專題18.4矩形的性質(zhì)與判定【九大題型】

【人教版】

【題型1由矩形的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度】...........................................................1

【超型2由矩形的性質(zhì)求角的度數(shù)】.............................................................2

【題型3由矩形的性質(zhì)求面積】.................................................................3

【題型4矩形的性質(zhì)與坐標(biāo)軸的綜合運(yùn)用】.......................................................4

【題型5矩形判定的條件】......................................................................6

【題型6證明四邊形是矩形】...................................................................7

【題型7矩形中多結(jié)論問(wèn)題】..................................................................10

【題型8矩形的判定與性質(zhì)綜合】..............................................................12

【題型9直角三角形斜邊的中線】...............................................................14

?**一更三

【知識(shí)點(diǎn)1矩形的定義】

有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

【知識(shí)點(diǎn)2矩形的性質(zhì)】

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對(duì)角線：矩形的對(duì)

角線相等；⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的

直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).

【題型1由矩形的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度】

【例1】（2022春?新泰市期末）如圖，在矩形A8CO中，AD=472,對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。，DE

LAC,垂足為點(diǎn)E,CE=OE,則。E的長(zhǎng)為（）

【變式1-1]（2022春?開州區(qū)期末）如圖，在矩形/WCD中，對(duì)角線AC、8。相交丁點(diǎn)O,D尸垂直平分

0C,交AC于點(diǎn)E,交8C于點(diǎn)立連接AR若BD=2a,DF=2,則A尸的長(zhǎng)為（

A.V6B.2^2C.V7D.3

【變式1-2］（2022?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在矩形A8CO中，。是B。的中點(diǎn)，E為A。邊上一點(diǎn)，且有

AE=OB=2.連接OE,若NAEO=75°,則。E的長(zhǎng)為（）

A.\B.V5C.2D.2V3-2

【變式1-3］（2022?南崗區(qū)期末）如圖，矩形ABCO中，點(diǎn)E,尸分別在4。，C。上，且。/=2OF=2,

連接BE,EF,8F,且8/平分NEBC,NEFB=45°,連接CE■交8尸于點(diǎn)G,則線段EG的長(zhǎng)為

【題型2由矩形的性質(zhì)求角的度數(shù)】

【例2】（2022春?灤水區(qū)期中）如圖，在矩形A8c。中，AC.8。交于點(diǎn)。，。從LAC于點(diǎn)E,ZAOD=

110°,則NCQE大小是（）

A.55°B.40°C.35°D.20°

【變式2-1］（2022?武昌區(qū)期末）如圖，把一張矩形紙片沿對(duì)角線折疊，如果量得NEOf=22°,則NFQ4

的大小是（）

E

C.24°D.68°

【變式2-2］（2022春?江夏區(qū)期中）如圖，矩形4BCO中，AB=2,AO=1,點(diǎn)M在邊。C上，若AM平

)

C.75°D.30°

【變式2-3］（2022春?莫旗期末）如圖，若將四根木條釘成的矩形木框變形為平行四邊形A8CO的形狀,

并使其面積為矩形面積的一半，則平行四邊形ABC。的最大內(nèi)角的大小是.

【題型3由矩形的性質(zhì)求面積】

［例3］（2022春?浦東新區(qū)期末）我們把兩條對(duì)角線所成兩個(gè)角的大小之比是1：2的矩形叫做“和諧矩

形”，如果一個(gè)“和諧矩形”的對(duì)角線長(zhǎng)為10cw,則矩形的面積為。層.

【變式3-1］（2022?成都）如圖，過(guò)矩形ABCD的對(duì)角線8。上一點(diǎn)K分別作矩形兩邊的平行線MN與PQ,

那么圖中矩形AWKP的面積S與矩形QCNK的面積S2的大小關(guān)系是S—52;（填或或

“=”）

3。。

【變式32］（2022春?成都期末）如圖，點(diǎn)E是矩形八8CD邊人。上一動(dòng)點(diǎn)，連接8E,以8E邊作矩形

【變式4-1］（2022春?任城區(qū)期末）定義：如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱三

角形為“智慧三角形”.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，矩形O48C的邊04=3,0C=4,點(diǎn)M（2,

0）,在邊48存在點(diǎn)P,使得ACMP為“智慧三角形”，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

B.（3,1）或（3,3）

C.（3,或（3,1）D.（3,；）或（3,1）或（3,3）

【變式4-2］（2022?西平縣模擬）已知在矩形A8C。中，A8=4,BC=y,O為BC上一?點(diǎn),BO=g如圖

所示，以8c所在直線為x軸，0為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，M為線段OC上的一點(diǎn).

