑定理得出，，求出，得出，根據圓周角定理得出；（2）連接，求出，根據直角三角形的性質得出，設，則，根據勾股定理得出，即可得出，求出x的值即可．【詳解】（1）解：如圖1所示，∵為的切線，且為直徑，∴于點，即，∵，∴，∴，即于點，∵于點，且為直徑，∴，，∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：連接，由（1）可知，且，∵，，∴，∴在中，，，∴，設，則，∴由勾股定理，即，解得，負值舍去，即線段的長為．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，切線的性質，垂徑定理，直角三角形的性質，圓周角定理，靈活運用相關性質定理是解答本題的關鍵．2．(1)(2)見解析(3)；②3【分析】（1）求劣弧長，需先確定其所對圓心角及圓半徑，再用弧長公式計算．（2）利用圓中弧與角的關系找全等條件，用全等判定定理證明．（3）①通過角度關系求，在直角三角形中用三角函數求，進而得②構造輔助線，利用三角形相關性質確定EF與其他線段關系，根據三邊關系求最大值．【詳解】（1）連接，，為等邊三角形，，；（2）證明：，，又，，(AAS)；（3）①連接由（1）得，當時，，在中，，；②取中點，連接，是中點，，在中，為中點，為中點，，因為，是中點，在中，，在中，根據三角形三邊關系，當、、三點共線時取等號，所以最大值為．【點睛】本題主要考查圓的相關性質，包括弧長計算、圓周角與弧的關系，以及三角形的知識，如等邊三角形判定、全等三角形判定、直角三角形邊角關系、三角形中位線定理和三邊關系等，掌握以上知識，數形結合分析是解題的關鍵．3．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）設，則．利用直徑所對圓周角為直角得到，從而，結合同弧所對圓周角相等得出，再根據已知，最后由等角對等邊證明．（2）先根據圓內接四邊形性質得出，結合第一問結論得到，再利用，證明，由推出，從而證明．（3）先通過角度關系推出，延長使構造等腰三角形，利用角度推導得出；再在中，根據勾股定理求出，進而得到；最后在中求出，利用面積的兩種表示方法求出．【點睛】本題考查圓內接三角形性質、圓周角定理、等腰三角形性質、勾股定理及三角形全等與相似等知識．解題關鍵是熟練運用相關定理進行角與線段關系的推導轉化，通過構造輔助線、利用勾股定理及三角形面積公式求解．【詳解】（1）證明：∵，設，則，∵∴．∵是的直徑，∴，∴，，∴，∵∴．∴，∴，∴．（2）證明：連接．∴為圓內接四邊形，∴，由（1）得．，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴∵，即，∴，即．（3）解：連接，交于點P，設與交于點M，∵是直徑，∴，∴，∵，交于M∴，∴，∴，由（2）得，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，延長到使，連接，∵，∴，∵，，∵，∴，∴，在中，，∴，即，∴，，∴，在中，，∴，即，∴．4．(1)見解析(2)(3)見解析【分析】（1）證明即可證明結論成立；（2）求出，由得到，在Rt中，，即可求出答案；（3）分兩種情況畫出圖形證明，在Rt中，，在Rt中，，即可得到結論．【詳解】（1）證明：在中，與是弧所對的圓周角．．是沿直線翻折得到的，點的對應點是點∴四邊形內接于圓點三點共線．（2）解：．在中，．在中，，四邊形內接于圓，是等邊三角形，∵，在Rt中，（3）過點作于點，在Rt中，在Rt中，分兩種情況討論：若在的右側，點在線段上，如備用圖1，若在的左側，如備用圖2，點在線段的延長線上過點作于點，點在線段上，綜上所述，在Rt中，在Rt中，．【點睛】此題考查了圓周角定理、勾股定理、全等三角形的判定和性質、圓內接四邊形的性質、等邊三角形的判定和性質、軸對稱的性質等知識，熟練掌握相關判定和性質是關鍵．5．(1)(2)【分析】（1）證明是等邊三角形，再利用圓周角定理即可求出答案；（2）連接，過點作．求出．證明四邊形是矩形．得到．在中，，設，則．利用勾股定理列方程解得即可求出答案．【詳解】（1）解：如圖，連接．為的直徑，，．，．是等邊三角形．．，.（2）如圖，連接，過點作．．為的切線，．即．，．在Rt中，．，四邊形是矩形．．在中，，設，則．可得方程．解得．.【點睛】此題考查了圓周角定理、勾股定理、切線的性質、矩形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質等知識，熟練掌握切線的性質和勾股定理是解題的關鍵．6．