北京市西城區北京市第四中學2025屆高二數學第二學期期末質量跟蹤監視試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，，且，若實數滿足不等式，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．2．函數的單調遞減區間是（）A． B． C．， D．，3．已知函數在定義域上有兩個極值點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．4．一個幾何體的三視圖如圖所示，若主視圖是上底為2，下底為4，高為1的等腰梯形，左視圖是底邊為2的等腰三角形，則該幾何體的體積為（）A． B． C．2 D．45．執行如圖所示的程序框圖，若，則輸出的為（）A． B． C． D．6．某教師要把語文、數學、外語、歷史四個科目排到如下的課表中，如果相同科目既不同行也不同列，星期一的課表已經確定如下表，則其余三天課表的不同排法種數有(

)A．96B．36C．24D．127．下列命題正確的是（）A．第一象限角是銳角 B．鈍角是第二象限角C．終邊相同的角一定相等 D．不相等的角，它們終邊必不相同8．已知、分別是雙曲線的左、右焦點，點是雙曲線右支上的點，且，若坐標原點到直線的距離等于實半軸長，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．9．設集合A=x1,x2,xA．60 B．100 C．120 D．13010．在直角坐標系中，一個質點從出發沿圖中路線依次經過，，，，按此規律一直運動下去，則（）A．1006 B．1007 C．1008 D．100911．一個袋中放有大小、形狀均相同的小球，其中紅球1個、黑球2個，現隨機等可能取出小球，當有放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數為；當無放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數為，則（）A．， B．，C．， D．，12．已知函數，若的兩個極值點的等差中項在區間上，則整數（）A．1或2 B．2 C．1 D．0或1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在長方體中，若，，則異面直線與所成角的大小為______.14．已知點為橢圓的左焦點，點為橢圓上任意一點，點的坐標為，則取最大值時，點的坐標為．15．設隨機變量，，若，則___________．16．從甲，乙，丙，丁4個人中隨機選取兩人，則甲、乙兩人中有且只一個被選中的概率為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，其中.（1）若，，求的值；（2）若，化簡：.18．（12分）在極坐標系中，已知直線l的極坐標方程為.以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，曲線C的參數方程為（m為參數）.（1）求直線l的直角坐標方程和曲線C的普通方程；（2）已知點，直線l和曲線C相交于，兩點，求.19．（12分）環境監測中心監測我市空氣質量，每天都要記錄空氣質量指數(指數采取10分制，保留一位小數)，現隨機抽取20天的指數(見下表)，將指數不低于視為當天空氣質量優良.天數12345678910空氣質量指數天數11121314151617181920空氣質量指數(1)求從這20天隨機抽取3天，至少有2天空氣質量為優良的概率；(2)以這20天的數據估計我市總體空氣質量(天數很多)，若從我市總體空氣質量指數中隨機抽取3天的指數，用表示抽到空氣質量為優良的天數，求的分布列及數學期望.20．（12分）設1，其中pR，n，（r＝0，1，2，…，n）與x無關．（1）若＝10，求p的值；（2）試用關于n的代數式表示：；（3）設，，試比較與的大小．21．（12分）某服裝超市舉辦了一次有獎促銷活動,消費每超過600元(含600元),均可抽獎一次,抽獎方案有兩種,顧客只能選擇其中的一種.方案一:從裝有10個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3個,黑球7個)的抽獎盒中,一次性摸出3個球,其中獎規則為:若摸到3個紅球,享受免單優惠；若摸到2個紅球,則打6折；若摸到1個紅球,則打7折；若沒摸到紅球,則不打折.方案二:從裝有10個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3個,黑球7個)的抽獎盒中,有放回每次摸取1球,連摸3次,每摸到1次紅球,立減200元.(1)若兩個顧客均分別消費了600元,且均選擇抽獎方案一,試求兩位顧客均享受6折優惠的概率；(2)若某顧客消費恰好滿1000元,試從概率的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算.22．（10分）已知的展開式的各項系數之和等于的展開式中的常數項.求：(1)展開式的二項式系數和；(2)展開式中項的二項式系數.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分析：根據，得到，直線的截距為，作出不等式表示的平面區域，通過平推法確定的取值范圍.詳解：向量，，且，，整理得，轉換為直線滿足不等式的平面區域如圖所示.畫直線，平推直線，確定點A、B分別取得截距的最小值和最大值.易得,分別將點A、B坐標代入，得，故選A.點睛：本題主要考查兩向量垂直關系的應用，以及簡單的線性規劃問題，著重考查了分析問題和解答問題的能力和數形結合思想的應用.目標函數型線性規劃問題解題步驟：（1）確定可行區域（2）將轉化為，求z的值，可看做求直線，在y軸上截距的最值．（3）將平移，觀察截距最大（小）值對應的位置，聯立方程組求點坐標．（4）將該點坐標代入目標函數，計算Z．2、A【解析】

