第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《弧長(zhǎng)與扇形面積》專項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．如圖，在中，，點(diǎn)E在上，以為直徑的經(jīng)過(guò)上的點(diǎn)D，與交于點(diǎn)F，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．2．如圖，是的外接圓，為直徑，點(diǎn)是的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：與相切；(2)連接，若的半徑為2，，求陰影部分的面積（結(jié)果用含的式子表示）．3．如圖，矩形內(nèi)接于，是對(duì)角線，點(diǎn)在上（不與點(diǎn)重合），連接分別交于點(diǎn)，，于點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，時(shí)，①求證：．②求的長(zhǎng)．(2)如圖2，若，求的值．4．如圖，已知等腰中，，以為直徑的與底邊交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接．(1)求證：為的切線；(2)若，求圖中陰影部分的面積．5．如圖，點(diǎn)在以為直徑的上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．6．如圖，四邊形是菱形，是對(duì)角線上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)圓交于點(diǎn)，邊與相切于點(diǎn)．(1)①判斷點(diǎn)和的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；②求證：是的切線；(2)若，求圖中陰影部分的周長(zhǎng)．7．如圖，在中，，是的平分線，O是上一點(diǎn)，O經(jīng)過(guò)A，D兩點(diǎn)，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長(zhǎng)l．8．如圖，在⊙O中，弦垂直于半徑，垂足為D，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，且．(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）．9．如圖，在中，是直徑，D是的中點(diǎn)，連接、．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留）．10．如圖，是直徑，點(diǎn)C為劣弧中點(diǎn)，弦、相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上，，垂足為G，且．(1)求證：是的切線；(2)當(dāng)、時(shí)，求的長(zhǎng)度；(3)當(dāng)時(shí)，求的值．11．如圖，中．，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓與相切于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．12．如圖，是的直徑，為弦，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，求圖中陰影部分的面積．13．如圖，在中，，平分交于點(diǎn)E，O為上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)A，E的分別交，于點(diǎn)D，F(xiàn)，連接交于點(diǎn)M．

(1)求證：是的切線：(2)若，，求的半徑；(3)若，的半徑為2，求陰影部分面積．14．已知是⊙的直徑，是圓外一點(diǎn)，直線交⊙于點(diǎn)，、不重合，平分交⊙于點(diǎn)，過(guò)作，垂足為．(1)判斷與⊙的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，，求的長(zhǎng)度．15．如圖，是的內(nèi)接三角形，點(diǎn)E是直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．參考答案1．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，證明，得到，即可證明解析；（2）設(shè)的半徑為，由題意求出半徑，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出，再求出，再由弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：連接，在和中，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：設(shè)的半徑為，∵，∴，∵，，∴，∴，即，解得，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線長(zhǎng)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．2．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，由為的內(nèi)心，得到，求得，根據(jù)圓周角定理得到，求得，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的判定定理得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，求得，求得，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，交于點(diǎn)，∵，∴，∵為的內(nèi)心，∴，∴，∴，∴，∵為的直徑，∴，∴∵∴∴∵為的半徑，∴為的切線；（2）解：∵，∴，∴，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線的判定，三角函數(shù)的定義，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，扇形面積的計(jì)算．正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．3．(1)①見(jiàn)解析；②(2)【分析】（1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)、余角的性質(zhì)等可證得，根據(jù)圓周角定理可得出，然后等量代換即可得證；②連接，，根據(jù)圓周角定理的推論可得、是的直徑，則是中點(diǎn)，也是中點(diǎn)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，結(jié)合①中，以及，得出，則可求出，得出，然后根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理可求出，則，根據(jù)弧、圓心角的關(guān)系可求出，則，最根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可；（2）根據(jù)，可設(shè)，則，，，根據(jù)勾股定理求出，結(jié)合（1）中，求出，，證明，可求出，在中求出，過(guò)P作于M，根據(jù)等角的正切值相等可得出，故設(shè)，則，在中，根據(jù)正切的定義求出，根據(jù)勾股定理求出，結(jié)合，可求出，則可求出，，，即可求解．【詳解】（1）①證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，∴，∴；②解：連接，，∵，∴是的直徑，∴是中點(diǎn)，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴是的直徑，∴是中點(diǎn)，∵，，∴，∴，由①知：，又，∴，又，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴的長(zhǎng)為；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，，，，∵，∴設(shè)，則，，∴，由（1）知∶，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，過(guò)P作于M，∵，∴，∴，設(shè)，則，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理以及推論，弧、圓心角的關(guān)系，矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)，并正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．4．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了圓的切線的判定定理、圓周角定理、扇形的面積、解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的切線的判定定理和扇形的面積公式是解題關(guān)鍵．（1）連接，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，從而可得，再根據(jù)平行線的判定可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，最后根據(jù)圓的切線的判定定理即可得證；（2）先根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，解直角三角形可得，根據(jù)圓周角定理可得，然后根據(jù)圖中陰影部分的面積等于求解即可得．【詳解】（1）證明：如圖，連接，則，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵是的半徑，∴為的切線．（2）解：∵是的直徑，∴，即，∴，（等腰三角形的三線合一）∵在中，，∴，，，∴，，∴，∴圖中陰影部分的面積為．5．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查了圓周角定理、圓的切線的判定、特殊角的三角函數(shù)值、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵。（1）根據(jù)圓周角定理可得即，再說(shuō)明，進(jìn)而求得，即可證明結(jié)論；（2）如圖，連接，由特殊角的三角函數(shù)值可得，進(jìn)而求得，然后說(shuō)明，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可。【詳解】（1）證明：是的直徑，，，，，，，即，，是的直徑，是的切線。（2）解：如圖，連接，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，