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據弧與弦的關系得到，證明垂直平分即可求證；（2）連接，在上截取，連接，證明，則，根據等腰三角形三角形三線合一得到，那么；（3）連接，過點D分別作，，，垂足分別為M，N，R．由角平分線的性質及判定得到，根據角平分線得到，那么，則．令，則，則在中，由勾股定理得，則，可得，那么，解得．在中，，求出，則．【詳解】（1）證明：如圖1，連接,∵，∴，∴點A在的垂直平分線上，∵，∴點O在的垂直平分線上，∴垂直平分∴，；（2）證明：如圖2，連接，在上截取，連接．∵，，，∴．∴，又∵，∴∴；（3）解：如圖3，連接，過點D分別作，，，垂足分別為M，N，R．∵為的直徑，∴∵，∴，∴∵，，，∴，∴，∴∵?∴?∴∴，∴．∴，令，則在中，，∴∵，∴，∴，解得．在中，，∴，∴在中，，∴．【點睛】本題考查了圓的綜合題，涉及解直角三角形，全等三角形的判定與性質，勾股定理，角平分線的性質及判定，等腰三角形的性質等知識點，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵．7．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）先由得，再結合切線的性質得，則即，則，故，所以；（2）根據垂徑定理得，，再結合圓周角定理得出，再證明，進行角的整理得，即可作答．（3）先由直角三角形兩個銳角互余，以及切線的性質得，結合圓周角定理得，得出，因為，所以，然后運用解直角三角形的性質得，運用勾股定理表示，再得出，結合，則，即，因為，代入得出，最后運用勾股定理列式計算，即可作答．【詳解】（1）解：連接、，∵、是的半徑，∴，∴∵是的切線，切點為C，∴，即，∵，，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：連接，，∵，∴，，∴，∴∵，∴，，∴∵，∴，∴（兩直線平行，內錯角相等），∵，∴，∴∵∴∴∵，∴，∴；（3）解：連接，、、，過B作于K，∵過點C作于H，的切線交直徑所在的直線于F，∴，∴，∵由（2）得，∴∵∴∴即，∵，，∴，∵，∴，∴，設，則，∴，∵∴，∴，∵，∴，∵，且在中則，設，∴，即，∴，∴，∵∴，∵，∴，∴，，∴，，∴．【點睛】本題考查了解直角三角形的相關性質，垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，切線的性質，角平分線的性質，綜合性強，難度較大，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．8．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）連接，先根據等腰三角形的三線合一可得，再根據圓周角定理可得，由此即可得證；（2）過點作于點，先根據角平分線的性質定理可得，再證出，根據全等三角形的性質可得，然后根據垂徑定理可得，，由此即可得證；（3）過點作，交延長線于點，過點作于點，過點作于點，連接，先利用勾股定理的逆定理可得，從而可得，再證出，從而得出，然后解直角三角形可得，利用三角形的面積公式可得的長，利用勾股定理可得的長，最后解直角三角形可得的長，利用勾股定理求解即可得．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，∵，，∴，由圓周角定理得：，∴．（2）證明：如圖2，過點作于點，∵平分，，，∴，在和中，，∴，∴，又∵，，∴，，∴．（3）解：如圖3，過點作，交延長線于點，過點作于點，過點作于點，連接，由（2）已證：，∵，∴，∴是等腰直角三角形，且，∴是直徑，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，由圓周角定理得：，，∵，∴，∴，，∴，，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，且，又∵，，∴，∴在中，，∴在中，，設，則，∴，∵，∴或（不符合題意，舍去），∴，∴，∴，∴，∵點在線段上，∴，即，由圓周角定理得：，∴是等腰直角三角形，且，設，∵，∴，在中，，即，解得或，當時，，這與在中，矛盾，舍去，∴，，∴在中，，∵，，∴是等腰直角三角形，且，設，則，在中，，解得，經檢驗，是所列分式方程的解，∴，∴．