函數的單調減區間就是函數的導數小于零的區間，可以求出函數的定義域，再算出函數的導數，最后解不等式，可得出函數的單調減區間．【詳解】解：因為函數，所以函數的定義域為，求出函數的導數：，；令，，解得，所以函數的單調減區間為故選：．本題考查了利用導數研究函數的單調性，屬于簡單題，在做題時應該避免忽略函數的定義域而導致的錯誤．3、D【解析】

根據等價轉化的思想，可得在定義域中有兩個不同的實數根，然后利用根的分布情況，進行計算，可得結果.【詳解】，令，方程有兩個不等正根，，則：故選：D本題考查根據函數極值點求參數，還考查二次函數根的分布問題，難點在于使用等價轉化的思想，化繁為簡，屬中檔題.4、A【解析】

由三視圖可知，該幾何體是一個三棱柱截掉兩個三棱錐，利用所給數據，求出三棱柱與三棱錐的體積，從而可得結果.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個三棱柱截掉兩個三棱錐，畫出幾何體的直觀圖，如圖，把幾何體補形為一個直三棱柱，由三視圖的性質可知三棱柱的底面面積，高，所以，,所以，幾何體的體積為.故選A.本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據正視圖和側視圖，確定組合體的形狀.5、B【解析】

執行程序框圖，依次寫出每次循環得到的的值，當時，不滿足條件，退出循環，輸出的值．【詳解】執行如圖所示的程序框圖，有滿足條件，有，；滿足條件，有,；滿足條件，有，；滿足條件，有，；不滿足條件，退出循環，輸出的值為本題正確選項：本題考查了程序框圖和算法的應用問題，是對框圖中的循環結構進行了考查，屬于基礎題.6、C【解析】

先安排第一節的課表種，再安排第二節的課表有2種，第三節的課表也有2種，最后一節只有1種安排方案，所以可求.【詳解】先安排第一節的課表，除去語文均可以安排共有種；周二的第二節不和第一節相同，也不和周一的第二節相同，共有2種安排方案，第三節和第四節的順序是確定的；周三的第二節也有2種安排方案，剩余位置的安排方案只有1種，根據計數原理可得種，故選C.本題主要考查分步計數原理的應用，側重考查邏輯推理的核心素養.7、B【解析】

由任意角和象限角的定義易知只有B選項是正確的.【詳解】由任意角和象限角的定義易知銳角是第一象限角，但第一象限角不都是銳角，故A不對，∵終邊相同的角相差2kπ，k∈Z，故C，D不對∴只有B選項是正確的．故選B8、B【解析】

利用題設條件和雙曲線性質在三角形中尋找等量關系，得出a與c之間的等量關系，進而求出雙曲線的離心率.【詳解】如圖，，，依題意，，

且，可知三角形是一個等腰直角三角形，

，，

在中，由余弦定理可得：

，

化簡得，

該雙曲線的離心率為．

故選：B．本題主要考查余弦定理，雙曲線的定義、簡單幾何性質，突出了對計算能力和綜合運用知識能力的考查，屬中檔題．9、D【解析】

根據題意，xi中取0的個數為2,3,4.根據這個情況分類計算再相加得到答案【詳解】集合A中滿足條件“1?xxi中取0的個數為則集合個數為：C5故答案選D本題考查了排列組合的應用，根據xi中取0的個數分類是解題的關鍵10、D【解析】

分析：由題意得，即，觀察前八項，得到數列的規律，求出即可.詳解：由直角坐標系可知，，即，由此可知，數列中偶數項是從1開始逐漸遞增的，且都等于所在的項數除以2，則，每四個數中有一個負數，且為每組的第三個數，每組的第一個數為其組數，每組的第一個數和第三個數是互為相反數，因為，則，，故選D.點睛：本題考查了歸納推理的問題，關鍵是找到規律，屬于難題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發現某些相同的性質.二、從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數的歸納和形的歸納兩類：(1)數的歸納包括數的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時還要聯系相關的知識，如等差數列、等比數列等；(2)形的歸納主要包括圖形數目的歸納和圖形變化規律的歸納.11、B【解析】

