河北省唐山市路南區(qū)唐山一中2025屆高二下數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．有一個偶數(shù)組成的數(shù)陣排列如下：248142232…610162434……12182636………202838…………3040……………42…………………則第20行第4列的數(shù)為（）A．546 B．540 C．592 D．5982．已知函數(shù)，的圖象分別與直線交于兩點(diǎn)，則的最小值為

A． B． C． D．3．設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部等于（）A． B． C． D．4．用反證法證明命題“設(shè)為實(shí)數(shù)，則方程至少有一個實(shí)根”時，要做的假設(shè)是（）A．方程沒有實(shí)根B．方程至多有一個實(shí)根C．方程至多有兩個實(shí)根D．方程恰好有兩個實(shí)根5．已知隨機(jī)變量滿足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0<p1<p2<，則A．<，< B．<，>C．>，< D．>，>6．已知正三棱錐的外接球的半徑為，且滿足則正三棱錐的體積為()A． B． C． D．7．若變量滿足約束條件，則的取值范圍是()A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)，若，則正數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，且，則的取值范圍為（）A． B．C． D．10．盒子里共有個除了顏色外完全相同的球，其中有個紅球個白球，從盒子中任取個球，則恰好取到個紅球個白球的概率為（）．A． B． C． D．11．設(shè)是一個三次函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù).圖中所示的是的圖像的一部分.則的極大值與極小值分別是（）.A．與 B．與 C．與 D．與12．已知隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（0，）,若P(Z>2)=0.023,則P(-2≤Z≤2)=A．0.477 B．0.625 C．0.954 D．0.977二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)是定義在上、以1為周期的函數(shù)，若在上的值域?yàn)椋瑒t在區(qū)間上的值域?yàn)椋?4．已知兩個單位向量，的夾角為，，若，則_____．15．若函數(shù)是偶函數(shù),且在上是增函數(shù),若,則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．16．函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）隨著“互聯(lián)網(wǎng)＋交通”模式的迅猛發(fā)展，“共享助力單車”在很多城市相繼出現(xiàn)．某“共享助力單車”運(yùn)營公司為了解某地區(qū)用戶對該公司所提供的服務(wù)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了100名用戶，得到用戶的滿意度評分，現(xiàn)將評分分為5組，如下表：組別一二三四五滿意度評分[0，2）[2，4）[4，6）[6，8）[8，10]頻數(shù)510a3216頻率0.05b0.37c0.16(1)求表格中的a，b，c的值；(2)估計用戶的滿意度評分的平均數(shù)；(3)若從這100名用戶中隨機(jī)抽取25人，估計滿意度評分低于6分的人數(shù)為多少？18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)，），曲線（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為：，記曲線與的交點(diǎn)為.（Ⅰ）求點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（Ⅱ）當(dāng)曲線與有且只有一個公共點(diǎn)時，與相較于兩點(diǎn)，求的值.19．（12分）如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，，且與平面所成的角為，求二面角的平面角的余弦值．20．（12分）某啤酒廠要將一批鮮啤酒用汽車從所在城市甲運(yùn)至城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，運(yùn)費(fèi)由廠家承擔(dān)．若廠家恰能在約定日期（×月×日）將啤酒送到，則城市乙的銷售商一次性支付給廠家40萬元；若在約定日期前送到，每提前一天銷售商將多支付給廠家2萬；若在約定日期后送到，每遲到一天銷售商將少支付給廠家2萬元．為保證啤酒新鮮度，汽車只能在約定日期的前兩天出發(fā)，且只能選擇其中的一條公路運(yùn)送．已知下表內(nèi)的信息：汽車行駛路線在不堵車的情況下到達(dá)城市乙所需時間（天）在堵車的情況下到達(dá)城市乙所需時間（天）堵車的概率運(yùn)費(fèi)（萬元）公路1142公路2231（1）記汽車選擇公路1運(yùn)送啤酒時廠家獲得的毛收入為X（單位：萬元），求X的分布列和EX；（2）若，，選擇哪條公路運(yùn)送啤酒廠家獲得的毛收人更多？（注：毛收入=銷售商支付給廠家的費(fèi)用-運(yùn)費(fèi)）．21．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最值．22．（10分）在中，，，的對邊分別為，，，若，（1）求的大小；（2）若，，求，的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分析：觀察數(shù)字的分布情況，可知從右上角到左下角的一列數(shù)成公差為2的等差數(shù)列，想求第20行第4列的數(shù)，只需求得23行第一個數(shù)再減去即可，進(jìn)而歸納每一行第一個數(shù)的規(guī)律即可得出結(jié)論．詳解：順著圖中直線的方向，從上到下依次成公差為2的等差數(shù)列，要想求第20行第4列的數(shù)，只需求得23行第一個數(shù)再減去即可.觀察可知第1行的第1個數(shù)為：；第2行第1個數(shù)為：；第3行第1個數(shù)為：.……第23行第1個數(shù)為：.所以第20行第4列的數(shù)為.故選A.點(diǎn)睛：此題考查歸納推理，解題的關(guān)鍵是通過觀察得出數(shù)字的排列規(guī)律，是中檔題．2、B【解析】由題意，，其中，，且，所以.令，則，為增函數(shù).令，得.所以.時，時,所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以時,.故選B.點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是將要求的量用一個變量來表示，進(jìn)而利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性求最值，本題中有以下幾個難點(diǎn)：（1）多元問題一元化，本題中涉及的變量較多，設(shè)法將多個變量建立等量關(guān)系，進(jìn)而得一元函數(shù)式；（2）含絕對值的最值問題，先研究絕對值內(nèi)的式子的范圍，最后再加絕對值處理.3、D【解析】分析：對所給的復(fù)數(shù)分子、分母同乘以，利用進(jìn)行化簡，整理出實(shí)部和虛部即可．詳解：∵∴復(fù)數(shù)的虛部為故選D.點(diǎn)睛：本題考查兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位的冪運(yùn)算性質(zhì)，兩個復(fù)數(shù)相除時，一般需要分子和分母同時除以分母的共軛復(fù)數(shù)，再進(jìn)行化簡求值．4、A【解析】分析：反證法證明命題時，假設(shè)結(jié)論不成立．至少有一個的對立情況為沒有．故假設(shè)為方程沒有實(shí)根．詳解：結(jié)論“方程至少有一個實(shí)根”的假設(shè)是“方程沒有實(shí)根．”點(diǎn)睛：反證法證明命題時，應(yīng)假設(shè)結(jié)論不成立，即結(jié)論的否定成立．常見否定詞語的否定形式如下：結(jié)論詞沒有至少有一個至多一個不大于不等于不存在反設(shè)詞有一個也沒有至少兩個大于等于存在5、A【解析】∵，∴，∵，∴，故選A．【名師點(diǎn)睛】求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定的取值情況，然后利用排列，組合與概率知識求出取各個值時的概率．對于服從某些特殊分布的隨機(jī)變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出，其中超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù)．由已知本題隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，由兩點(diǎn)分布數(shù)學(xué)期望與方差的公式可得A正確．6、A【解析】

