PAGEPAGE12.1比較法一、教學目標1．理解比較法證明不等式的依據．2．駕馭利用比較法證明不等式的一般步驟．3．通過學習比較法證明不等式，培育對轉化思想的理解和應用．二、課時支配1課時三、教學重點駕馭利用比較法證明不等式的一般步驟．四、教學難點通過學習比較法證明不等式，培育對轉化思想的理解和應用．五、教學過程（一）導入新課已知a≥b＞0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b.【證明】2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因為a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0,從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.（二）講授新課教材整理1作差比較法1．理論依據：①a＞b?；②a＝b?a－b＝0；③a＜b?.2．定義：要證明a＞b，轉化為證明，這種方法稱為作差比較法．3．步驟：①；②變形；③；④下結論．教材整理2作商比較法1．理論依據：當b＞0時，①a＞b?；②a＜b?eq\f(a,b)＜1；③a＝b?eq\f(a,b)＝1.2．定義：證明a＞b(b＞0)，只要轉化為證明，這種方法稱為作商比較法．3．步驟：①作商；②變形；③推斷商與1大小；④下結論．（三）重難點精講題型一、作商比較法證明不等式例1已知a＞0，b＞0且a≠b，求證：aabb＞(ab)eq\s\up21(\f(a＋b,2)).【精彩點撥】eq\x(推斷aabb與ab\s\up21(\f(a＋b,2))的正負)→eq\x(作商變形)→eq\x(與1比較大小)→eq\x(下結論)【自主解答】∵a＞0，b＞0，∴aabb＞0，(ab)eq\s\up21(\f(a＋b,2))＞0，作商eq\f(aabb,ab\s\up21(\f(a＋b,2)))＝aaeq\s\up21(－\f(a＋b,2))·beq\s\up21(b－\f(a＋b,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up21(eq\f(a－b,2)).∵a≠b，∴當a＞b＞0時，eq\f(a,b)＞1且eq\f(a－b,2)＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up21(eq\f(a－b,2))＞1，而(ab)eq\s\up21(\f(a＋b,2))＞0，∴aabb＞(ab)eq\s\up21(\f(a＋b,2)).當b＞a＞0時，0＜eq\f(a,b)＜1且eq\f(a－b,2)＜0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up21(eq\f(a－b,2))＞1，而(ab)eq\s\up21(\f(a＋b,2))＞0，∴aabb＞(ab)eq\s\up21(\f(a＋b,2)).綜上可知a＞0，b＞0且a≠b時，有aabb＞(ab)eq\s\up21(\f(a＋b,2)).規律總結：1．當不等式的兩端為指數式時，可作商證明不等式．2．運用a＞b?eq\f(a,b)＞1證明不等式時，肯定留意b＞0是前提條件．若符號不能確定，應留意分類探討．[再練一題]1．已知m，n∈R＋，求證：eq\f(m＋n,2)≥eq\r(m＋n,mn·nm).【證明】因為m，n∈R＋，所以eq\f(m＋n,2)≥eq\r(mn)＝eq\r(m＋n,mn\s\up21(\f(m＋n,2)))，令ω＝eq\f(mn\s\up21(\f(m＋n,2)),mn·nm)＝meq\s\up21(\f(m－n,2))·neq\s\up21(\f(n－m,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)))eq\s\up21(\f(m－n,2))，則：①當m>n>0時，eq\f(m,n)>1，m－n>0，則ω>1.②當m＝n時，ω＝1.③當n>m>0時，0<eq\f(m,n)<1，m－n<0，則ω>1.故對隨意的m，n∈R＋都有ω≥1.即eq\r(m＋n,mn\s\up21(\f(m＋n,2)))≥eq\r(m＋n,mn·nm)，所以eq\f(m＋n,2)≥eq\r(m＋n,mn·nm).題型二、比較法的實際應用例2甲、乙二人同時同地沿同一路途走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．假如m≠n，問甲、乙二人誰先到達指定地點？【精彩點撥】設從動身地點至指定地點的路程是s，甲、乙二人走完這段路程所用的時間分別為t1,t2，要回答題目中的問題，只要比較t1，t2的大小就可以了．【自主解答】設從動身地點至指定地點的路程為s，甲、乙二人走完這段路程所用的時間分別為t1,t2，依題意有：eq\f(t1,2)m＋eq\f(t1,2)n＝s，eq\f(s,2m)＋eq\f(s,2n)＝t2.∴t1＝eq\f(2s,m＋n)，t2＝，∴t1－t2＝eq\f(2s,m＋n)－＝＝－.其中s，m，n都是正數，且m≠n，∴t1－t2＜0，即t1＜t2，從而知甲比乙先到達指定地點．規律總結：1．應用不等式解決實際問題時，關鍵是如何把等量關系、不等量關系轉化為不等式的問題來解決，也即建立數學模型是解應用題的關鍵．2．在實際應用不等式問題時，常用比較法來推斷數的大小關系．若是選擇題或填空題，則可用特別值加以推斷．[再練一題]2．通過水管放水，當流速相同時，假如水管截面(指橫截面)的周長相等，試問：截面為圓的水管流量大還是截面為正方形的水管流量大？【解】設截面的周長為l，依題意知，截面是圓的水管的截面面積為π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2π)))2，截面是正方形的水管的截面面積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,4)))eq\s\up21(2).∵π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2π)))eq\s\up21(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,4)))eq\s\up21(2)＝eq\f(l2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)－\f(1,4)))＝.由于l＞0,0＜π＜4，∴＞0，∴π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2π)))eq\s\up21(2)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,4)))eq\s\up21(2).因此，通過水管放水，當流速相同時，假如水管的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大．題型三、作差比較法例3已知a，b∈R，求證：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.【精彩點撥】此不等式作差后是含有兩個字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可依據二次三項式的判別式確定符號．【自主解答】法一∵a2＋b2－ab－a－b＋1＝eq\f(1,2)[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.法二a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1，對于a的二次三項式，Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0.∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.規律總結：1．作差比較法中，變形具有承上啟下的作用，變形的目的在于推斷差的符號，而不用考慮差值的多少．2．因式分解是常用的變形手段，為了便于推斷“差式”的符號，常將“差式”變形為一個常數，或幾個因式積的形式，當所得的“差式”是某字母的二次三項式時，可利用“Δ”判定符號．[再練一題]3．已知a＞b＞c，證明：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2.【證明】∵a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2＝(a2b－bc2)＋(b2c－ab2)＋(c2a－ca2)＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ac(c－a)＝(a－c)(ba＋bc－b2－ac)＝(a－c)(a－b)(b－c)．∵a＞b＞c，∴a－c＞0，a－b＞0，b－c＞0，∴(a－c)(a－b)(b－c)＞0，即a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2.（四）歸納小結比較法—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(作差法),—\x(作商法),—\x(實際應用)))（五）隨堂檢測1．設t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則下列t與s的大小關系中正確的是()A．t＞sB．t≥sC．t＜sD.t≤s【解析】s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.【答案】D2．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，則P，Q的大小關系是()A．P＞QB．P＜QC．P＝QD.大小不確定【解析】P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaeq\f(a3＋1,a2＋1).當0＜a＜1時，0＜a3＋1＜a2＋1，則0＜eq\f(a3＋1,a2＋1)＜1，∴logaeq\f(a3＋1,a2＋1)＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.當a＞1時，a3＋1＞a2＋1＞0，eq\f(a3＋1,a2＋1)＞1，∴logaeq\f(a3＋1,a2＋1)＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.綜上總有P＞Q，故選A.【