第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《四邊形中的證明與計算》專項測試卷(帶答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．在四邊形中，對角線相交于點，E，F，G，H分別是的中點．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求證：四邊形是菱形．2．如圖，和都是等腰直角三角形，是線段上一點，連接，過點作，交射線于點．(1)如圖1，若點在線段上，連接，證明：；(2)若，，求的值；(3)如圖3，若點在線段上，，連接，交于點，將沿翻折，得到，連接，交于點，請按題意畫出圖形，探索當時，的值是多少？3．如圖，矩形中，，，點、是對角線上的兩個點，，連接、．(1)求證：；(2)如圖，點與關于對稱，點與關于對稱，連接、、、，當時，判斷四邊形的形狀，并說明理由．4．在正方形中，點E是邊所在直線上的任意一點，連接，把線段繞著點E順時針旋轉90°得線段（即，），連接．

(1)如圖1，當點E在線段上時，求線段與的數量關系，并說明理由；(2)若點E在的延長線上時，在圖2中補全圖形，再探究線段與的數量關系，并說明理由；(3)若，，請直接寫出的長度為________．5．如圖，在正方形中，點E是邊上的動點，連接，作于點F，在邊上取點G，使得，連接．(1)求證：；(2)求證：；(3)已知，點E在運動過程中，是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由．6．如圖，在矩形中，的平分線交于點P，過點D作交的延長線于點與的延長線交于點F，且．(1)如圖1，當時，與的數量關系為____________.(2)如圖2，連接與相交于點G，求證：．(3)如圖3，當時，其他條件不變，請完成如下問題：①的位置關系為____________；②若，求的長．7．如圖，，，將線段繞著點A順時針旋轉α，，得到，連接、，點E為線段中點，過點D作交于點H．連接交于點F．(1)如圖1，當時，求的度數．(2)如圖2，過點C作于點Q，請猜想線段、、之間的數量關系，并證明你的猜想．(3)如圖3，若，點M是直線上一動點，作點M關于點E的對稱點N，連接、，對于α的每一個確定值，都有一個對應的最小值，當最小值等于時，請直接寫出四邊形的面積．8．在中，，，P為內的一點，連接，將繞點A逆時針旋轉，得到．(1)如圖1，若，，求的度數；(2)若點P為的外心，判別四邊形是什么特殊四邊形，并說明理由；(3)如圖2，若點D為的中點，連接，當時，求證：．9．已知點是矩形的邊上一點，連接，將矩形沿翻折，使點，分別落在，處．(1)如圖1，連接，為的中點，，求證：；(2)如圖2，點，，共線，，的延長線相交于點，連接，①若，求的值；②點，分別是，延長線上的點，，連接，，若，求證：平分．10．如圖，在平行四邊形中，對角線，交于點O，過點A作于點E，延長到點F，使，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，，求的長度．11．如圖，在四邊形中，，，，，，點P從點A出發沿折線向點C運動，連接，將繞點D順時針旋轉得到，旋轉角等于，作于F，設點P運動的路程為．(1)的長為______；按角分，的形狀是_____；(2)當點P在邊上時．①求證：；②當點E落在上時，求x的值；(3)當點P經過的平分線時，求的長；(4)已知是的中線，若線段與中線有交點，直接寫出x的取值范圍．12．如圖1，點P是對角線上的一點，且使得，連接并延長，交于點E．(1)若，求的值．(2)如圖2，將沿方向平移到，求證：．(3)如圖3，連接，取的中點M，連接交于點F，若，求的值．13．如圖，矩形的對角線相交于點．(1)求證：四邊形為菱形；(2)求證：；(3)若，則菱形的面積為_________．14．【知識技能】（1）如圖1，在矩形中，，，點是邊的中點，點是邊上的一個動點，將沿直線翻折，點落在點處．求證：．【數學理解】（2）在（1）的條件下，連接，若，求的最小值．【拓展延伸】（3）如圖2，在（1）的條件下，若，連接，延長交對角線于點，當時，求的長．15．已知正方形中，繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于M，N．(1)當繞點A旋轉到時（如圖1所示），并將逆時針旋轉，得到，求證；(2)當繞點A旋轉到時（如圖2所示），線段和之間有怎樣的數量關系？寫出猜想，并加以證明；(3)當繞點A旋轉到（如圖3所示）的位置時，線段和之間又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想．參考答案1．(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了菱形的判定，平行四邊形的判定，三角形中位線定理，熟知菱形和平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．