第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《一次函數中等腰三角形存在性問題》專項測試卷(附含答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象分別交x軸、y軸于點，點C在x軸上，平分．(1)求線段的長；(2)若點D是y軸上的一個動點，當是等腰三角形時，請求出點D的坐標．2．如圖，直線交y軸于C，與x軸交于點D，直線經過點，且直線交于點．(1)當時，直接寫出x的取值范圍_____；直線的表達式為______；(2)點M是直線上的一點，若將沿折疊，點C恰好落在x軸上，求出點M的坐標．(3)若點Q為x軸上一點，連接，且是等腰三角形，請直接寫出點Q的坐標．3．如圖，一次函數的圖象與y軸、x軸分別交于A，B兩點，已知．(1)線段長為______；(2)C是x軸上一動點，連接，當是以為腰的等腰三角形時，求滿足要求的直線解析式；(3)在（2）的條件下，以為邊作（點D為第二象限內一點），當存在一邊與y軸或直線平行時，求D點坐標．（直接寫出答案）4．如圖，在平面直角坐標系中，直線與坐標軸交于A，B兩點，動點P從點A出發，沿射線方向以每秒2個單位的速度運動，同時動點Q從點O出發，以每秒1個單位的速度，沿線段向點運動，當Q點到達點B時，點P也停止運動．連接線段，設點P運動的時間為t秒．(1)經過時，寫出此時點P的坐標，點Q的坐標．(2)當線段時，求此時點P運動的時間t．(3)點M為線段中點，在點P、Q運動過程中，以點P、Q、M三點組成的三角形為等腰三角形時，求所有滿足要求的t的值．5．如圖，正比例函數的圖象與一次函數的圖象交于點，一次函數圖象與軸的交點為，與軸的交點為．(1)求一次函數的表達式；(2)一次函數的圖象上是否存在點，使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；(3)如果在一次函數的圖象存在點，使是以為腰的等腰三角形，請求出點的坐標．6．如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交、兩點，與直線相交于點，若直線與軸相交于點．動點從點開始，以每秒1個單位的速度向軸負方向運動，設點的運動時間為秒．(1)求和的值；(2)在點的運動過程中，△的面積為，求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；(3)是否存在的值，使△為等腰三角形？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．7．如圖所示，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點．(1)求直線的表達式；(2)若直線交軸負半軸于點，求的面積；(3)在軸上是否存在點，使以三點為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．8．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸分別交于點、點，與軸交于點，連接，點在線段上，設點的橫坐標為．(1)求直線的解析式；(2)如果以為頂點的新拋物線經過原點，且與軸的另一個交點為，若是以為腰的等腰三角形，求新拋物線的解析式．9．已知一次函數的圖象與軸、軸分別交于點、，點從點出發，沿軸以每秒2個單位長度的速度向左運動，設運動時間為(1)當為何值時，是以為斜邊的直角三角形？(2)當為何值時，是以為腰的等腰三角形？10．綜合與應用：如圖，直線：交軸于點，交軸于點．直線過點交軸于點．(1)求直線的表達式；(2)在軸上存在點，使得為等腰三角形，求出點的坐標；(3)在軸上存在點，使得，求出此時的面積．11．如圖，一次函數的圖象與軸交于點，與軸交于點，與正比例函數的圖象交于點，且點的橫坐標為．

