湖南省邵陽市邵東縣第三中學2025屆高二下數學期末質量跟蹤監視模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，那么下列結論中錯誤的是（）A．若是的極小值點，則在區間上單調遞減B．函數的圖像可以是中心對稱圖形C．，使D．若是的極值點，則2．函數f(x)與它的導函數f'(x)的大致圖象如圖所示，設g(x)=f(x)exA．15 B．25 C．33．已知．則（）A． B． C． D．4．一個盒子里有3個分別標有號碼為1，2，3的小球，每次取出一個，記下它的標號后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標號最大值是3的取法有（）A．12種 B．15種 C．17種 D．19種5．已知對稱軸為坐標軸的雙曲線的兩漸近線方程為，若雙曲線上有一點，使，則雙曲線的焦點（）A．在軸上 B．在軸上C．當時在軸上 D．當時在軸上6．下列命題為真命題的個數是（）①，是無理數；②命題“?∈R，”的否定是“?x∈R，＋1≤3x”；③命題“若,則”的逆否命題為真命題；④。A．1 B．2 C．3 D．47．化簡的結果是（）A． B． C． D．8．設隨機變量，其正態分布密度曲線如圖所示，那么向正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數的估計值是（）（注：若，則，）A．7539 B．7028 C．6587 D．60389．復數在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．某次考試共有12個選擇題，每個選擇題的分值為5分，每個選擇題四個選項且只有一個選項是正確的，學生對12個選擇題中每個題的四個選擇項都沒有把握，最后選擇題的得分為分，學生對12個選擇題中每個題的四個選項都能判斷其中有一個選項是錯誤的，對其它三個選項都沒有把握，選擇題的得分為分，則的值為()A． B． C． D．11．復數（是虛數單位）的虛部是（）A.B.C.－D.－12．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，若輸入的值為1，則輸出的值為（）A． B．2 C．0 D．無法判斷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．“直線與雙曲線有且只有一個公共點”是“直線與雙曲線相切”的__________條件．14．若，則____．15．用0到9這10個數字，組成沒有重復數字且能被5整除的三位數的個數為__________．16．將一顆骰子拋擲兩次，用表示向上點數之和，則的概率為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數列an的前n項和為Sn且對任意的正整數n都有:（1）求S1（2）猜想Sn的表達式并證明18．（12分）某學校1800名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與18秒之間，抽取其中50名學生組成一個樣本，將測試結果按如下方式分成五組：第一組，第二組……，第五組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.（1）請估計學校1800名學生中，成績屬于第四組的人數；（2）若成績小于15秒認為良好，求該樣本中在這次百米測試中成績良好的人數；（3）請根據頻率分布直方圖，求樣本數據的眾數、平均數.19．（12分）設函數，，(其中).（1）時,求函數的極值;（2）證：存在，使得在內恒成立，且方程在內有唯一解.20．（12分）已知函數，其中.（1）討論的單調性；（2）當時，恒成立，求的值；（3）確定的所有可能取值，使得對任意的，恒成立.21．（12分）甲將要參加某決賽，賽前，，，四位同學對冠軍得主進行競猜，每人選擇一名選手，已知，選擇甲的概率均為，，選擇甲的概率均為，且四人同時選擇甲的概率為，四人均末選擇甲的概率為．（1）求，的值；（2）設四位同學中選擇甲的人數為，求的分布列和數學期望．22．（10分）從甲地到乙地要經過個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，．（）設表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數，求隨機變量的分布列和均值．（）若有輛車獨立地從甲地到乙地，求這輛車共遇到個紅燈的概率．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分析：求導f′（x）=3x2+2ax+b，導函數為二次函數，若存在極小值點，根據二次函數的圖象便知一定存在極大值點，并且該極大值點在極小值點的左邊，從而知道存在實數x1＜x0，使f（x）在（﹣∞，x1）上單調遞增，從而判斷出A的結論錯誤，而根據f（x）的值域便知f（x）和x軸至少一個交點，從而B的結論正確，而a=b=c=0時，f（x）=x3為中心對稱圖形，從而判斷C正確，而根據極值點的定義便知D正確，從而得出結論錯誤的為A．詳解：A．f′（x）=3x2+2ax+b，導函數為二次函數；∴在極小值點的左邊有一個極大值點，即方程f′（x）=0的另一根，設為x1；則x1＜x0，且x＜x1時，f′（x）＞0；即函數f（x）在（﹣∞，x1）上單調遞增,∴選項A錯誤；B．該函數的值域為（﹣∞，+∞），∴f（x）的圖象和x軸至少一個交點；∴?x0∈R，使f（x0）=0；∴選項B正確；C．當a=b=c=0時，f（x）=x3，為奇函數，圖象關于原點對稱；∴f（x）是中心對稱圖形,∴選項C正確；D．函數在極值點處的導數為0,∴選項D正確．故選：A．點睛：本題利用導函數研究了函數的極值點，零點，對稱性，單調性等性質，考查了學生分析問題解決問題的能力，屬于中檔題.2、B【解析】

