第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《幾何模型之倍長中線》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．先閱讀，再回答問題：如圖1，已知△ABC中，AD為中線．延長AD至E，使DE=AD．在△ABD和△ECD中，AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），進一步可得到AB=CE，AB∥CE等結論．在已知三角形的中線時，我們經常用“倍長中線”的輔助線來構造全等三角形，并進一步解決一些相關的計算或證明題．解決問題：如圖2，在△ABC中，AD是三角形的中線，F為AD上一點，且BF=AC，連結并延長BF交AC于點E，求證：AE=EF．2．已知：如圖，AD，AE分別是△ABC和△ABD的中線，且BA＝BD．求證：AE＝AC．3．已知：如圖，在△ABC中，點D是BC的中點，過點D作直線交AB，CA的延長線于點E，F．當BE=CF時，求證：AE=AF．4．已知直角△ABC，∠BAC=90°，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF連接EF（1）如圖1，求證：∠BED=∠AFD；（2）求證：BE2+CF2=EF2；（3）如圖2，當∠ABC=45°，若BE=12，CF=5，求△DEF的面積．5．已知：△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．連接AD，BC，點H為BC中點，連接OH．

（1）如圖1所示，若AB＝8，CD＝2，求OH的長；（2）將△COD繞點O旋轉一定的角度到圖2所示位置時，線段OH與AD有怎樣的數量和位置關系，并證明你的結論．6．(1)如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E是BC的中點，若AE是∠BAD的平分線，試判斷AB，AD，DC之間的等量關系.解決此問題可以用如下方法：延長AE交DC的延長線于點F，易證△AEB≌△FEC得到AB=FC，從而把AB，AD，DC轉化在一個三角形中即可判斷.AB，AD，DC之間的等量關系______.(2)問題探究.①如圖②，AD是△ABC的中線，AB=6，AC=4，求AD的范圍：②如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點F，點E是BC的中點，若AE是∠BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關系，并證明你的結論.

7．在中，，，為等邊三角形，，連接，為中點．（1）如圖1，當，，三點共線時，請畫出關于點的中心對稱圖形，判斷與的位置關系是；（2）如圖2，當A，，三點共線時，問（1）中結論是否成立，若成立，給出證明，若不成立，請說明理由；（3）如圖2，取中點，連，將繞點旋轉，直接寫出旋轉過程中線段的取值范圍是．8．如圖，已知△ABC中，點D在AB上，點E在AC的延長線上，且BD=CE，連接DE交BC于點G，若DG=GE，說明：△ABC為等腰三角形．9．已知，在中，，點為邊的中點，分別交，于點，．（1）如圖1，①若，請直接寫出______；②連接，若，求證：；（2）如圖2，連接，若，試探究線段和之間的數量關系，并說明理由．10．閱讀理解：（1）如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點，使得，再連接，把，，集中在中，利用三角形三邊關系即可判斷中線的取值范圍是______．（2）解決問題：如圖2，在中，是邊上的中點，，交于點，交于點，連接，求證：．（3）問題拓展：如圖3，在中，是邊上的中點，延長至，使得，求證：．11．數學活動課中，老師給出以下問題：（1）如圖1，在中，D是邊的中點，若，則中線長度的取值范圍______．（2）如圖2，在中，D是邊的中點，過D點的射線交邊于E，再作交邊于點F，連結，請探索由三條線段