(1)求點的坐標和的值；(2)點為軸上的一個動點，連接，是否存在點使得是以為腰的等腰三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．12．如圖，已知直線（為常數，且）與軸交于點，與軸交于點，且經過點．(1)求的值和點的坐標；(2)在軸的正半軸上是否存在點，使得以、、點為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．13．如圖①，在平面直角坐標系中，的邊在軸上，點坐標為，點在第一象限，，．為射線上一點，過作直線軸交于，交射線于．(1)求B點坐標；(2)當為線段中點時，在直線上找點，當為等腰三角形，請直接寫出點坐標；(3)如圖②，為中點，當時，求點坐標．14．如圖，反比例函數與正比例函數的圖象交于點和點，點是點關于軸的對稱點，連接，．(1)求該反比例函數的解析式和正比例函數的解析式；(2)在軸上找一點，使得是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點的坐標．15．如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，且與直線：交于點．(1)求的值與直線的函數解析式；(2)如圖，一動直線平行于軸交軸于點，該直線分別與、交于，兩點，若，求的坐標；(3)在軸上是否存在點，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，請求出符合條件的所有點的坐標；若不存在，請說明理由．參考答案1．(1)(2)點D的坐標為或或或【分析】本題主要考查等腰三角形的定義、勾股定理、角平分線的性質定理及一次函數的綜合，熟練掌握等腰三角形的定義、勾股定理、角平分線的性質定理及一次函數的綜合是解題的關鍵；（1）由題意易得，則有，過點C作于點E，然后可得，進而根據地等積法可進行求解；（2）由題意可分當時，當時，當時，進而分類進行求解即可．【詳解】（1）解：令，則有，解得：，令，則有，∴，∴，∴，過點C作于點E，如圖所示：∵平分，∴，∵，∴，解得：；（2）解：當是等腰三角形時，則可分：當時，∵，∴，∴；當時，則有或，∴或；當時，如圖，設，則有，在中，由勾股定理可得：，解得：，∴；綜上所述：當是等腰三角形時，點D的坐標為或或或．2．(1)，；(2)或；(3)Q的坐標為或或或．【分析】本題主要考查了待定系數法求一次函數的解析式、軸對稱的性質、勾股定理、等腰三角形的性質等知識．（1）求出，得點B坐標，結合圖象得時，x的取值范圍；設直線的解析式為，把A，B坐標代入，解得k，b，即可得出答案；（2）分點M在y軸正半軸和負半軸上兩種情況討論，結合勾股定理求解即可；（3）分三種情況：①時，②當時，③時，求出點Q的坐標即可．【詳解】（1）解：∵點在直線上，∴，∴∴當時，x的取值范圍；設直線的解析式為：，∵直線經過點，點，∴，解得：，∴直線的解析式為；（2）解：∵,當時，，∴，當點M在y軸正半軸時，如圖，設，則∵，，∴，由折疊得，，∴，在中，∴，解得，，∴點的坐標為；當點M在y軸負半軸上時，如圖，設，則，由勾股定理得，，解得，，∴點M的坐標為；綜上，點M的坐標為或；（3）解：設Q的坐標為，∵,∴，，；如圖，①當時，，∴解得，，或（此時Q與點D重合，不合題意，舍去）∴點Q的坐標為②當時，∴解得，，∴點Q的坐標為；③時，∴，解得，，或，∴點Q的坐標為或；綜上，點Q的坐標為或或或．3．(1)(2)直線為或或．(3)或或或或【分析】（1）直接利用勾股定理進行計算即可；（2）是以為腰的等腰三角形，當時，如圖，當時，再利用待定系數法求解函數解析式即可；（3）由以為邊作（點D為第二象限內一點），當存在一邊與y軸或直線平行時，可得直線為或，再分類討論即可．【詳解】（1）解：∵，，∴；（2）解：如圖，∵是以為腰的等腰三角形，當時，∴或，∴或，設過，的直線為，∴，解得：，∴直線為，設過，的直線為，∴，解得：，∴直線為，如圖，當時，∴，∴，設過，的直線為，∴，解得：，∴直線為，綜上：直線為或或．（3）解：∵以為邊作（點D為第二象限內一點），當存在一邊與y軸或直線平行時，∴當直線為時，如圖，當時，軸時，此時軸，∴，如圖，當時，軸時，設，而，，∴，解得：，∴，∵，，同理可得：直線為，如圖，當，時，則，設直線為：，∴，解得：，∴直線為：，延長交軸于，設，∴，解得：，∴，同理可得：為，∴，解得：，∴；直線為時，如圖，當時，軸時，同理可得：；如圖，當時，軸時，設，而，，∴，解得：，∴，當時，中沒有直角，不符合題意，當直線為時，點不在第二象限，不符合題意，綜上：或或或或．【點睛】本題考查的是一次函數的幾何應用，勾股定理的應用，等腰三角形的定義與性質，直角三角形的性質，清晰的分類討論是解本題的關鍵．4．(1)(2)(3)或或或或【分析】本題考查了一次函數的應用，等腰三角形的分類標準，勾股定理，熟練掌握兩點間距離公式是解題的關鍵．