結合圖象可得到f'(x)-f(x)<0成立的x的取值范圍，從而可得到g(x)【詳解】由圖象可知，y軸左側上方圖象為f'(x)的圖象，下方圖象為對g(x)求導，可得g'(x)=f'(x)-f(x)ex，結合圖象可知x∈(0,1)和x∈(4,5)時，f'(x)-f(x)<0，即g(x)在0,1和本題考查了函數的單調性問題，考查了數形結合的數學思想，考查了導數的應用，屬于中檔題.3、C【解析】

由二項式定理及利用賦值法即令和，兩式相加可得，結合最高次系數的值即可得結果.【詳解】中，取，得，取，得，所以，即，又，則，故選C．本題主要考查了二項式定理及利用賦值法求二項式展開式的系數，屬于中檔題.4、D【解析】試題分析：分三類：第一類，有一次取到3號球，共有取法；第二類，有兩次取到3號球，共有取法；第三類，三次都取到3號球，共有1種取法；共有19種取法.考點：排列組合，分類分步記數原理.5、B【解析】

設出雙曲線的一般方程，利用題設不等式，令二者平方，整理求得的，進而可判斷出焦點的位置．【詳解】漸近線方程為，，平方，兩邊除，，，雙曲線的焦點在軸上.故選：B.本題考查已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的方程，考查對雙曲線標準方程的理解與運用，求解時要注意焦點落在軸或軸的特點，考查學生分析問題和解決問題的能力．6、B【解析】

由①中，比如當時，就不成立；②中，根據存在性命題與全稱命題的關系，即可判定；③中，根據四種命題的關系，即可判定；④中，根據導數的運算，即可判定，得到答案.【詳解】對于①中，比如當時，就不成立，所以不正確；對于②中，命題“”的否定是“”，所以正確；③中，命題“若，則”為真命題，其逆否命題為真命題，所以正確；對于④中，根據導數的計算，可得，所以錯誤；故選B.本題主要考查了命題真假的判定，其中解答中熟記全稱命題與存在性命題的關系，以及四種命題的關系，導數的運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.7、A【解析】

根據平面向量加法及數乘的幾何意義，即可求解，得到答案．【詳解】根據平面向量加法及數乘的幾何意義，可得，故選A．本題主要考查了平面向量的加法法則的應用，其中解答中熟記平面向量的加法法則是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．8、C【解析】

由題意正方形的面積為，再根據正態分布曲線的性質，求得陰影部分的面積，利用面積比的幾何概型求得落在陰影部分的概率，即可求解，得到答案．【詳解】由題意知，正方形的邊長為1，所以正方形的面積為又由隨機變量服從正態分布，所以正態分布密度曲線關于對稱，且，又由，即，所以陰影部分的面積為，由面積比的幾何概型可得概率為，所以落入陰影部分的點的個數的估計值是，故選C．本題主要考查了正態分布密度曲線的性質，以及面積比的幾何概型的應用，其中解答中熟記正態分布密度曲線的性質，準確求得落在陰影部分的概率是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．9、A【解析】

化簡求得復數為，然后根據復數的幾何意義，即可得到本題答案.【詳解】因為，所以在復平面內對應的點為，位于第一象限.故選：A本題主要考查復數的四則運算和復數的幾何意義，屬基礎題.10、A【解析】

依題意可知同學正確數量滿足二項分布，同學正確數量滿足二項分布，利用二項分布的方差計算公式分別求得兩者的方差，相減得出正確結論.【詳解】設學生答對題的個數為，則得分（分），，，所以，同理設學生答對題的個數為，可知,，所以，所以.故選A.本小題主要考查二項分布的識別，考查方差的計算，考查閱讀理解能力，考查數學在實際生活中的應用.已知隨機變量分布列的方差為，則分布列的方差為.11、C【解析】試題分析：，虛部為。考點：復數的運算。12、B【解析】

由條件結構，輸入的x值小于0，執行y＝﹣x，輸出y，等于0，執行y＝0，輸出y，大于0，執行y＝1x，輸出y，由x＝1＞0，執行y＝1x得解．【詳解】因為輸入的x值為1大于0，所以執行y＝1x＝1，輸出1．故選：B．本題考查了程序框圖中的條件結構，條件結構的特點是，算法的流程根據條件是否成立有不同的流向，算法不循環執行．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、必要非充分【解析】