、、構成的三角形的形狀，并說明理由．（3）已知：如圖3，且，F是線段的中點．求證：．12．已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC為邊向外作等邊ABD和等邊BCE．(1)連接AE、CD，如圖1，求證：AE=CD；(2)若N為CD中點，連接AN，如圖2，求證：CE=2AN(3)若AB⊥BC，延長AB交DE于M，DB=，如圖3，則BM=_______（直接寫出結果）13．問題提出：如圖①所示，在矩形和矩形中，，點A，O，D不在同一直線上，連接．是的中線，那么之間存在怎樣的關系？(1)問題探究：先將問題特殊化，如圖②所示，當且時，的數量關系是________，位置關系是________．(2)問題拓展：再探究一般情形如圖③所示，當，時，證明（1）中的結論仍然成立．(3)問題解決：回歸圖①所示，探究之間存在怎樣的關系（數量關系用k表示）？14．（1）如圖1，AD為的中線，延長至E，使，連接．試證明：．（2）用上述方法解答問題：如圖2，在中，D是的中點，E為邊上一點，連接，過點D作，交邊于點F，連接．試猜想線段與的大小關系，并證明．15．【探究問題】（1）閱讀并補全解題過程如圖①，在四邊形中，，點E是邊的中點，．求證：平分．張某某同學受到老師說過的“有中點，延長加倍構造全等”的啟發，延長交射線于點F，請你依據該同學的做法補全證明過程．證明：延長交射線于點F．【應用】（2）如圖②在長方形中，將沿直線折疊，若點B恰好落在邊的中點E處，直接寫出的度數．【拓展】（3）如圖③在正方形中，E為邊的中點，將沿直線折疊，點A落在正方形內部的點F處，延長交于點G，延長交于點H，若正方形的邊長為4，直接寫出的值．參考答案1．證明見試題解析．【分析】延長AD到G，使DF=DG，連接CG，得到BD=DC，根據SAS推出△BDF≌△CDG，根據全等三角形的性質得出BF=CG，∠BFD=∠G，求出∠AFE=∠G，CG=AC，推出∠G=∠CAF，求出∠AFE=∠CAF即可．【詳解】解：延長AD到G，使DF=DG，連接CG，∵AD是中線，∴BD=DC，在△BDF和△CDG中，∵BD=DC，∠BDF=∠CDG，DF=DG，∴△BDF≌△CDG，∴BF=CG，∠BFD=∠G，∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE=∠G，∵BF=CG，且已知BF=AC，∴CG=AC，∴∠G=∠CAF，∴∠AFE=∠CAF，∴AE=EF．【點睛】本題考查了倍長中線法、三角形全等的判定、性質及等腰三角形的性質等，本題的關鍵是借助閱讀材料中提供的方法延長AD到G，使DF=DG，進而構造三角形全等．2．證明見解析．【詳解】試題分析：首先根據題意延長至點，使，連結，根據三角形中線的性質得到，然后利用SAS判定≌（SAS），再根據全等三角形的性質得到利用外角性質及等式的性質得到，利用SAS得到≌，利用全等三角形的對應邊相等得到，由，等量代換即可得證.試題解析：證明：延長至點，使，連結，∵是的中線，∴≌（SAS），是的中線，又，∴≌（SAS），即3．見解析【詳解】試題分析：過點B作BG∥FC，延長FD交BG于點G，證明△BDG和△CDF全等，得到BG=CF，然后根據BE=CF，從而說明△BEG為等腰三角形，即∠G=∠BEG，根據平行可得∠G=∠F，根據對頂角可得∠BEG=∠AEF，根據等式的性質可得∠F=AEF，從而得出AE=AF．試題解析：過點B作BG∥FC，延長FD交BG于點G．∴．∵點D是BC的中點，∴BD=CD．在△BDG和△CDF中，∴△BDG≌△CDF．∴BG=CF．∵BE=CF，

∴BE=BG．∴∠G=∠BEG

∵∠BEG=∠AEF

∴∠G=∠AEF

∴∠F=∠AEF

∴AE=AF考點：三角形全等的證明、等腰三角形的性質．4．（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）利用四邊形內角和得出∠AED+∠AFD=180°，再根據補角的性質即可得；（2）延長ED至點P，使ED=DP，構造全等三角形，利用全等三角形的性質得到直角三角形，由勾股定理及等量代換可得；（3）由（2）結論求EF長，再通過全等證明DE=DF,由面積公式求解.【詳解】解：（1）∵DE⊥DF,∴∠EDF=90°,∵∠BAC=90°,∴∠AED+∠AFD=180°,∵∠AED+∠BED=180°,∴∠BED=∠AFD；（2）如圖，延長ED至點P，使ED=DP，連接CP,EP,∵FD⊥EP,∴FD為EP的垂直平分線，∴EF=FP,∵ED=DP,∠EDB=∠CDP，BD=CD，∴△EDB≌PDC,∴EB=CP,∠B=∠DCP,∵∠BAC=90°,∴∠B+∠ACB=90°,∴∠DCP+∠ACB=90°,即∠ACP=90°,由勾股定理得，CP2+CF2=FP2，∴BE2+CF2=EF2；（3）如圖，∵BE2+CF2=EF2∴52+122=EF2，∴EF=13，∵△ABC是等腰直角三角形，BD=CD,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∠BAD=∠B=∠C=45°,∵∠EDF=90°∴∠ADE=∠CDF,∴△ADE≌CDF,∴DE=DF=,∴S△DEF=.【點睛】本題為三角形的綜合應用，主要考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質，以及勾股定理等，構造全等三角形、掌握“倍長中線”型全等三角形的模型是解答此題的關鍵．5．（1）3；（2）OH＝AD，OH⊥AD，證明見解析【分析】（1）利用勾股定理求出BC，根據直角三角形斜邊中線的性質即可解決問題；（2）如圖2中，結論：OH＝AD，OH⊥AD．延長OH到E，使得HE＝OH（倍長中線構造全等三角形），連接BE，由△BEO≌△ODA即可解決問題．【詳解】（1）證明：如圖1中，∵△AOB和△COD均為等腰直角三角形，AB＝8，CD＝2，∴OB＝AB＝4，OC＝CD＝，∴BC＝＝＝，

