湖南省名校聯盟2024-2025學年高二數學第二學期期末聯考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某班共有52人，現根據學生的學號，用系統抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本．已知3號、29號、42號同學在樣本中，那么樣本中還有一個同學的學號是()A．10 B．11 C．12 D．162．由0,1,2,3組成無重復數字的四位數，其中0與2不相鄰的四位數有A．6個 B．8個 C．10個 D．12個3．某城市為了解游客人數的變化規律，提高旅游服務質量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數據，繪制了如圖所示的折線圖.根據該折線圖，下列結論錯誤的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩4．已知復數，則共軛復數()A． B． C． D．5．高二年級的三個班去甲、乙、丙、丁四個工廠參觀學習，去哪個工廠可以自由選擇，甲工廠必須有班級要去，則不同的參觀方案有（）A．16種 B．18種 C．37種 D．48種6．定義在（0，+∞）上的函數f（x）的導數滿足x2＜1，則下列不等式中一定成立的是（）A．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1 B．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1C．f（）﹣1＜f（）＜f（）+1 D．f（）﹣1＜f（）＜f（）+17．執行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為（）A． B．2 C．-3 D．8．一口袋里有大小形狀完全相同的10個小球，其中紅球與白球各2個，黑球與黃球各3個，從中隨機取3次，每次取3個小球，且每次取完后就放回，則這3次取球中，恰有2次所取的3個小球顏色各不相同的概率為（）A． B． C． D．9．某巨型摩天輪．其旋轉半徑50米，最高點距地面110米，運行一周大約21分鐘．某人在最低點的位置坐上摩天輪，則第35分鐘時他距地面大約為（）米．A．75 B．85 C．100 D．11010．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．8 C．6 D．11．執行如圖所示的程序框圖，若輸入的為2，則輸出的值是（）A．2 B．1 C． D．-112．已知位學生得某次數學測試成績得莖葉圖如圖，則下列說法正確的是()A．眾數為7 B．極差為19C．中位數為64.5 D．平均數為64二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．現有個大人，個小孩站一排進行合影.若每個小孩旁邊不能沒有大人，則不同的合影方法有__________種．（用數字作答）14．不等式的解為______．15．《孫子算經》是我國古代重要的數學著作，約成書于四、五世紀，傳本的《孫子算經》共三卷，其中下卷“物不知數”中有如下問題：“今有物，不知其數.三三數之，剩二；五五數之，剩三；七七數之，剩二.問：物幾何？”其意思為：“現有一堆物品，不知它的數目.3個3個數，剩2個；5個5個數，剩3個；7個7個數，剩2個.問這堆物品共有多少個？”試計算這堆物品至少有__________個．16．拋物線C:上一點到其焦點的距離為3，則拋物線C的方程為_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，其中為常數.（1）證明：函數的圖象經過一個定點，并求圖象在點處的切線方程；（2）若，求函數在上的值域.18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是正形，，為的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．19．（12分）選修4-4：坐標系與參數方程在直角坐標系中，已知點，直線（為參數），以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程是.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線的交點為，求的值.20．（12分）已知函數f(x)=xlnx，（I）判斷曲線y=f(x)在點1,f(1)處的切線與曲線y=g(x)的公共點個數；（II）若函數y=f(x)-g(x)有且僅有一個零點，求a的值；（III）若函數y=f(x)+g(x)有兩個極值點x1,x2，且21．（12分）在有陽光時，一根長為3米的旗軒垂直于水平地面，它的影長為米，同時將一個半徑為3米的球放在這塊水平地面上，如圖所示，求球的陰影部分的面積(結果用無理數表示)．22．（10分）過橢圓：右焦點的直線交于，兩點，且橢圓的長軸長為短軸長的倍.（1）求的方程；（2），為上的兩點，若四邊形的對角線分別為，，且，求四邊形面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由題計算出抽樣的間距為13，由此得解．【詳解】由題可得，系統抽樣的間距為13，則在樣本中．故選D本題主要考查了系統抽樣知識，屬于基礎題．2、B【解析】分析：首先求由0,1,2,3組成無重復數字的四位數：先排千位數，有種排法，再排另外3個數，有種排法，利用乘法原理能求出組成沒有重復數字的四位數的個數；然后求數字0，2相鄰的情況：，先把0，2捆綁成一個數字參與排列，再減去0在千位的情況，由此能求出其中數字0，2相鄰的四位數的個數．最后，求得0與2不相鄰的四位數詳解：由數字0，1，2，3組成沒有重復數字的四位數有：．

其中數字0，2相鄰的四位數有：則0與2不相鄰的四位數有。故選B點睛：本題考查排列數的求法，考查乘法原理、排列、捆綁法，間接法等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是基礎題．3、A【解析】