，，的長(zhǎng)為．6．(1)①點(diǎn)在上，理由見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析(2)【分析】（1）①連接，，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)求解；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和切線的判定來(lái)求解；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和圓周角定理求出，再利用含角的直角三角形性質(zhì)求出，由勾股定理求出的長(zhǎng)度，利用弧長(zhǎng)公式求解．【詳解】（1）解：①點(diǎn)在上，理由如下：連接，，在菱形中，，∴，∴．又是半徑，∴點(diǎn)在上；②∵，∴．又與相切，切點(diǎn)為，∴，是半徑，∴，∴，∴是的切線．（2）解：∵，∴，在菱形中，，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴，，，即，∴，，∴，∴弧長(zhǎng)，∴．【點(diǎn)晴】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，切線的判定和性質(zhì)，含角的直角三角形性質(zhì)，勾股定理，弧長(zhǎng)公式，理解相關(guān)知識(shí)是解答關(guān)鍵．7．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查切線的判定、弧長(zhǎng)公式、等邊三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．（1）連接，只要證明即可解決問(wèn)題；（2）作于點(diǎn)G，連接，證明為矩形，則可得求得的度數(shù)，再求得，即可利用弧長(zhǎng)公式解答．【詳解】（1）證明：如圖，連接．是的平分線，