∵在Rt△BOC中，點H為線段BC的中點，∴OH＝BC＝；（2）解：結論：OH＝AD，OH⊥AD，如圖2中，延長OH到E，使得HE＝OH，連接BE，

∵點H是BC中點，∴BH＝CH，∵∠EHB＝∠OHC，∴△BEH≌△COH（SAS），∴OH＝EH，BE=CO，∠EBC＝∠BCO，∴OH＝OE，∴∠OBE＝∠EBC+∠OBC＝∠BCO+∠OBC＝180°﹣∠BOC，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOC＝∠OBE，∵BE=CO，OC＝OD，∴BE=OD，∵OB＝OA，BE＝OD，∴△BEO≌△ODA（SAS），∴OE＝AD，∴OH＝OE＝AD∵△BEO≌△ODA，∴∠EOB＝∠DAO∴∠DAO+∠AOH＝∠EOB+∠AOH＝90°，∴OH⊥AD．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查全等三角形的判定和性質、直角三角形斜邊上的中線、等腰直角三角形、旋轉的性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．6．(1)AD=AB+DC；(2)①1<AD<5；②AB=AF+CF，證明見解析.【分析】(1)利用平行線的性質及角平分線的定義，易證∠BAE=∠F，∠BAE=∠DAF，從而可以推出∠F=∠DAF，再利用等角對等邊，可證AD=DF，利用線段中點的定義，可知BE=CE，然后利用AAS證明△ABE≌△FCE，利用全等三角形的對應邊相等，可證得AB=CF，再根據DF=DC+CF，可得AB，AD，DC之間的數量關系；(2)①延長AD至E，使DE=AD，連結BE，利用SAS證得△ADC≌△EDB，根據全等三角形的性質，可得AC=BE，由此將AD，AB，AC轉化到一個三角形中，然后利用三角形的三邊關系定理，即可求出AD的取值范圍；②延長AE交DF的延長線于點G，根據已知易得CE=BE，∠BAE=∠G，再利用AAS證明△AEB≌△GEC，利用全等三角形的對應邊相等可證得AB=GC，然后利用角平分線的定義推出∠FAG=∠G，從而可得到FA=FG，然后根據CG=CF+FG，可證得結論.【詳解】解：(1)AD=AB+DC；理由：延長AE交DC的延長線于點F，∵AB∥CD，AE平分∠DAB，∴∠BAE=∠F，∠BAE=∠DAF，∴∠F=∠DAF，∴AD=DF，∵點E是CB的中點，∴BE=CE，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE(AAS)，∴AB=CF，∵AD=DF=DC+CF，∴AD=AB+DC；(2)①延長AD至E，使DE=AD，連結BE，

∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴AC=BE，AE=2AD，在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE，∴2<2AD<10，∴1<AD<5；②AB=AF+CF；證明：延長AE交DF的延長線于點G，