【點睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、三角形全等的判定與性質、角平分線的性質定理、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理、解直角三角形、一元二次方程的應用等知識，綜合性強，難度大的是題（3），通過作輔助線，構造全等三角形和直角三角形是解題關鍵．9．（1）①；②；（2）【分析】（1）①根據定義和圓周角定理求角即可；②根據垂徑定理和特殊角的三角函數值進行解答即可；（2）延長到點M，使得，連接，得到是等邊三角形，證明，則，進一步證明，當是直徑時，取最大值，即可求出答案．【詳解】解：（1）①∵四邊形是圓美四邊形，是美角，∴，∴，解得，∴，故答案為：．②連接交于點P，∵為的中點，∴，∵，∴，∴,∴，∴．（2）如圖，延長到點M，使得，連接，∵四邊形是圓美四邊形，是美角，∴，∴，解得，∴，∵平分，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．∵是的一條弦，∴當是直徑時，取最大值，即的最大值是．故答案為：【點睛】本題考查了新定義問題，等邊三角形的判定和性質，圓的內接四邊形的性質，三角形全等的判定和性質，圓周角定理、垂徑定理、勾股定理等知識，熟練掌握圓的性質是解題的關鍵．10．(1)見詳解(2)【分析】（1）先由，得，結合是的切線，，即，證明，則，即可作答．（2）連接，證明，根據，求出，證明，得出，根據，得出，設，則，在中，根據勾股定理得出，解方程，得出x的值，即可得出答案．【詳解】（1）解：連接，如圖所示：∵，∴，∵是的切線，，∴，∴，∴，∴平分；（2）解：連接，如圖所示：∵是的直徑，∴，∵弦平分，∴，∴，∴，又∵是直徑，∴，∴，即，∴，∴∵，，∴，即，∴，設，則，在中，，∴解得，（舍去），∴．由（1）得，∴，即，∴，∴．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的相關運算，切線的性質，圓周角定理，勾股定理，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．11．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，利用切線的性質可得，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得，從而利用圓周角定理可得，最后根據等角對等邊，即可解答；（2）根據直徑所對的圓周角是度可得，從而利用（1）的結論可得，再利用角平分線的定義可得，然后在中，利用勾股定理進行計算即可解答．【詳解】（1）證明：連接，如圖：與相切于點，，，，，，；（2）解：為的直徑，，，的直徑為，，平分，，，，是以為直角頂點的等腰直角三角形，，在中，，（負值已舍）．【點睛】本題考查了切線的性質，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質，角平分線的定義，勾股定理，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解答本題的關鍵．12．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據切線的性質得，而，則可判斷，根據平行線的性質得，即可得到平分；（2）根據直徑所對的圓周角是直角可得出，根據余角的性質可得出，然后根據角平分線的定義以及三角形外角的性質可得出，最后根據等角對等邊即可得證；（3）連接，證明，根據，求出，證明，得出，根據，得出，設，則，在中，根據勾股定理得出，解方程，得出x的值，即可得出答案．【詳解】（1）解：連接．，．是的切線，，，．．即平分．（2）證明：是直徑，，又，．又，，．．．（3）解：連接．，．又是直徑，．，．，，．又，．設，則，在中，，解得，．，，．【點睛】本題主要考查了切線的性質，圓周角定理和相似三角形的判定與性質，勾股定理．圓的切線垂直于經過切點的半徑．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．13．(1)見解析(2)(3)7【分析】（1）根據圓周角定理可得，從而得到，進而有，再由垂徑定理即可證明；（2）連接，設，由，得到，根據垂徑定理得到，從而，因此，又，根據三角形的內角和定理即可求出，進而根據圓周角定理可得．（3）如圖，將繞點O旋轉至，連接，，，，與交于點J．設，則，，得到，根據等腰三角形的性質得到，從而根據中位線定理有，設的半徑為r，則，根據勾股定理有，，根據，得到，從而求出r的值．通過解直角三角形得到，因此．證明，得到，根據垂徑定理即可解答．