觀察折線圖可知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，且折線圖呈現增長趨勢，高峰都出現在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月波動性更小.【詳解】對于選項A，由圖易知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，故A錯；對于選項B，觀察折線圖的變化趨勢可知年接待游客量逐年增加，故B正確；對于選項C，D，由圖可知顯然正確.故選A.本題考查折線圖，考查考生的識圖能力，屬于基礎題.4、B【解析】分析：首先求得復數z，然后求解其共軛復數即可.詳解：由題意可得：，則其共軛復數.本題選擇B選項.點睛：本題主要考查復數的運算法則，共軛復數的概念等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.5、C【解析】

根據題意，用間接法：先計算3個班自由選擇去何工廠的總數，再排除甲工廠無人去的情況，由分步計數原理可得其方案數目，由事件之間的關系，計算可得答案．【詳解】根據題意，若不考慮限制條件，每個班級都有4種選擇，共有4×4×4=64種情況，其中工廠甲沒有班級去，即每個班都選擇了其他三個工廠，此時每個班級都有3種選擇，共有3×3×3=27種方案；則符合條件的有64-27=37種，故選：C．本題考查計數原理的運用，本題易錯的方法是：甲工廠先派一個班去，有3種選派方法，剩下的2個班均有4種選擇，這樣共有3×4×4=48種方案；顯然這種方法中有重復的計算；解題時特別要注意．6、D【解析】

構造函數g（x）＝f（x），利用導數可知函數在（0，+∞）上是減函數，則答案可求．【詳解】由x2f′（x）＜1，得f′（x），即得f′（x）0，令g（x）＝f（x），則g′（x）＝f′（x）0，∴g（x）＝f（x）在（0，+∞）上為單調減函數，∴f（）+2＜f（）+3＜f（）+4，則f（）＜f（）+1，即f（）﹣1＜f（）；f（）＜f（）+1．綜上，f（）﹣1＜f（）＜f（）+1．故選：D．本題考查利用導數研究函數的單調性，正確構造函數是解題的關鍵，是中檔題．7、A【解析】

模擬執行程序框圖，依次寫出每次循環得到、的值，可得答案【詳解】第1次執行循環體后：，；第2次執行循環體后：，；第3次執行循環體后：，；第4次執行循環體后：，；經過4次循環后，可以得到周期為4，因為，所以輸出的值為，故選A．本題考查程序框圖的問題，本題解題的關鍵是找出循環的周期，屬于基礎題．8、C【解析】每次所取的3個小球顏色各不相同的概率為：，∴這3次取球中，恰有2次所取的3個小球顏色各不相同的概率為：.本題選擇C選項.9、B【解析】分析：設出P與地面高度與時間t的關系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B，由題意求出三角函數中的參數A，B，及周期T，利用三角函數的周期公式求出ω，通過初始位置求出φ，求出f（35）的值即可．詳解：設P與地面高度與時間t的關系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由題意可知：A=50，B=110﹣50=60，T==21，∴ω=，即f（t）=50sin（t+φ）+60，又因為f（0）=110﹣100=10，即sinφ=﹣1，故φ=，∴f（t）=50sin（t+）+60，∴f（35）=50sin（×35+）+60=1．故選B．點睛：已知函數的圖象求解析式(1).(2)由函數的周期求(3)利用“五點法”中相對應的特殊點求，一般用最高點或最低點求．10、A【解析】分析：由三視圖可知，該幾何體是一個四棱錐，它的底面是一個長寬分別為的矩形，棱錐的高為，利用棱錐的體積公式可得結果.詳解：根據三視圖知：由三視圖可知，該幾何體是一個四棱錐，它的底面是個長寬分別為的矩形，棱錐的高為，，故選A.點睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于中檔題.三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據正視圖和側視圖，確定組合體的形狀.11、A【解析】

根據給定的程序框圖，執行循環體，逐次計算、判斷，即可得到輸出的結果，得到答案．【詳解】由題意，執行如圖所示的程序框圖，可得：第一次循環：，滿足判斷條件，；第二次循環：，滿足判斷條件，；第三次循環：，滿足判斷條件，；第四次循環：，滿足判斷條件，；第五次循環：，滿足判斷條件，；第六次循環：，不滿足判斷條件，輸出結果，故選A．本題主要考查了循環結構的程序框圖的計算與輸出問題，其中利用循環結構表示算法，一定要先確定是用當型循環結構，還是用直到型循環結構；當型循環結構的特點是先判斷再循環，直到型循環結構的特點是先執行一次循環體，再判斷；注意輸入框、處理框、判斷框的功能，不可混用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．12、C【解析】

