PAGE1-六概率與統計中的高考熱點問題[命題解讀]1.統計與概率是高考中相對獨立的一塊內容，處理問題的方式、方法體現了較高的思維含量，該類問題以應用題為載體，留意考查學生的數學建模及閱讀理解實力、分類探討與化歸轉化實力．2．概率問題的核心是概率計算，其中事務的互斥、對立是概率計算的核心.統計問題的核心是樣本數據的獲得及分析方法，重點是頻率分布直方圖、莖葉圖和樣本的數字特征，統計與概率內容相互滲透，背景新奇．統計與統計案例以統計圖表或文字敘述的實際問題為載體，通過對相關數據的分析、抽象概括，作出估計、推斷.常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等學問交匯考查，考查學生的數據處理實力與運算實力及應用意識．【例1】已知某班n名同學的數學測試成果(單位：分，滿分100分)的頻率分布直方圖如圖所示，其中a，b，c成等差數列，且成果在[90,100]內的有6人．(1)求n的值；(2)規定60分以下為不及格，若不及格的人中女生有4人，而及格的人中，男生比女生少4人，借助獨立性檢驗分析能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為“本次測試的及格狀況與性別有關”？附：P(χ2≥x0)0.100.050.0100.005x02.7063.8416.6357.879χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).[解](1)依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10×0.035＋0.025＋c＋2b＋a＝1，,2b＝a＋c，))解得b＝0.01.因為成果在[90,100]內的有6人，所以n＝eq\f(6,0.01×10)＝60.(2)由于2b＝a＋c，而b＝0.01，可得a＋c＝0.02，則不及格的人數為0.02×10×60＝12，及格的人數為60－12＝48，設及格的人中，女生有x人，則男生有x－4人，于是x＋x－4＝48，解得x＝26，故及格的人中，女生有26人，男生有22人．于是本次測試的及格狀況與性別的2×2列聯表如下：及格不及格總計男22830女26430總計481260所以χ2＝eq\f(60×22×4－8×262,30×30×48×12)＝1.667＜2.706，故不能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為“本次測試的及格狀況與性別有關”．[規律方法]獨立性檢驗的方法(1)構造2×2列聯表；(2)計算χ2；(3)查表確定有多大的把握判定兩個變量有關聯．易錯提示：查表時不是查最大允許值，而是先依據題目要求的百分比找到第一行對應的數值，再將該數值對應的臨界值與求得的χ2相比較．另外，表中第一行數據表示兩個變量沒有關聯的可能性p，所以其有關聯的可能性為1－p.近幾年出現各種食品問題，食品添加劑會引起血脂增高、血壓增高、血糖增高等疾病．為了解三高疾病是否與性別有關，醫院隨機對入院的60人進行了問卷調查，得到了如下的列聯表：(1)請將如圖的列聯表補充完整．若用分層抽樣的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女生抽多少人？(2)為了探討患三高疾病是否與性別有關，請計算出統計量χ2，并說明是否可以在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為患三高疾病與性別有關．患三高疾病不患三高疾病總計男630女總計36下面的臨界值表供參考：P(χ2≥x0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001x02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(參考公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d)[解](1)完善補充列聯表如下：患三高疾病不患三高疾病總計男24630女121830總計362460在患三高疾病人群中抽9人，則抽取比例為eq\f(9,36)＝eq\f(1,4)，所以女性應當抽取12×eq\f(1,4)＝3(人)．(2)依據2×2列聯表，則χ2＝eq\f(60×24×18－6×122,30×30×36×24)＝10＞7.879.所以可以在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為患三高疾病與性別有關．常見概率模型的概率概率應用題側重于古典概型，主要考查隨機事務、等可能事務、互斥事務、對立事務的概率.解決簡潔的古典概型試題可用干脆法(定義法)，對于較為困難的事務的概率，可以利用所求事務的性質將其轉化為互斥事務或對立事務的概率求解．【例2】(2024·全國卷Ⅲ)某超市安排按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．依據往年銷售閱歷，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關．假如最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區間[20,25)，需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購安排，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數216362574以最高氣溫位于各區間的頻率估計最高氣溫位于該區間的概率．