分別求出兩個隨機變量的分布列后求出它們的期望和方差可得它們的大小關系.【詳解】可能的取值為；可能的取值為，，，，故，.，，故，,故，.故選B.離散型隨機變量的分布列的計算，應先確定隨機變量所有可能的取值，再利用排列組合知識求出隨機變量每一種取值情況的概率，然后利用公式計算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回與無放回的區別.12、B【解析】

根據極值點個數、極值點與導函數之間的關系可確定的取值范圍，結合為整數可求得結果.【詳解】由題意得：.有兩個極值點，，解得：或.方程的兩根即為的兩個極值點，，綜上可得：，又是整數，.故選：.本題考查極值與導數之間的關系，關鍵是明確極值點是導函數的零點，從而利用根與系數關系構造方程.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

畫出長方體,再將異面直線與利用平行線轉移到一個三角形內求解角度即可.【詳解】畫出長方體可得異面直線與所成角為與之間的夾角,連接.則因為,則,又,故,又,故為等腰直角三角形,故,即異面直線與所成角的大小為故答案為本題主要考查立體幾何中異面直線的角度問題,一般的處理方法是將異面直線經過平行線的轉換構成三角形求角度,屬于基礎題型.14、【解析】試題分析：橢圓的左焦點為，右焦點為，根據橢圓的定義，，∴，由三角形的性質，知，當是延長線與橢圓的交點時，等號成立，故所求最大值為．考點：橢圓的定義，三角形的性質．15、【解析】

由求出，然后即可算出【詳解】因為，所以解得，所以所以故答案為：本題考查的是二項分布的相關知識，較簡單.16、2【解析】

利用列舉法：從甲，乙，丙，丁4個人中隨機選取兩人，共有6種結果，其中甲乙兩人中有且只一個被選取，共4種結果，由古典概型概率公式可得結果.【詳解】從甲，乙，丙，丁4個人中隨機選取兩人，共有（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），6種結果，其中甲乙兩人中有且只一個被選取，有（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），共4種結果，故甲、乙兩人中有且只一個被選中的概率為46=2本題主要考查古典概型概率公式的應用，屬于基礎題.在求解有關古典概型概率的問題時，首先求出樣本空間中基本事件的總數n，其次求出概率事件中含有多少個基本事件m，然后根據公式P=mn三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

（1）分別令，，利用二項展開式展開和，將兩式相減可得出的值；（2）將代入，求得，當時，，當時，，當時，利用組合數公式可得，化簡可得結果.【詳解】（1），時，令得，令得可得；（2）若，，當時，，當時，，當時，，·····綜上，.該題考查的是有關二項式定理的問題，涉及到的知識點有利用賦值法求對應系數的和，利用組合數公式化簡相應的式子，屬于中檔題目.18、（1），；（2）44【解析】分析：（1）首先將直線的極坐標方程展開后，利用極坐標和直角坐標的轉化公式，可求得直線的直角坐標方程.利用代入消元法消去可求得曲線的普通方程.（2）利用直線參數的幾何意義，借助根與系數關系，可求得的值.詳解：（1）由得，即，∴的直角坐標方程，由，得，代入得，即，所以的普通方程：；（2）在上，的參數方程為（為參數），將的參數方程代入得：，即，∴，∴.點睛：本小題主要考查極坐標和直角坐標相互轉化，考查參數方程和普通方程互劃，考查利用直線參數的幾何意義解題.屬于基礎題.19、（1）；（2）見解析.【解析】試題分析：（1）根據組合數公式計算所有可能的情況種數，得出答案；

（2）根據二項分布的概率計算公式得出分布列，再計算數學期望．試題解析：(1)解：由表中數據可知，空氣質量指數不低于的天數是12天，即空氣質量為優良的天數是12天.記“至少有2天空氣質量為優良”為事件，方法1：；方法2：.(2)20天中優良天數的概率為.于是估計我市總體空氣質量優良天數的概率為，因此服從參數為，的二項分布.即.所有可能取值為0，1，2，3.所以，，，.故的分布列為：0123所以的數學期望為：.20、(1).(2).(3).【解析】分析：（1）先根據二項式展開式通項公式得，解得p的值；（2）先由得,再得,等式兩邊對求導，得；最后令得結果，（3）先求，化簡不等式為比較與的大小關系，先計算歸納得大小關系，利用數學歸納法給予證明.詳解：（1）由題意知，所以.（2）當時，，兩邊同乘以得：，等式兩邊對求導，得：令得：，即（3），猜測：當時，，，，此時不等式成立；②假設時，不等式成立，即：，則時，所以當時，不等式也成立；根據①②可知，，均有.點睛：有關組合式的求值證明，常采用構造法逆用二項式定理.對二項展開式兩邊分別求導也是一個常用的方法，另外也可應用組