結合直線和雙曲線的位置關系，先判斷充分條件，再判斷必要條件得解.【詳解】當直線與雙曲線有且只有一個公共點時，直線有可能與雙曲線相切，也有可能相交（直線與雙曲線的漸近線平行），所以“直線與雙曲線有且只有一個公共點”是“直線與雙曲線相切”的非充分條件；直線與雙曲線相切時，直線與雙曲線有且只有一個公共點，所以“直線與雙曲線有且只有一個公共點”是“直線與雙曲線相切”的必要條件.所以“直線與雙曲線有且只有一個公共點”是“直線與雙曲線相切”的必要非充分條件．故答案為：必要非充分本題主要考查充分條件和必要條件的判定，考查直線和雙曲線的位置關系，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.14、【解析】

通過，即可求出的值，通過，即可求出的值，最終可求出的值．【詳解】令，可得令，可得本題通過賦值法來研究二項展開式系數的和，是一道基礎題．15、136【解析】分析：由題意，末尾是0或1，分類討論，即可得出結論．詳解：由題意，末尾是0或1．

末尾是0時，沒有重復數字且被1整除的三位數有，

末尾是1時，沒有重復數字且被1整除的三位數有，

∴用0到9這10個數字，可以組成沒有重復數字且被1整除的三位數有，即答案為136.點睛：本題考查計數原理的應用，考查學生的計算能力，比較基礎．16、【解析】分析：利用列舉法求出事件“”包含的基本事件個數，由此能出事件“”的概率．詳解：將一顆質地均勻的正方體骰子（六個面的點數分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，用表示向上點數之和，則基本數值總數，事件“”包含的基本事件有：共6個，∴事件“”的概率．即答案為.點睛：本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）12,23【解析】

（1）分別代入n=1,2,3計算即可求解；（2）猜想:Sn=【詳解】當n=1,S當n=2,當n=3,（2）猜想:Sn證明：①當n=1時，顯然成立；②假設當n=k(k≥1且k∈N*)則當n=k+1時，由(Sk+1-1)2整理得Sk+1即n=k+1時,猜想也成立.綜合①②得Sn本題考查遞推數列求值，數學歸納法證明，考查推理計算能力，是基礎題18、人；（2）人；15.70.【解析】試題分析：（1）利用頻率分布直方圖能估計學校1800名學生中，成績屬于第四組的人數．（2）利用頻率分布直方圖能求出該樣本在這次百米測試中成績良好的人數．（3）根據頻率分布直方圖，能求出樣本數據的眾數、中位數．解析：學校1800名學生中，成績屬于第四組的人數人；（2）樣本在這次百米測試中成績良好的人數是：人；由圖可知眾數落在第三組，是，.19、(1)；;(2)見解析.【解析】

（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；（Ⅱ）求出f（x）的導數，通過討論m的范圍，求出f（x）的單調區間，求出滿足條件的m的范圍，從而證出結論即可．【詳解】解：（I）當時,,令,得,,當變化時,的變化如下表:極大值極小值由表可知,；；（II）設，，，若要有解，需有單減區間，則要有解，由，，記為函數的導數則，當時單增，令，由，得，需考察與區間的關系：①當時，，，在上，單增，故單增，，無解；②當，時，，，因為單增，在上，在上當時，（i）若，即時，，單增，，無解；（ii）若，即，，在上，，單減；，，在區間上有唯一解，記為；在上，單增，，當時，故在區間上有唯一解，記為，則在上，在上，在上，當時，取得最小值，此時若要恒成立且有唯一解，當且僅當，即，由有聯立兩式解得.綜上，當時，本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想、函數恒成立問題，是一道綜合題．20、（1）答案不唯一，具體見解析（2）（3）【解析】

（1）求出導函數，通過當時，當時，判斷函數的單調性即可．

（2）由（1）及知所以，令，利用導數求出極值點，轉化求解．

（3）記，則，說明，由（2），，所以利用放縮法，轉化求解即可．．【詳解】解：（1）當時，函數在上單調遞減當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增（2）由（1）及知所以令，則，所以，且等號當且僅當時成立若當時，恒成立，則（3）記則又，故在的右側遞增，，由（2），，所以當時，綜上的取值范圍是本題主要考查導數法研究函數的單調性，基本思路：當函數是增函數時，導數大于等于零恒成立，當函數是減函數時，導數小于等于零恒成立，然后轉化為求相應函數的最值問題．注意放縮法的應用．21、(1)(2)的分布列見解析；數學期望為2【解析】

（1）