(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率．(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的全部可能值，并估計Y大于零的概率．[解](1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25，由表格數據知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區間[20,25)，則Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，所以，Y的全部可能值為900,300，－100.Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20，由表格數據知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估計值為0.8.[規律方法]統計以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數的計算為主，概率以考查概率計算為主，往往和實際問題相結合，要留意理解實際問題的意義，使之和相應的概率計算對應起來，只有這樣才能有效地解決問題．某商場在元旦實行購物抽獎促銷活動，規定顧客從裝有編號為0,1,2,3,4的五個相同小球的抽獎箱中一次隨意摸出兩個小球，若取出的兩個小球的編號之和等于7，則中一等獎，等于6或5，則中二等獎，等于4，則中三等獎，其余結果為不中獎．(1)求中二等獎的概率；(2)求不中獎的概率．[解](1)記“中二等獎”為事務A．從五個小球中一次隨意摸出兩個小球，不同的結果有{0,1}，{0,2}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共10個基本領件．記兩個小球的編號之和為x，由題意可知，事務A包括兩個互斥事務：x＝5，x＝6.事務x＝5的取法有2種，即{1,4}，{2,3}，故P(x＝5)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)；事務x＝6的取法有1種，即{2,4}，故P(x＝6)＝eq\f(1,10).所以P(A)＝P(x＝5)＋P(x＝6)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,10)＝eq\f(3,10).(2)記“不中獎”為事務B，則“中獎”為事務eq\x\to(B)，由題意可知，事務eq\x\to(B)包括三個互斥事務：中一等獎(x＝7)，中二等獎(事務A)，中三等獎(x＝4)．事務x＝7的取法有1種，即{3,4}，故P(x＝7)＝eq\f(1,10)；事務x＝4的取法有{0,4}，{1,3}，共2種，故P(x＝4)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).由(1)可知，P(A)＝eq\f(3,10).所以P(eq\x\to(B))＝P(x＝7)＋P(x＝4)＋P(A)＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,5)＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).所以不中獎的概率為P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,5)＝eq\f(2,5).統計與概率的綜合應用統計和概率學問相結合命題統計概率解答題已經是一個新的命題趨向，概率和統計學問初步綜合解答題的主要依托點是統計圖表，正確相識和運用這些圖表是解決問題的關鍵，在此基礎上駕馭好樣本數字特征及各類概率的計算．【例3】(本小題滿分12分)(2024·全國卷Ⅰ)某家庭記錄了未運用節水龍頭50天的日用水量數據(單位：m3)和運用了節水龍頭50天的日用水量數據，得到頻數分布表如下：未運用節水龍頭50天的日用水量頻數分布表日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)[0.6，0.7)頻數13249265運用了節水龍頭50天的日用水量頻數分布表日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)頻數151310165(1)在下圖中作出訪用了節水龍頭50天的日用水量數據的頻率分布直方圖；(2)估計該家庭運用節水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率；(3)估計該家庭運用節水龍頭后，一年能節約多少水？(一年按365天計算，同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值作代表．)[信息提取]看到作頻率分布直方圖，想到作頻率分布直方圖的作圖規則；看到求概率，想到利用頻率分布直方圖求概率的方法；看到估計節水量，想到求運用節水龍頭前后的用水量．[規范解答](1)如圖所示． 