∴E是BC的中點，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC，∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG=∠FAG，∵∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∵CG=CF+FG，∴AB=AF+CF.【點睛】本題主要考查了平行線的性質、角平分線的定義、三角形三邊關系定理、等角對等邊以及全等三角形的判定和性質等知識，“遇中線，加倍延”，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．7．（1）圖見解析，BM⊥ME；（2）結論成立，理由見解析；（3）-1≤MN≤+1【分析】（1）先作出圖形，進而證明△AMF≌△DME，即可得出結論；（2）同（1）的方法得出△AMF≌△DMF，利用四邊形的內角和定理及平角的定義得出∠BCE=∠BAF即可得出△AFB≌△CEB，從而求證；（3）同（2）的方法得出∠BME=90°，進而得出BE=2MN，最后用三角形的三邊關系即可得出結論．【詳解】解：（1）證明：如圖1，延長BA，EM交于點F，即：△FAM即為所求，∵△CDE是等邊三角形，∴CD=CE=DE，∠CED=60°，∵∠ABC=120°，∴∠ABC+∠CED=180°，∵B，C，E三點共線，∴AB∥DE，∴∠FAM=∠MDE，∠MED=∠F，∵點M是AD中點，∴AM=DM，∴△AMF≌△DME，∴AF=DE=CE，FM=ME，∵AB=BC，∴BF=BE，∴BM⊥ME；（2）證明：如圖2，延長EM到點F，使MF=ME，連接BF，AF，BE∵AM=DM，∠FMA=∠DME，∴△AMF≌△DMF，∴AF=DE=CE，∠FAD=∠ADE，在四邊形BADE中，∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°，∵∠ABC=120°，∠CED=60°，∴∠CBE+∠CEB+∠BAD+∠ADE=180°，∵∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°，∴∠BCE=∠BAD+∠ADE，∴∠BCE=∠BAF，∵AB=AC，∴△AFB≌△CEB，∴BF=BE∴BM⊥ME；（3）如圖3，延長EM到點F，使MF=ME，連接BF，AF，BM，∵AM=DM，∠FMA=∠DME，∴△AMF≌△DME，∴AF=DE=CE，∠FAD=∠ADE，在四邊形BADE中，∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°，∵∠ABC=120°，∠CED=60°，∴∠CBE+∠CEB+∠BAD+∠ADE=180°，∵∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°，∴∠BCE=∠BAD+∠ADE，∴∠BCE=∠BAF，∵AB=CB，∴△AFB≌△CEB，∴BF=BE，∠ABF=∠CBE，∴∠FBE=∠ABC=120°，∠BEF=30°，∴∠BME=90°，∵點N是BE的中點，∴MN=BE，即：BE=2MN，在△BCE中，BC=2，CE=CD=2，∴2-2＜BE＜2+2∴2-2＜2MN＜2+2，即：-1≤MN≤+1，故答案為：-1≤MN≤+1【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，四邊形內角和定理，平角的意義，三角形外角的性質，解本題的關鍵是作出輔助線判斷出∠BCE=∠BAF．8．見解析．【分析】過D作DF∥AC交BC于F，根據AAS證出△DFG≌△ECG，得到BD=DF，于是∠B=∠DFB，根據平行線的性質推出∠DFB=∠ACB，得到∠B=∠ACB，可證明AB=AC，于是可得△ABC是等腰三角形．【詳解】解：如圖，過D作DF∥AC交BC于F，∵DF∥AC，∴∠DFC=∠FCE，∵∠DGF=∠CGE，DG=GE，∴△DFG≌△ECG（AAS），∴DF=CE，∵BD=CE，∴BD=DF，∴∠B=∠DFB，∵DF∥AC，∴∠DFB=∠ACB，∴∠B=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC為等腰三角形．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質及等腰三角形的判定和性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．9．（1）①45°；②見解析；（2），理由見解析【分析】（1）①利用直角三角形兩個銳角相加得和三角形的外角等于不相鄰的兩個內角和的性質結合題干已知即可解題．②延長至點，使得，連接，從而可證明≌（SAS），再利用全等的性質，可知，即可知道，所以，根據題干又可得到，所以，從而得出結論．（2）延長至點，使得，連接，從而可證明≌（SAS），再利用全等的性質，可知，，根據題干即可證明≌（HL），即得出結論．【詳解】（1）①∵，∴∵∴又∵∴∴故答案為．②如圖，延長至點，使得，連接，∵點為的中點，∴，又∵，∴≌，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．（2）．如圖，延長至點，使得，連接，∵，，∴≌，∴，，∵．∴≌，∴．【點睛】本題主要考查直角三角形的角的性質，三角形外角的性質，全等三角形的判定和性質以及平行線的性質．綜合性較強，作出輔助線是解答本題的關鍵．10．（1）；（2）見解析；（3）見解析．【分析】（1）如圖1延長到點，使得，再連接，由AD為中線，推出BD=CD，可證△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三邊關系即可，（2）如圖2延長FD到G，使DG=FD，連結BG，EG由D為BC中點，BD=CD可證△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中由三邊關系，（3）如圖3，延長AD到G使DG=AD，連結BG，由是邊上的中點，得BD=CD，可證△ACD≌△GBD（SAS）得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案，【詳解】（1）如圖1延長到點，使得，再連接，∵AD為中線，∴BD=CD，在△ADC和△

EDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠EDB，AD=ED，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC=EB=6，，∵，∴，∴，（2）如圖2延長FD到G，使DG=FD，連結BG，EG，由D為BC中點，BD=CD，在△FDC和△GDB中，∵CD=BD，∠FDC=∠GDB，FD=GD，∴△FCD≌△GBD（SAS），∴FC=GB，∵，DF=DG，∴EF=EG，在△BEG中EG<EB+BG，即，（3）如圖3，延長AD到G使DG=AD，連結BG，由是邊上的中點，∴BD=CD，在△ADC和△GDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠GDB，AD=GD，∴△ACD≌△GBD（SAS），∴AC=GB，∠DAC=∠G，∵BE=AC，∴BE=BG，∴∠BED=∠G=∠CAD．【點睛】本題考查中線加倍，三角形全等，三邊關系，垂直平分線，等腰三角形，掌握中線加倍構造三角形，用三角形全等轉化等量關系，用三邊關系求取值范圍，用垂直平分線轉化線段，用等腰三角形證角是解題關鍵，11．（1）2<AD<7；（2）BE、EF、CF構成的三角形為鈍角三角形；（3）見解析.【分析】(1)延長AD到E，使AD=DE，連接CE，證△ADB≌△EDC，推出EC=AB，根據三角形的三邊關系定理求出即可;(2)延長FD到點G使DG=FD，連結GE，GB，就有FE=GE，連結EG、BG，可證△CFD≌△BDG，則BG=CF，再將BE、EF、CF構成三角形轉化為即可得出結論；(3)延長AF到G使FG=AF，連接GE，GD，先證明△ABF≌△EFG，再證明△ACD≌△GED，從而AD=GD,根據FG=AF結論可證.【詳解】（1）如圖，延長AD到E，使AD=DE，連接CE，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，∵BD=CD，∠ADB=∠BCDE，AD=DE，∴△ADB≌△EDC，∴EC=AB，∴根據三角形的三邊關系定理：AC+CE<AE<AC-CE，∵，∴EC=AB=5.∴4<AE<14∴2<AD<7.故線段AD的長的取值范圍為：2<AD<7.（2）BE、EF、CF構成的三角形為鈍角三角形如圖，延長FD到點G，使DG=FD，連結GE，GB，∵D是CB的中點，∴CD=BD，在△CDF和△BDG中，FD=GD，∠CDF=∠GDB，CD=BD∴△DCF≌△DBG(SAS)，∴CF=BG，∴AC//BG，∵FD⊥DE，FD=DG，∴ED是GF的垂直平分線，∴FE=GE，∴BE、EF、CF構成三角形轉化為,∵,且題目中為銳角，∴為鈍角∴為鈍角三角形∴BE、EF、CF構成的三角形為鈍角三角形;(3)延長AF到G使FG=AF，連接GE，GD∵F是BE的中點，∴BF=EF，∵在△AFB與△EFG中AF=FG，∠AFB=∠EFG，BF=EF，∴△ABF≌△EFG，∴AB=EG，∠B=∠FEG，∵AB=AC,∴AC=GE,∵∠BAC=∠CDE=90°，∴∠B+∠DEF+∠CAD+∠CDA=180°，∵∠CAD+∠C+∠CDA=180°，∴∠C=∠B+∠FED=∠FEG+∠FED=∠GED，∵在△ACD與△GED中,AC=GE，∠C=∠GED，CD=ED，∴△ACD≌△GED，∴AD=GD，∵AF=GF，∴AF⊥FD，【點睛】本題考查三角形的三邊關系，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，線段垂直平分線性質定理的逆定理.本題前兩問都是利用中線的性質構造全等三角形，再利用全等三角形的性質，將線段放在同一個三角形中進行討論，（3）中在需知到線段距離相等的點在線段的垂直平分線上.12．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）先判斷出∠DBC=∠ABE，進而判斷出△DBC≌△ABE，即可得出結論；（2）先判斷出△ADN≌△FCN，得出CF=AD，∠NCF=∠AND，進而判斷出∠BAC=∠ACF，即可判斷出△ABC≌△CFA，即可得出結論；（3）先判斷出△ABC≌△HEB(ASA)，得出，，再判斷出△ADM≌△HEM(AAS)，得出AM=HM，即可得出結論．