．，．

．．

．

．是的半徑，

是的切線；（2）解：如圖，作于點(diǎn)G，連接．則，是的直徑，，四邊形為矩形，．．．

．，．，．

∴．8．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接．根據(jù)半徑相等可得，根據(jù)，，等量代換可得，即可得證；（2）連接，根據(jù)，，進(jìn)而可得是等邊三角形．再結(jié)合垂徑定理，根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接．．，．又．，．又是的半徑，直線是的切線．（2）解：如圖，連接．在中，，．．又是等邊三角形．又弦垂直于半徑．．．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，垂徑定理，求扇形面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握切線的性質(zhì)與判定，垂徑定理是解題的關(guān)鍵．9．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，求弧長(zhǎng)，三角形內(nèi)角和定理：（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，則，由垂徑定理得到，則，由此即可證明；（2）如圖所示，連接，由圓周角定理得到，則由垂徑定理可得，可得，據(jù)此利用弧長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，記，的交點(diǎn)為，∵是直徑，∴，∴，∵D是的中點(diǎn)，是直徑，∴，∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，連接，∵，∴，∵D是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴的長(zhǎng)度．10．(1)見(jiàn)詳解(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等和等腰三角形的性質(zhì)（三線合一），可以證明，再根據(jù)，可以證明結(jié)論成立；（2）先由圓周角定理得，再結(jié)合點(diǎn)C為劣弧中點(diǎn)，得，則，最后由弧長(zhǎng)公式進(jìn)行列式計(jì)算，即可作答．（3）先證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可以求得的值，即可作答．【詳解】（1）解：連接，如圖1所示，點(diǎn)為劣弧中點(diǎn)，，，，，平分，，，，，，，；，，，，是直徑，是的切線；（2）解：連接，如圖所示：∵，，則，∵點(diǎn)C為劣弧中點(diǎn)，∴，∴，即，∵，∴的長(zhǎng)度；（3）解：如圖2，作于點(diǎn)，則，由（1）得，即，在和中，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是一道圓的綜合題目，考查切線的判定，弧長(zhǎng)公式、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．11．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查切線的性質(zhì)，解直角三角形，求弧長(zhǎng)：（1）連接，證明，得到，平分，進(jìn)而得到垂直平分，根據(jù)同角的余角相等，得到，即可得證；（2）求出，進(jìn)而求出，三角函數(shù)求出的長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：連接，則，∵以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓與相切于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴垂直平分，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，，，∴，∴，由（1）知：，∴，，∴的長(zhǎng)為：．12．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查圓周角定理、等弧所對(duì)的圓周角相等、圓的切線的判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉圓的相關(guān)性質(zhì)．（1）連接，證明，由，得即可證明結(jié)論．（2）連接，．證明是等邊三角形，進(jìn)而可得，．，即可求面積．【詳解】（1）證明：連接，是的中點(diǎn)，，．又，．，，，．．又是半徑，是的切線．（2）解：連接，．，是等邊三角形，，．由（1）知，，．，，．13．(1)見(jiàn)解析(2)3(3)【分析】（1）連接，根據(jù)角平分線的性質(zhì)及同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半得出即可；（2）由勾股定理可得出答案．（3）先利用等腰三角形的性質(zhì)與角平分線，三角形內(nèi)角和定理，求出，從而求得，即可由扇形面積公式得，再由直角三角形的性質(zhì)與勾股定理求出，從而求得，即可由求解．【詳解】（1）證明：連接，

平分交于點(diǎn)，，，，，，，又是的半徑，是的切線；（2）解：由（1）知，是的切線，∴∴設(shè)，，，解得，，即圓的半徑為3．（3）解：如圖，連接，

∵∴∵平分∴∴∵∴∴∵∴∴∴由（1）知，是的切線，∴∴∴∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形面積，三角形面積，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，角平分線，三角形內(nèi)角和定理等知訓(xùn)．熟練掌握切線的判定定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．14．(1)相切，見(jiàn)解析；(2)．【分析】本題主要考查了切線的判定、弧長(zhǎng)公式、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的定義和平行線的判定證明，從而證明直線與圓相切．連接，根據(jù)圓的基本性質(zhì)可證，根據(jù)角平分線定理可證，等量代換可得，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等可證，從而可得，可證結(jié)論成立；過(guò)作于，根據(jù)圓的基本性質(zhì)可證四邊形是矩形，利用勾股定理可求，設(shè)，則，，利用勾股定理可得關(guān)于的方程，解方程求出的值，即為圓的半徑，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：與相切，理由如下：連接，，，平分，，，，，，與相切；（2）解：過(guò)作于，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，設(shè)，則，，在中，，，解得：，．15．(1)見(jiàn)解析(2