4分(2)依據以上數據，該家庭運用節水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48， 6分因此該家庭運用節水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率的估計值為0.48.7分(3)該家庭未運用節水龍頭50天日用水量的平均數為eq\o(x,\s\up13(－))1＝eq\f(1,50)(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48. 9分該家庭運用了節水龍頭后50天日用水量的平均數為eq\o(x,\s\up13(－))2＝eq\f(1,50)(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35. 11分估計運用節水龍頭后，一年可節約水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3). 12分[易錯與防范]作頻率分布直方圖時留意縱軸單位是“eq\f(fi,Δxi)”，計算平均數時運算要精確，避開“會而不對”的失誤．[通性通法]概率與統計作為考查考生應用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點和熱點．它與其他學問融合、滲透，情境新奇，充分體現了概率與統計的工具性和交匯性．長時間用手機上網嚴峻影響著學生的身體健康，某校為了解A，B兩班學生手機上網的時長，分別從這兩個班中隨機抽取5名同學進行調查，將他們平均每周手機上網的時長作為樣本繪制成莖葉圖如圖所示(圖中的莖表示十位數字，葉表示個位數字)．(1)你能否估計哪個班級平均每周上網時間較長？(2)從A班的樣本數據中隨機抽取一個不超過19的數據記為a，從B班的樣本數據中隨機抽取一個不超過21的數據記為b，求a>b的概率．[解](1)A班樣本數據的平均值為eq\f(1,5)(9＋11＋14＋20＋31)＝17，由此估計A班學生每周平均上網時間為17小時；B班樣本數據的平均值為eq\f(1,5)(11＋12＋21＋25＋26)＝19，由此估計B班學生每周平均上網時間為19小時．所以B班學生上網時間較長．(2)A班的樣本數據中不超過19的數據a有3個，分別為9,11,14，B班的樣本數據中不超過21的數據b也有3個，分別為11,12,21.從A班和B班的樣本數據中各隨機抽取一個共有9種不同的狀況，分別為(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)，其中a>b的狀況有(14,11)，(14,12)，2種，故a>b的概率P＝eq\f(2,9).[大題增分專訓]1．某校高三期中考試后，數學老師對本次全部數學成果按1∶20進行分層抽樣，隨機抽取了20名學生的成果為樣本，成果用莖葉圖記錄如圖所示，但部分數據不當心丟失，同時得到如下表所示的頻率分布表：分數段(分)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]總計頻數b頻率a0.25(1)求表中a，b的值及成果在[90,110)范圍內的樣本數，并估計這次考試全校高三學生數學成果的及格率(成果在[90,150]內為及格)；(2)若從莖葉圖中成果在[100,130)范圍內的樣本中一次性抽取兩個，求取出兩個樣本數字之差的肯定值小于或等于10的概率．[解](1)由莖葉圖知成果在[50,70)范圍內的有2人，在[110,130)范圍內的有3人，∴a＝0.1，b＝3.∵成果在[90,110)范圍內的頻率為1－0.1－0.25－0.25＝0.4，∴成果在[90,110)范圍內的樣本數為20×0.4＝8.估計這次考試全校高三學生數學成果的及格率為P＝1－0.1－0.25＝0.65.(2)全部可能的結果為(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)，共21個，取出的兩個樣本中數字之差小于或等于10的結果為(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)，共10個，∴P(A)＝eq\f(10,21).2．某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節大豆新品種發芽多少之間的關系進行分析探討，他們分別記錄了12月1日至12月5日的晝夜溫差與試驗室每天每100顆種子中的發芽數，得到如下資料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日溫差x(℃)101113128發芽數y(顆)2325302616該農科所確定的探討方案是：先從這5組數據中選取2組，用剩下的3組數據求回來方程，再對被選取的2組數據進行檢驗．(1)求選取的2組數據恰好是不相鄰的2天數據的概率；(2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數據，請依據12月2日至12月4日的數據，求y關于x的線性回來方程y＝bx＋a；(3)若由線性回來方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差不超過2顆，則認為得到的線性回來方程是牢靠的，試問(2)中所得的線性回來方程是否牢靠？(附：對于一組數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回來直線y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估計分別為b＝eq\f(\o(∑,\s\up13(n),\s\do14(i＝1))xi