（1）根據題意，，當時，，直線與坐標軸交于兩點，得到，繼而得解．（2）根據題意，，得到，，，利用得到方程，再解方程即可即可．（3）根據點為線段中點，得到，再由得到，，，再分當時，當時，當時三種情況列方程求解即可．【詳解】（1）解：根據題意，，當時，，∵直線與坐標軸交于兩點，當時，；當時，；∴，∴，故答案為：；（2）解：根據題意，，∵，∴，∴，，∵線段，，∴，即；解得，∴；（3）解：∵，點為線段中點，∴，由（2）得：，∴，，當時，則，故，整理得，解得(舍去)；當時，則，故，整理得，解得；當時，則，故，整理得，解得；綜上所述：或或或或．5．(1)(2)存在，點的坐標或(3)點的坐標為：或或【分析】（1）先將代入，求出點的坐標，再由待定系數法即可求解；（2）先求出點的坐標，得出，設點，當點位于軸上方時，，當點位于軸下方時，，分別求得值，再代入解析式求得值，即可得到答案；（3）設點，得到，，，分情況討論，當時，當時，分別列出方程，解之即可．【詳解】（1）解：正比例函數的圖象與一次函數的圖象交于點，，解得：，點的坐標；一次函數的圖象過點和點，則有，解得：，，一次函數表達式為．（2）解：一次函數的圖象上存在點，使得；理由如下：對于一次函數，令，得：，解得，所以點，所以，設點，當點位于軸上方時，，解得：，當點位于軸下方時，，解得：，當時，，解得：，當時，，解得：，故點的坐標或．（3）解：設點，則，，，當時，，所以，解得：或，此時點的坐標為或；當時，，所以，解得：，此時點的坐標為；綜上分析可知：點的坐標為：或或．【點睛】本題考查了正比例函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求函數解析式、一次函數圖象與坐標軸交點，等腰三角形的定義，熟練掌握相關知識，并運用數形結合的思想分析問題進行分類討論是解題的關鍵．6．(1)，(2)(3)存在，或或或【分析】（1）在中，當時，；當時，；即可得出答案；求出點，代入直線即可得出答案；（2）求出，則，；過作于，分點P在上和點P在延長線上兩種情況討論，由三角形面積S與t之間的函數關系式；（3）過作于，則，，由勾股定理求出；分三種情況：當時；當時；當時；分別求出的值即可．【詳解】（1）解在中，當時，；當時，；，；點在直線上，，又點也在直線上，，解得：；（2）解：在中，當時，，，，，，；當點P在上時，∵，則，過作于，如圖1所示：則，∴；當點P在延長線上時，∵，則，過作于，如圖1所示：則，∴；綜上，；（3）解：存在，理由如下：過作于，如圖1所示：則，，，；當時，，，；當時，如圖2所示：則，，，，或；當時，如圖3所示：設，則，，，解得：，與重合，，，；綜上所述，存在的值，使為等腰三角形，的值為4或或或8．【點睛】本題是一次函數綜合題目，考查了一次函數的應用、坐標與圖形性質、三角形面積、等腰三角形的性質、勾股定理以及分類討論等知識；本題綜合性強，熟練掌握一次函數的應用和等腰三角形的性質是解題的關鍵．7．(1)(2)(3)或或或【分析】本題考查一次函數的綜合應用，熟練掌握一次函數圖象上點的坐標特征、等腰三角形的性質、勾股定理以及分類討論的思想方法是解題的關鍵．（1）將點代入即可求解；（2）設，根據勾股定理可以求出的值，即可得到的面積；（3）分、、三種情況分別求出點坐標．【詳解】（1）解：將點代入得，解得：，故直線的表達式為．（2）解：設，，，即，，解得：，．（3）解：存在由題意可得，∴可分三種情況考慮，如圖所示．當時，，∴點的坐標為，點的坐標為；當時，設，則，∴，解得：，∴點的坐標為；當時，，∴點的坐標為．綜上所述：軸上存在點，使以三點為頂點的三角形是等腰三角形，點的坐標為或或或．8．(1)(2)或【分析】（1）先確定點C的坐標，再利用待定系數法求直線的解析式即可；（2）利用等腰三角形定義分類求解即可．本題考查了待定系數法求解析式，等腰三角形的分類求解，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．【詳解】（1）解：設拋物線的解析式為：，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：，令得，∴，設直線的解析式為：，將點代入得：，解得：，∴直線的解析式為：.（2）解：∵點的橫坐標為，點在線段上，∴，，∴設新拋物線的解析式為，∵點、點，∴，，.