（1）根據三角形中位線定理可得，則可證明，據此可證明結論；（2）同理可得，則可證明，據此可證明結論．【詳解】（1）解：∵E，F，G，H分別是的中點，∴分別是的中位線，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：同理可得，∵，∴，∴平行四邊形是菱形．2．(1)見解析(2)(3)圖見解析，【分析】（1）先證明四邊形是正方形，證明，可得，進而證明得出，根據等角對等邊可得；（2）過點作于點，連接，證明是等腰直角三角形，在，中，分求得，即可求解．（3）連接，根據題意得出在上，過點，分別作的垂線，垂足分別為，，連接，根據折疊得出，，證明，進而可得，進而勾股定理分別求得線段的長，得出，根據折疊的性質，即可求解．【詳解】（1）證明：∵和都是等腰直角三角形，∴，，∴∴四邊形是矩形，∵∴四邊形是正方形，∵∴∴，∴又∵，∴∵∴∴∴；（2）如圖，過點作于點，連接，∴∵∴是等腰直角三角形，∵，∴，∵，，∴，，∵，∴是等腰直角三角形，∴在中，，∴，在中，，∴；（3）解：如圖，連接，∵，∴在上，過點，分別作的垂線，垂足分別為，，連接，∵將沿翻折，得到，∴，又∵是等腰直角三角形，∴∴∵∴∴∴∴又∵∴設，∴又∵∴設∴，∴∴在中，∴在中，∵∴在中，在中，在中，，則，在中，∵在正方形對角線上，∴到的距離相等，設為，設到的距離為∴∴，在中，∴∴．【點睛】本題考查了正方形的性質與判定，等腰直角三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，勾股定理，折疊的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵3．(1)見解析；(2)四邊形是菱形，見解析．【分析】本題主要考查了矩形的性質、菱形的判定、全等三角形的判定與性質．根據矩形的性質可知：，，根據可證，根據全等三角形的性質可證結論成立；根據矩形的性質可知∠ADB=∠CBD，根據對稱的性質可知，，，，由知，根據全等三角形的性質可知，根據內錯角相等，兩直線平行可證，可證四邊形是平行四邊形，根據可證四邊形是菱形．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，，在與中，，，；（2）解：四邊形是菱形，理由如下：連接交于，四邊形是矩形，，，點與關于對稱，點與關于對稱，，，，，由知，，，，，，又，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形．4．(1)，見解析(2)，見解析(3)或【分析】本題考查旋轉的性質、三角形全等的判定與性質、同角的余角相等、勾股定理、垂直定義等知識，掌握一線三垂直全等模型是解題的關鍵．（1）過點作延長線于點，利用一線三垂直全等模型證明，再證明，再結合勾股定理即可得出結論；（2）同理（1）即可得出結論；（3）分兩種情況討論：過點作延長線于點，求出，，再由勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖，過點作延長線于點，

由旋轉得，，∴，又∵在正方形中，，，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴.，即，∴，∵，∴，∴；（2）解：如圖，過點作延長線于點，

由旋轉得，，∴，又∵在正方形中，，，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴.，即，∴，∵，∴，∴；（3）如解圖3-1，當在線段延長線上時，過點作延長線于點，

同理（1）得：，，∴，、∴在中，如解圖3-1，當在線段反向延長線上時，過點作延長線于點，

同理（1）得：，，∴，、∴在中，綜上所述：的長為或5．(1)見解析(2)見解析(3)為定值2【分析】本題主要考查正方形的性質、相似三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、銳角三角函數等知識，熟練掌握相似三角形的性質是解答的關鍵．（1）根據正方形的性質和等角的余角相等求解即可；（2）先根據正方形的性質和等角的余角相等得到，再利用余弦定義得到，進而得，利用相似三角形的判定可得結論；（3）解法一：作于點M，于點N．先證明得到．再利用相似三角形高之比等于相似比得到，進而利用三角形的面積公式和勾股定理可得結論；解法二：作于點M，于點N．設，，．先證明四邊形是矩形得到，，再利用正切定義推導出，進而利用三角形的面積公式可得結論．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴．（2）證明：∵四邊形是正方形，∴，，∴．∵，∴，∴，即．∵，，∴．∵，∴．（3）解：為定值．解法一：作于點M，于點N．∵四邊形是正方形，∴．∵，，∴．又，∴，∴．∵，∴，∴．∵，，∴．解法二：作于點M，于點N．設，，．∵四邊形是正方形，∴．∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，．∵，，∴，∴，即，∴，則，∴．6．