（I）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,0）,如圖1,以O(shè)M為一邊作等腰△OMP,使點(diǎn)P在矩形A8C。的一邊上,

則符合條件的等腰三角形有兒個(gè)？請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);

（2）若將（1）中的點(diǎn)M的坐標(biāo)改為（4,0）,其他條件不變，如圖2,那么符合條件的等腰三角形有

幾個(gè)？求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖1圖2

【變式4-3］（2022春?浦江縣期中）如圖，長(zhǎng)方形O/WC中，。為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，八點(diǎn)的坐標(biāo)為

（4,0）,。點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,6）,點(diǎn)4在第一象限內(nèi)，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度

沿著O-C-8-A-O的路線移動(dòng)（移動(dòng)一周）.

（1）寫出點(diǎn)8的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)尸移動(dòng)了4秒時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)aOB尸的面積是10時(shí)，直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

八

y

C----------

OAx

【知識(shí)點(diǎn)3矩形的判定方法】

①矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；

③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）.

【題型5矩形判定的條件】

【例5】（2022春?夏邑縣期中）如圖，四邊形A8CO為平行四邊形，延長(zhǎng)到E,使。石=A。，連接EB,

EC,DB,添加一個(gè)條件，不能使四邊形OACE成為矩形的是（）

A.AB=BEB.BE1DCC.ZADB=903D.CELDE

【變式5-1］（2022春?江油市期末）在四邊形ABC。中，AC.BD交于點(diǎn)、O,在下列條件中，不能判定四

邊形A/3CO為矩形的是（）

A.AO=CO,BO=DO,N%0=900

B.AB=CD,AD=BC,AC=BD

C./BAD=/BCD,/ABC+/8CO=180°,ACLBD

D.ZBAD=ZABC=9Qa,AC=BD

【變式5-2］（2022春?仙居縣期末）如圖，四邊形ABC。為平行四邊形，延長(zhǎng)A。到E,使DE=AD,連

接EB,EC,DB,添加一個(gè)條件，不能使四邊形D8CE成為甲.形的是（）

A.AB=BEB.CEA.DEC.ZADB=903D.BELDC

【變式5-3］（2022?西城區(qū)一模）如圖，在△ABC中，。，E分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F,G在邊上,

旦。G=M.只需添加一個(gè)條件即可證明四邊形GE是矩形，這個(gè)條件可以是.（寫出一個(gè)

即可）

【題型6證明四邊形是矩形】

【例6】（2022春?南譙區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABC。中，對(duì)角線4C,8。相交于點(diǎn)O,若E,f是

線段AC上兩動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)分別從4,。兩點(diǎn)出發(fā)以Icm/s的速度向點(diǎn)C,4運(yùn)動(dòng).

（I）求證：△人。石9△CBF；

（2）若BD=8cm,AC=14c/n,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間/為多少秒時(shí)，四邊形DEB尸是矩形?

【變式6-1］（2022春?海陵區(qū)期末）如圖，在△ABC中，。是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MM

交N4CB的平分線于點(diǎn)E,交△相（7的外角NACO的平分線于點(diǎn)F.給出下列信息：①M(fèi)N//BC；②OE

=OC；③OF=OC.

（I）請(qǐng)?jiān)谏鲜?條信息中選擇其中一條作為條件，證明：OE=OF；

（2）在（1）的條件下，連接AE、AF,當(dāng)點(diǎn)。在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AECT是矩形？

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式6-2](2022春?津南區(qū)期末)已知口ABC。，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)。(AC>4O),點(diǎn)￡〃分

別是OA,OC上的動(dòng)點(diǎn).

(I)如圖①，若AE=CF,求證：四邊形￡/近。是平行四邊形；

(II)如圖②，若OE=OB,OF=OD,求證：四邊形E8如是矩形.

圖①圖②

【變式6-3］（2022春?洪澤區(qū)期末）在矩形"C。中，AB=6,/?C=8,E、〃是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),

分別從A、C同時(shí)出發(fā)相向而行，速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，其中0W店10.