【詳解】（1）解：∵△ABD和△BCE是等邊三角形，∴BD=AB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，∴∠DBC=∠ABE，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=CD；（2）解：如圖，延長AN使NF=AN，連接FC，∵N為CD中點，∴DN=CN，∵∠AND=∠FNC，∴△ADN≌△FCN(SAS)，∴CF=AD，∠NCF=∠AND，∵∠DAB=∠BAC=60°∴∠ACD+∠ADN=60°∴∠ACF=∠ACD+∠NCF=60°，∴∠BAC=∠ACF，∵△ABD是等邊三角形，∴AB=AD，∴AB=CF，∵AC=CA，∴△ABC≌△CFA(SAS)，∴BC=AF，∵△BCE是等邊三角形，∴CE=BC=AF=2AN；（3）解：∵△ABD是等邊三角形，∴，∠BAD=60°，在Rt△ABC中，∠ACB=90°－∠BAC=30°，∴，如圖，過點E作EH//AD交AM的延長線于H，∴∠H=∠BAD=60°，∵△BCE是等邊三角形，∴BC=BE，∠CBE=60°，∵∠ABC=90°，∴∠EBH=90°－∠CBE=30°=∠ACB，∴∠BEH=180°－∠EBH－∠H=90°=∠ABC，∴△ABC≌△HEB(ASA)，∴，，∴AD=EH，∵∠AMD=∠HME，∴△ADM≌△HEM(AAS)，∴AM=HM，∴∵，，∴．故答案為：．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，含30°角的直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，構造出全等三角形是解本題的關鍵．13．(1)CF=2OH，OH⊥CF(2)當k=1，∠AOD≠90°時，（1）中的結論仍然成立(3)CF=2kOH，OH⊥CF【分析】（1）連接HO并延長交CF于點L，通過證明△AOD≌△COF可得AD=CF，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CF=2OH；通過計算可得∠CLO=90°則OH⊥CF；（2）當k=1，∠AOD≠90°時，（1）中的結論仍然成立，延長OH至點M，使HM=HO，連接DM，延長HO交CF于點N，通過證明△AOH≌△DMH可得OM=CF，進而得到DM∥AO，利用同角的補角相等可得∠ODM=∠COF，易證△ODM≌△FOC，則CF=OM=2OH；與（1）相同的方法通過計算得到∠ONF=90°，則OH⊥CF；（3）延長OH至點G，使HG=HO，連接DG.延長HO交CF于點K，同（2）中的方法證明△AOH≌△DGH，得到AO=DG，∠AOH=∠G，AO//DG，易證△FOC∽△ODG，則∠OFC=∠DOG，于是FC=kOG=2kOH；同（1）中的方法通過計算得到∠OKF=90°，則OH⊥CF．【詳解】（1）解：HO，CF的數量關系是：CF=2OH，位置關系是：OH⊥CF，理由是：連接HO并延長交CG于點L，如圖當k=1且∠AOD=90°時，∴AO=CO，OF=OD∴矩形AOCB和矩形ODEF是正方形∴∠AOC=∠DOF=90°∴∠COF=90°在△AOD和△COF中∴△AOD≌△COF（SAS）∴AD=CF，∠OAD=∠OCF∵HO是△AOD的中線，∠AOD=90°∴HO=AD∴HO=CF，即CF=3OH∵HO=AH∴∠OAD=∠AOH∴∠AOH=∠OCF∵∠AOH+∠AOC+∠COL=180°，∠AOC=90°∴∠COL+∠AOH=90°∴∠COL+∠OCF=90°∴∠CLO=90°∴OH⊥CF∴HO，CF的數量關系是：CF=2OH，位置關系是：OH⊥CF，故答案為：CF=2OH，OH⊥CF．（2）解：當k=1，∠AOD≠90°時，（1）中的結論仍然成立，理由是：延長OH到M，使HM=HO，連接DM，延長HO交CF于N，如圖，則OM=2OH在△AOH和△DMH中∴△AOH≌△DMH（SAS）∴AO=DM，∠AOH=∠M∴AO∥DM∴∠AOD+∠DOM=180°∵∠AOC=∠DOF=90°∴∠AOD+∠COF=180°∴∠ODM=∠COF由（1）可知，AO=CO，OF=OD∴DM=OC在△ODM和△FOC中∴△ODM≌△FOC（SAS）∴OM=CF，∠MOD=∠CFO∴FC=2OH∵∠MOD+∠DOF+∠NOF=180°，∠DOF=90°∴∠MOD+∠NOF=90°∴∠NOF+∠CFO=90°∴∠ONF=90°∴OH⊥CF∴當k=1，∠AOD≠90°時，（1）中的結論仍然成立．（3）解：HO、CF的數量關系是：CF=2