(1)(2)見解析(3)①；②【分析】（1）根據題意和相似三角形判定定理（兩角分別相等的兩個三角形相似）可得，從而可得，求解即可；（2）根據角平分線性質和矩形性質，可知，從而得知，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得，從而可證，得到，根據兩角分別相等的兩個三角形相似即可證得結論；（3）①利用角相等的關系，證明，從而得到結論；②利用等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定與性質，得到，再利用線段關系，求出的長度．【詳解】（1）解：（1）是矩形又∴∴∴（2）證明：是的平分線在中∴在中，即四邊形是矩形在中又（3）①證明：同（2）可得，，即②解：在中，【點睛】本題主要考查了矩形的性質，角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，相似三角形的判定與性質，解直角三角形．解題的關鍵是熟知相關性質定理并靈活運用．7．(1)(2)，證明見解析(3)【分析】（1）根據等腰三角形的性質求解，，再結合平行四邊形的性質與三角形的外角的性質可得答案；（2）仿照（1）求解，，可得，，結合點E為線段中點，，證明，可得為等腰直角三角形，，過作于，而，證明為等腰直角三角形，可得，即，進一步可得結論；（3）如圖，由（2）同理可得：，，延長至，使，證明，可得，可得當三點共線時，最小，即的長，此時三點重合，如圖，記的交點為，可得，過作于，過作于，證明，可得，再進一步求解即可．【詳解】（1）解：∵，，將線段繞著點A順時針旋轉α得到，，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴．（2）解：，理由如下：如圖，∵，，將線段繞著點A順時針旋轉α得到，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵點E為線段中點，，∴，∴為等腰直角三角形，∴，，∴，過作于，而，∴，∴四邊形為矩形，，∴，，∵，，∴，∴為等腰直角三角形，∴，即，∴，即．（3）解：如圖，由（2）同理可得：，，∵點M關于點E的對稱點N，∴，∴，延長至，使，∵，∴，∴，∴，∴，∴當三點共線時，最小，即的長，此時三點重合，如圖，記的交點為，∵此時，，∴，過作于，過作于，∵，結合（2）可得：，，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴，，，∵，∴，∴，∵為等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，，∴四邊形的面積為：．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，三角形的內角和定理與外角的性質，矩形的判定與性質，勾股定理的應用，二次根式的運算，旋轉的性質，軸對稱的性質，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．8．(1)(2)菱形，理由見解析(3)證明見解析【分析】對于（1），根據旋轉的性質得，，可得，再根據周角可知，進而得，即，可得答案；對于（2），先根據外心的性質得點P是三邊垂直平分線的交點，即可，再根據旋轉的性質得，然后根據“四邊相等的四邊形是菱形”得出答案；對于（3），延長至E，使，連接，根據旋轉可得，根據“邊角邊”證明，可得，然后說明，接下來根據“邊角邊”證明，可得答案．【詳解】（1）解：由旋轉的性質得，，∴是等邊三角形，∴．∵，∴，∴，則，即，∴；（2）解：四邊形是菱形，理由如下：∵點P是的外心，∴點P是三邊垂直平分線的交點，∴．由旋轉得，∴，∴四邊形是菱形；（3）證明：延長至E，使，連接，根據旋轉可得．∵，∴．∵，∴，∴，即．∵，∴，∴，∴，∴，即．∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，菱形的判定，三角形的外心的性質，三角形內角和定理，作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．9．(1)見解析(2)①，②見解析【分析】（1）根據折疊證明為等邊三角形，則，那么，在矩形中，，得到，然后證明為等邊三角形即可；（2）①先證明，則，可得點，，在同一條直線上，然后由平行得到，則；②過點作于點，先證明，則，，．再證明，則，，最后證明即可．【詳解】（1）證明：∵矩形，∴，由翻折可知，，，，，為的中點，，，，∴為等邊三角形，，．在矩形中，，，，，為等邊三角形，．（2）①解：∵矩形，∴，，，由翻折可知，，，，，，，，，點，，在同一條直線上，，．，∴，；②證明：過點作于點，，，，，，，，．∵，，，，，，，，，，，，，，平分．【點睛】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，全等三角形的綜合問題，線段垂直平分線的性質，等邊三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等知識點，難度較大，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關鍵．