根據莖葉圖中的數據求得這組數據的眾數、極差、中位數和平均數．【詳解】根據莖葉圖中的數據知，這組數據的眾數為67，A錯誤；極差是75﹣57＝18，B錯誤；中位數是64.5，C正確；平均數為60（﹣3﹣1+1+2+7+7+12+15）＝65，D錯誤．故選C．本題考查了利用莖葉圖求眾數、極差、中位數和平均數的應用問題，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：根據題意可得可以小孩為對象進行分類討論：第一類：2個小孩在一起，第二類小孩都不相鄰.分別計算求和即可得出結論。詳解：根據題意可得可以小孩為對象進行分類討論：第一類：2個小孩在一起:,第二類：小孩都不在一起：，故不同的合影方法有216+144=360種，故答案為360點睛：考查計數原理和排列組合的綜合，對于此類題首先要把題意分析清楚，分清楚所討論的類別，再根據討論情況逐一求解即可，注意計算的準確性.14、或或或【解析】

利用組合數公式得出關于的不等式，解出的取值范圍，即可得出正整數的取值.【詳解】，由組合數公式得，得，整理得，即，解得，由題意可知且，因此，不等式的解為或或或.故答案為：或或或.本題考查組合不等式的求解，解題的關鍵就是利用組合數公式列出不等式，考查運算求解能力，屬于中等題.15、23【解析】除以余且除以余的數是除以余的數.和的最小公倍數是.的倍數有除以余且除以余的數有，…其中除以余的數最小數為，這些東西有個，故答案為.【方法點睛】本題主要考查閱讀能力及建模能力，屬于難題.弘揚傳統文化與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過中國古代數學名著及現實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數學模型進行解答.16、【解析】

利用拋物線的定義，求出p，即可求C的方程；【詳解】拋物線C：y2＝2px（p＞0）的準線方程為x，由拋物線的定義可知13，解得p＝4，∴C的方程為y2＝8x；故答案為本題考查拋物線的定義與方程，熟記定義是關鍵，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，；（2）【解析】

（1）將函數解析式重新整理，解得定點，再求導數，根據導數幾何意義得切線斜率，最后根據點斜式得切線方程，（2）先解出，再利用導數求函數值域.【詳解】（1）因為，所以，所以函數的圖像經過一個定點，因為，所以切線的斜率，.所以在點處的切線方程為，即；（2）因為，，所以，故，則，由得或，當變化時，，的變化情況如下表：1200單調減單調增從而在上有最小值，且最小值為，因為，，所以，因為在上單調減，，所以，所以，所以最大值為，所以函數在上的值域為.本題考查導數幾何意義以及利用導數求函數值域，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.18、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）推導出DE⊥PC，BC⊥CD，BC⊥PD，從而BC⊥平面PCD，進而DE⊥BC，由此能證明DE⊥平面PCB.

（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E?DB?P的余弦值.【詳解】解：（1）證明：∵在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，

底面ABCD是正方形，PD＝AB，E為PC的中點，

∴DE⊥PC，BC⊥CD，BC⊥PD，

∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，

∵DE?平面PCD，∴DE⊥BC，

∵PC∩BC＝C，∴DE⊥平面PCB；

（2）解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，

設PD＝AB＝2，則E（0，1，1），B（2，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），

，

設平面BDE的法向量，

則，取，得，

設平面BDP的法向量，

則，取，得，

設二面角E?BD?P的平面角為θ.

則.

∴二面角E?BD?P的余弦值為.本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.19、（1）；（2）.【解析】分析：(1)直接代極坐標公式得到曲線的直角坐標方程.(2)把直線的參數方程代入，得,再利用直線參數方程t的幾何意義解答.詳解：（1）對于曲線，兩邊同乘以可得，即,所以它的直角坐標方程為.（2）把直線的參數方程代入，得,所以,因為點在直線上，所以,因為,所以,所以.點睛：（1）本題主要考查極坐標和直角坐標的互化，考查直線參數方程t的幾何意義，意在考查學生對這些知識的掌握水平和基本運算能力.(2)過定點、傾斜角為的直線的參數方程（為參數）.當動點在定點上方時,.當動點在定點下方時,.20、（I）詳見解析；（II）a=3；（III）a>【解析】

（I）利用導函數求出函數y=f(x)在點(1，f（1）)處的切線方程，和函數y=g(x)聯立后由判別式分析求解公共點個數；（II）寫出函數y=f(x)-g(x)表達式，由y=0得到a=x+2x+lnx，求函數h(x)=x+（III）寫出函數y=f(x)+g(x)的表達式，構造輔助函數t(x)=-x2+ax-2+xlnx，由原函數的極值點是其導函數的零點分析導函數對應方程根的情況，分離參數a后構造新的輔助函數，求函數的最小值，然后分析當a大于函數最小值的情況，進一步求出當x【詳解】解：（I）由f(x)=xlnx，得f'(x)=lnx+1，∴f'（1）=1，又f（1）=0，∴曲線y=f(x)在點(1，f（1）)處的切線方程為y=x-1，代入y=-x2+ax-2∴當a<-1或a>3時，△=(1-a)當a=-1或a=3時，△=(1-a)當-1<a<3時，△=(1-a)（II）y=f(x)-g(x)=x由y=0