根據(jù)判斷出為等邊三角形的中心，由此求得正三棱錐的底面積和高，進(jìn)而求得正三棱錐的體積.【詳解】由于三棱錐是正三棱錐，頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心.由可知，為等邊三角形的中心，由于正三棱錐的外接球的半徑為，故由正弦定理得，且正三棱錐的高為球的半徑，故正三棱錐的體積為.所以本小題選A.本小題主要考查正三棱錐的幾何性質(zhì)，考查向量加法運(yùn)算，考查幾何體外接球有關(guān)問題的求解，屬于中檔題.7、B【解析】分析：根據(jù)約束條件畫出平面區(qū)域，再將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為，則為直線的截距，通過平推法確定的取值范圍.詳解：（1）畫直線，和，根據(jù)不等式組確定平面區(qū)域，如圖所示.（2）將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為直線，則為直線的截距.（3）畫直線，平推直線，確定點(diǎn)A、B分別取得截距的最小值和最大值.易得,聯(lián)立方程組,解得，B坐標(biāo)為（4）分別將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入，，的取值范圍是故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃問題，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵.目標(biāo)函數(shù)型線性規(guī)劃問題解題步驟：（1）確定可行區(qū)域（2）將轉(zhuǎn)化為，求z的值，可看做求直線，在y軸上截距的最值。（3）將平移，觀察截距最大（小）值對應(yīng)的位置，聯(lián)立方程組求點(diǎn)坐標(biāo)。（4）將該點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，計算Z。8、C【解析】分析：先求出最大值，再求出的最大值，從而化恒成立問題為最值問題.詳解：令，，令，解得，在、單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，又，當(dāng)時，令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.；當(dāng)時，無最大值，即不符合；故有，解得，故.故選：C.點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了恒成立問題與最值問題的應(yīng)用.9、C【解析】

根據(jù)構(gòu)造方程組可求得，得到解析式，根據(jù)求得結(jié)果.【詳解】由得：，解得：由得：，解得：本題正確選項：本題考查根據(jù)函數(shù)值的取值范圍求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠通過函數(shù)值的等量關(guān)系求得函數(shù)解析式，從而根據(jù)函數(shù)值的范圍構(gòu)造出不等關(guān)系.10、B【解析】由題意得所求概率為．選．11、C【解析】

易知，有三個零點(diǎn)因?yàn)闉槎魏瘮?shù)，所以，它有兩個零點(diǎn)由圖像易知，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故是極小值類似地可知，是極大值.故答案為：C12、C【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布,所以正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱,又,所以,所以0.954,故選C.【命題意圖】本題考查正態(tài)分布的基礎(chǔ)知識,掌握其基礎(chǔ)知識是解答好本題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】略14、2；【解析】