⑴若G、”分別是A。、8c的中點(diǎn)，則下列關(guān)于四邊形EGFH（￡、尸相遇時(shí)除外）的判斷：①一定

是平行四邊形；②一定是矩形；③一定是菱形，正確的是—；（直接填序號(hào)，不用說(shuō)理）

（2）在（1）的條件下，若四邊形EGF”為矩形，求，的值.

【題型7矩形中多結(jié)論問(wèn)題】

【例7】（2022?綏化一模）如圖，在一張矩形紙片ABCD中AB=4,BC=8,點(diǎn)E,產(chǎn)分別在A。，BC上,

將紙片ABCO沿直線E”折疊，點(diǎn)C落在A。上的點(diǎn)”處，點(diǎn)。落在點(diǎn)G處，連接CE,CH.有以下四

個(gè)結(jié)論：①四邊形CFHE是菱形；②。七平分NOCH；③線段B尸的取值范圍為3WB尸W4；④當(dāng)點(diǎn)”與

點(diǎn)人重合時(shí)，EF=5.以上結(jié)論中，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（)

【變式7-1]（2022春?南充期末）如圖，矩形A8C。中，M,N分別是邊A8,C。的中點(diǎn)，8P_LAN于P,

C尸的延長(zhǎng)線交A。于Q.下列結(jié)論：①PM=CN；②PM_LCQ；?PQ=AQ,?DQ<2PN.其中結(jié)論正

確的有（）

【變式7-2]（2022春?泉州期末）如圖，點(diǎn)P是矩形ABCO內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)附、PB、PC、PD,設(shè)△以B、

△PBC、△PC。、△PDA的面積分別為S、S2、S3、8，以下四個(gè)判斷：

①當(dāng)/以8=/尸。4時(shí)，B、P、。三點(diǎn)共線

②存在唯---點(diǎn)P,使用=PB=PC=PD

③不存在到矩形ABC。四條邊距離都相等的點(diǎn)P

④若S=S2，則S3=S4

其中正確的是—.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【變式7-3]（2022春?興文縣期中）如圖，矩形/WCD中，AC,8。相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)B作BFLAC交CD

于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)。作OE〃8戶交48于點(diǎn)石，交AC于點(diǎn)N,連接正MEM.則下列結(jié)論：

①ON=BM：②EM〃尸N；③。尸=N尸;④當(dāng)人。=人。時(shí)，四邊形OEBr是菱豚其中正確的結(jié)論是.

c

B

【題型8矩形的判定與性質(zhì)綜合】

【例8】(2022春?海淀區(qū)期末)如圖，在△A6C中，D是A8上一點(diǎn),AD=DC,DE平分乙4DC交AC■于

點(diǎn)、E,DF平分NBDC交BC于點(diǎn)F,/。/。=90°.

(I)求證：四邊形CE。〃是矩形；

(2)若/8=3()°,人。=2,連接BE,求3￡的長(zhǎng).

【變式81】(2022?息烽縣二模)如圖，菱形A8CD的對(duì)角線AC、8。交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)8作8E〃八C,且

BE=-AC,連接EC、ED.

（1）求證：四邊形8ECO是矩形：

（2）若4C=2,ZABC=6Q°,求。E的長(zhǎng).

【變式8-2]（2022?開福區(qū)校級(jí)二模）如圖，平行四邊形A4C7）的對(duì)角線AC、BO相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)A作

AF1CD,垂足為F,延長(zhǎng)。。到點(diǎn)使CE=OF,連接

（1）求證：四邊形A/3E尸是矩形；

(2)若A8=5,CF=2,AC1BD,連接OE,求OE的長(zhǎng).

【變式8-3]（2022?崇左）如圖，。是矩形ABCO的對(duì)角線的交點(diǎn)，E、F、G、”分別是。4、OB、OC、

。。上的點(diǎn)，^.AE=BF=CG=DH.

（1）求證：四邊形是矩形；

（2）若E、F、G、”分別是。4、OB、0C、0。的中點(diǎn)，且。G_LAC,OF=2cm,求矩形A8C。的面

積.

【知識(shí)點(diǎn)4直角三角形斜邊中線】

在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

【題型9直角三角形斜邊的中線】

【例9】（2022?青縣二模）如圖,直角AA6c■中，ZB=9