分情況討論：（1）當時，則，解得，此時，，∴新拋物線的解析式為，∵新拋物線經過原點，∴，解得，∴新拋物線的解析式為；（2）當時，，解得，（此時與重合，舍去），∴，∴新拋物線的解析式為，∵新拋物線經過原點，∴，解得，∴新拋物線的解析式為.綜上所述，新拋物線的解析式為或.9．(1)(2)或【分析】本題考查了一次函數的圖象與性質、勾股定理、等腰三角形的性質，熟練掌握相關知識點，學會數形結合和分類討論思想解決問題是解題的關鍵．（1）利用一次函數的知識求出點、的坐標，根據題意可得，得到點與點重合，即可求解；（2）根據題意，分2種情況討論：①；②，分別求解即可．【詳解】（1）解：令，則，，令，則，解得：，，是以為斜邊的直角三角形，，點與點重合，，，當時，是以為斜邊的直角三角形．（2）解：由（1）得，，，，是以為腰的等腰三角形，或，①當時，；②當時，，，，，；綜上所述，當或時，是以為腰的等腰三角形．10．(1)直線的表達式為(2)當點在軸上，且坐標為，，，時，為等腰三角形(3)在軸上存在點，使得，此時的面積為和【分析】（1）先求出點的坐標，再根據待定系數法求出直線的表達式；（2）分三種情況討論：當時；當時；當時；（3）分兩種情況討論：過點作，交于點，分別過點，點作軸的平行線，過點作軸的平行線，交點分別為，，求出的坐標，進而可求得的面積；如下圖所示：把直線關于對稱，得到直線，求出的坐標，進而可求得的面積．【詳解】（1）解：直線：交軸于點，交軸于點，

令得，令得，和點的坐標分別為：，，直線過點交軸于點，設：（），，解得：，直線的表達式為：；（2）解：在中，由勾股定理得：，點在軸上，且為等腰三角形，當時，，，當時，，當時，，解得：，此時，綜上所述，當點在軸上，且坐標為：，，，時，為等腰三角形（3）解：如下圖所示：，而，，過點作，交于點，分別過點，點作軸的平行線，過點作軸的平行線，交點分別為，，，，為等腰直角三角形，即，，，，，又，，，，點的坐標為：，設直線的表達式為：，將，代入直線的表達式內得：，解得：，直線的表達式為：，令，得，點的坐標為：，，，如下圖所示：把直線關于對稱，得到直線，在直線上截取，將直線關于對稱，得到直線，，又，，，點Q的坐標為：，設直線的表達式為：，將，代入直線的表達式中得：，解得：，直線表達式為：，令，得，點的坐標為：，，，綜上所述，在軸上存在點，使得，此時的面積為和．【點睛】本題考查了用待定系數法求直線表達式、等腰三角形的性質、等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性質，掌握以上知識點是解答本題的關鍵．11．(1)點的坐標為和的值為(2)或或【分析】（1）將代入可得點的坐標，再將點的坐標代入即可求出的值；（2）根據勾股定理求得的長，然后分兩種情況：①當時，②當時，分別進行討論求解即可．【詳解】（1）解：將代入，得，∴點的坐標為，∵一次函數的圖象與正比例函數的圖象交于點，∴，解得：，∴點的坐標為，的值為；（2）解：存在，理由：如圖，過點作軸于點，則，∴，，∵一次函數的圖象與軸交于點，當時，得：，則，∴，∴，∴，①當時，則，∵，∴此時點的坐標為或；

②當時，∵軸，∴，∵，∴此時點的坐標為；綜上所述，點的坐標為或或．【點睛】本題考查正比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法確定函數解析式，等腰三角形性質，勾股定理等知識點．利用分類討論的思想解決問題是解題的關鍵．12．(1)，(2)或或【分析】本題考查了一次函數與幾何綜合，待定系數法求一次函數解析式，等腰三角形的定義，勾股定理；（1）將點，分別代入解析式，解方程，即可求解；（2）設，，分別求得的長，分三種情況討論，即可求解．【詳解】（1）解：∵直線與軸交于點，且經過點．∴解得：∴（2）解：設，∵，∴，，當時，，解得：，當時，，解得：，當時，，解得：（負值舍去）∴或或13．(1)；(2)滿足條件的點坐標為或或或；(3)點坐標為或．【分析】此題是一次函數和三角形綜合題，主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質，三角形的面積公式，分類討論的思想，解本題的關鍵是用方程的思想解決問題．（1）先求出，進而求出，即可得出結論；（2）先設出點坐標，進而表示出，，，再分三種情況討論建立方程求解即可得出結論；（3）先求出，直線，的解析式，進而設出點的坐標，表示出，，最