試題分析：由可得，即，故填2.考點(diǎn)：1.向量的運(yùn)算.2.向量的數(shù)量積.15、【解析】

根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)得出在上是減函數(shù)，由此可得不等式．【詳解】∵是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，，∴在上是減函數(shù)，．又，∴，解得且．故答案為．本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，由奇偶性和單調(diào)性結(jié)合起來解函數(shù)不等式，這種問題一類針對偶函數(shù)，一類針對奇函數(shù)，它們有固定的解題格式．如偶函數(shù)在上是增函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為，奇函數(shù)在上是增函數(shù)，首先把不等式轉(zhuǎn)化為再轉(zhuǎn)化為．16、【解析】

在和分別保證對數(shù)型函數(shù)和一次函數(shù)單調(diào)遞增；根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，確定分段處函數(shù)值的大小關(guān)系；綜合所有要求可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，若原函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，則；當(dāng)時，若原函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，則，解得：；為上的單調(diào)遞增函數(shù)，，解得：；綜上所述：的取值范圍為.故答案為：.本題考查根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍的問題，易錯點(diǎn)是忽略函數(shù)在分段函數(shù)分段處函數(shù)值的大小關(guān)系，造成范圍求解錯誤.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)，，；(2)5.88；(3)13.【解析】

（1）由頻數(shù)分布表，即可求解表格中的的值；（2）由頻數(shù)分布表，即可估計用戶的滿意度平分的平均數(shù)；（3）從這100名用戶中隨機(jī)抽取25人，由頻數(shù)分布表能估計滿意度平分低于6分的人數(shù)．【詳解】(1)由頻數(shù)分布表得，解得，，；(2)估計用戶的滿意度評分的平均數(shù)為：.(3)從這100名用戶中隨機(jī)抽取25人，估計滿足一度評分低于6分的人數(shù)為：人.本題主要考查了頻數(shù)分布表的應(yīng)用，以及平均數(shù)、頻數(shù)的求解，其中解答中熟記頻數(shù)分布表的性質(zhì)，合理準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，以及分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（Ⅰ）（Ⅱ）1【解析】

試題分析：（1）將轉(zhuǎn)化為普通方程，解方程組可得的坐標(biāo)；（2）為圓，當(dāng)有一個公共點(diǎn)時，可求得參數(shù)的值，聯(lián)立的普通方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得的值．解：（Ⅰ）由曲線可得普通方程.由曲線可得直角坐標(biāo)方程：.由得，（Ⅱ）曲線（為參數(shù)，）消去參數(shù)可得普通方程：，圓的圓心半徑為，曲線與有且只有一個公共點(diǎn)，，即，設(shè)聯(lián)立得4x1x2﹣4（x1+x2）+4＝2×（﹣1）2﹣4×（﹣1）﹣44＝1．.19、（1）見解析；（2）余弦值為.【解析】分析：（1）由四邊形為菱形，得對角線,由側(cè)面底面，,得到側(cè)面，從而，由此能證明平面；（2）由題意易知為等邊三角形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸,為軸，過平行的直線為，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面的法向量和平面的法向量，由此能求出二面角的平面角的余弦值．詳解：（Ⅰ）由已知側(cè)面底面，,底面,得到側(cè)面，又因?yàn)閭?cè)面,所以,又由已知，側(cè)面為菱形，所以對角線,即，，,所以平面.（Ⅱ）設(shè)線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接,，因?yàn)椋字獮榈冗吶切危芯€,由（Ⅰ）側(cè)面，所以,得到平面，即為與平面所成的角，,,,,得到;以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸,為軸，過平行的直線為，建立空間直角坐標(biāo)系，,,,,,,，由（Ⅰ）知平面的法向量為，設(shè)平面的法向量，,解得,,二面角為鈍二面角，故余弦值為.點(diǎn)睛：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，涉及到線線、線面、面面平行與垂直的性質(zhì)、向量法等知識點(diǎn)的合理運(yùn)用，是中檔題.20、（1）分布列見解析，；（2）選擇公路2運(yùn)送啤酒有可能讓啤酒廠獲得的毛收入更多．【解析】

（1）若汽車走公路1，不堵車時啤酒廠獲得的毛收人（萬元），堵車時啤酒廠獲得的毛收入（萬元），然后列出分布列和求出（2）當(dāng)時，由（1）知（萬元），然后求出，比較二者的大小即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）若汽車走公路1，不堵車時啤酒廠獲得的毛收人（萬元），堵車時啤酒廠獲得的毛收入（萬元），所以汽車走公路1時啤酒廠獲得的毛收入X的分布列為4034∴．（2）當(dāng)時，由（1