10．(1)見解析(2)【分析】（1）由平行四邊形性質得到且，由平行線的性質得到，根據三角形的判定可證得，由全等三角形的性質得到，，可得，根據矩形的判定即可得到結論；（2）由矩形的性質得到，進而求得，，由勾股定理可求得，，由平行四邊形性質得，由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得到結論．【詳解】（1）證明：∵在平行四邊形中，∴且，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴四邊形是矩形；（2）解：由（1）知：四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，∴在中，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，矩形的判定和性質，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質等知識；正確的識別圖形是解題的關鍵．11．(1)；直角三角形(2)①見解析；②(3)(4)【分析】（1）在中，根據勾股定理求出，在中，根據勾股定理逆定理可得到，即可得出結論；（2）①根據題意可得，，進而得到，可證明，根據全等三角形的性質即可證明；②由，，可得，推出，求出，根據即可求解；（3）如圖，過點P作，垂足分別為，過點作于點N，根據角平分線的性質證明，推出，，設，則，利用勾股定理求出，再利用正切的性質得到，設，則，利用勾股定理求出，，證明四邊形是矩形，求出，由旋轉的性質得，，證明，即可推出；（4）分為：點在上時，點在上時，兩種情況討論．【詳解】（1）解：，，，，，，，，是直角三角形；（2）①證明：由題意，得，，，即，又，在和中，，，；②，，，若點在上，則，，而，，，，，，即；（3）解：如圖，過點P作，垂足分別為，過點作于點N，∵點P在的平分線上，，∴，，，，∴，∴，設，則，在中，，∴，解得：，∴，∵，∴，∴，即，∴，設，則，在中，，∴，解得：（負值舍去），∴，，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，由旋轉的性質得，，∴，即，∵，，；（4）解：如圖1，過點作于點，∵，∴，∴，∴，∴，，由（2）知，∴，點在上時，，，，又，，∴，，∴，此時，；如圖2，過點作于點，過點作于點．點在上時，，根據題意可得：，，，即，，，，，，，四邊形是矩形，，，即，，，，，，，，解得:，此時，，．【點睛】本題考查了旋轉的性質，勾股定理及其逆定理、三角形全等的判定及性質、相似三角形的判定與性質，三角函數值等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識．12．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）先求出，再證明，得到，則，據此可得到答案；（2）連接，交于點O，證明垂直平分，則，由三線合一定理即可證明．（3）取的中點G，連接，延長至點Q，使得，連接，設，則，則，，，證明，得到．證明四邊形CDPQ是平行四邊形，得到，再證明，得到，則，即可得到．【詳解】（1）解：，，中，，，，，，中，，，，．（2）解：如圖2，連接，交于點O，平移，，，，，，，又，，，，，即垂直平分，．，．（3）解：如圖所示，取的中點G，連接，延長至點Q，使得，連接，設，則，∴，∴，，∵M、G分別是的中點，∴是的中位線，，∴，．分別為，的中點，四邊形CDPQ是平行四邊形，，中，，，，，∵，．又中，，，中，，，，，又，，，，∴，．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，線段垂直平分線的性質與判定，三角形中位線定理等等，正確作出輔助線是解題的關鍵．13．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再利用矩形的性質得出，即可得出答案；（2）由（1）可得，再根據矩形的性質可證，進而得到，結合，可證，即可得出結論；（3）連接交于點F，利用矩形的性質結合勾股定理求出，，再根據四邊形是菱形，證明是的中位線，求出，進而求出，最后由菱形的面積公式計算即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵矩形的對角線相交于點O，∴，∴四邊形是菱形；（2）證明：由（1）知四邊形是菱形；∴，∴∵四邊形是矩形，∴，∴，即，∴，∴；（3）解：連接交于點F，∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，，∵四邊形是菱形；∴垂直平分，即點F是的中點，∵四邊形是矩形，∴，即點O是的中點，∴是的中位線，∴，∴，∴菱形的面積為．【點睛】此題考查了矩形的性質，三角形全等的判定與性質，勾股定理，三角形中位線，菱形的判定與性質