天津市濱海新區大港八中2024-2025學年高二下數學期末學業質量監測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．以下四個命題，其中正確的個數有（）①由獨立性檢驗可知，有的把握認為物理成績與數學成績有關，某人數學成績優秀，則他有99%的可能物理優秀.②兩個隨機變量相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1；③在線性回歸方程中，當解釋變量每增加一個單位時，預報變量平均增加0.2個單位；④對分類變量與，它們的隨機變量的觀測值來說，越小，“與有關系”的把握程度越大.A．1 B．2 C．3 D．42．拋物線的焦點為，點是上一點，，則（）A． B． C． D．3．設地球的半徑為R，地球上A，B兩地都在北緯45°的緯度線上去，且其經度差為90°，則A，A．πR B．πR2 C．πR34．已知函數，則函數的單調遞增區間是（）A．和 B．和C．和 D．5．有本相同的數學書和本相同的語文書，要將它們排在同一層書架上,并且語文書不能放在一起，則不同的放法數為（）A． B． C． D．6．設，是兩個不重合的平面，，是空間兩條不重合的直線，下列命題不正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則7．若函數的圖象的頂點在第一象限，則函數的圖像是（）A． B．C． D．8．口袋中裝有標號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個球，從袋中一次摸出2個球，記下號碼并放回，若這2個號碼之和是4的倍數或這2個球號碼之和是3的倍數，則獲獎.某人從袋中一次摸出2個球，其獲獎的概率為（）A． B． C． D．9．已知函數，則()A．32 B． C．16 D．10．已知雙曲線E：上的四點A，B，C，D滿足，若直線AD的斜率與直線AB的斜率之積為2，則雙曲線C的離心率為A． B． C． D．11．從5名學生中選出4名分別參加數學，物理，化學，生物四科競賽，其中甲不能參加生物競賽，則不同的參賽方案種數為A．48 B．72 C．90 D．9612．球面上有三個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的，經過這3個點的小圓周長為，那么這個球的半徑為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的弦的中點的橫坐標為2，則的最大值為__________．14．函數的圖象在點處的切線方程是_____________.15．如果關于的不等式的解集不是空集，則的取值范圍是______.16．已知平面α，直線m，n滿足mα，nα，則“m∥n”是“m∥α”的__________條件三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓.（1）求橢圓C的離心率e；（2）若，斜率為的直線與橢圓交于、兩點，且，求的面積.18．（12分）設函數，其中.（1）當時，求函數的極值；（2）若，成立，求的取值范圍.19．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數（1）若的解集為，求實數的值；（2）若，若存在，使得不等式成立，求實數的取值范圍.20．（12分）設函數.（1）當時，求的單調區間；（2）當時，恒成立，求的取值范圍；（3）求證：當時，.21．（12分）在中，角的對邊分別是，且滿足.（1）求角的大小；（2）若，邊上的中線的長為，求的面積.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，又底面，，為的中點.（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】對于命題①認為數學成績與物理成績有關，不出錯的概率是99%，不是數學成績優秀，物理成績就有99%的可能優秀，不正確；對于④，隨機變量K2的觀測值k越小，說明兩個相關變量有關系的把握程度越小，不正確；容易驗證②③正確，應選答案B。2、B【解析】

根據拋物線定義得，即可解得結果.【詳解】因為，所以.故選B本題考查拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬基礎題.3、C【解析】分析：設在北緯45°緯圓的圓心為C，球心為O，連結OA,OB,OC,AC,BC，根據地球緯度的定義，算出小圓半徑AC=BC=2R2，由A,B兩地經度差為90°，在RtΔABC中算出AB=AC詳解：設在北緯45°緯圓的圓心為C，球心為O連結OA,OB,OC,AC,BC，則OC⊥平面ABC，在RtΔACO中，AC=OACcos45°∴A,B兩地經度差為90°，∴∠ACB=在RtΔABC中，AB=A由此可得ΔAOB是邊長為R的等邊三角形，得∠AOB=60∴A,B兩地球面的距離是60πR180=π點睛：本題考查地球上北緯45°圓上兩點球的距離，著重考查了球面距離及相關計算，經緯度等基礎知識，考查運算求解能力，考查空間想象能力，屬于中檔題4、C【解析】

先求出函數的定義域，再求導，根據導數大于0解得x的范圍，繼而得到函數的單調遞增區間．【詳解】函數f(x)＝x2－5x＋2lnx的定義域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋＝＝＞0，解得0＜x＜或x＞2，故函數f(x)的單調遞增區間是，(2，＋∞)．故選C本題考查了導數和函數的單調性的關系，易錯點是注意定義域，屬于基礎題．5、A【解析】由題意，故選A．點睛：本題是不相鄰問題，解決方法是“插空法”，先把數學書排好（由于是相同的數學書，因此只有一種放法），再在數學書的6個間隔（含兩頭）中選3個放語文書（語文書也相同，只要選出位置即可），這樣可得放法數為，如果是5本不同的數學書和3本不同的語文書，則放法為．6、D【解析】

選項逐一分析，得到正確答案.【詳解】A.正確，垂直于同一條直線的兩個平面平行；B.正確，垂直于同一個平面的兩條直線平行；C.正確，因為平面內存在直線，使，若，則，則；D.不正確，有可能.故選D.本題重點考查了平行和垂直的概念辨析問題，屬于簡單題型.7、A【解析】

求導，根據導函數的性質解題。【詳解】，斜率為正，排除BD選項。的圖象的頂點在第一象限其對稱軸大于0即b<0,選A本題考查根據已知信息選導函數的大致圖像。屬于簡單題。8、A【解析】分析：先求出基本事件的總數，再求出這2個號碼之和是4的倍數或這2個球號碼之和是3的倍數的基本事件，再根據古典概型的概率計算公式求解即可.詳解：從6個球中一次摸出2個球，共有種，2個號碼之和是4的倍數或這2個球號碼之和是3的倍數，共有：9種，獲獎的概率為.故選A.點睛：求古典概型的概率的關鍵是求試驗的基本事件的總數和事件A包含的基本事件的個數，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法，具體應用時可根據需要靈活選擇．9、B【解析】

根據自變量符合的范圍代入對應的解析式即可求得結果.【詳解】本題正確選項：本題考查分段函數函數值的求解問題，屬于基礎題.10、A【解析】很明顯，A，B，C，D四點組成平行四邊形ABDC，如圖所示，設，則：，點A在雙曲線上，則：，據此可得：，結合可得雙曲線的離心率為.本題選擇A選項.點睛：求雙曲線離心率或離心率范圍的兩種方法：一種是直接建立e的關系式求e或e的范圍；另一種是建立a，b，c的齊次關系式，將b用a，e表示，令兩邊同除以a或a2化為e的關系式，進而求解．11、D【解析】因甲不參加生物競賽，則安排甲參加另外3場比賽或甲學生不參加任何比賽①當甲參加另外3場比賽時，共有?=72種選擇方案；②當甲學生不參加任何比賽時，共有=24種選擇方案．綜上所述，所有參賽方案有72+24=96種故答案為：96點睛：本題以選擇學生參加比賽為載體，考查了分類計數原理、排列數與組合數公式等知識，屬于基礎題．12、B【解析】

解:二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】利用拋物線的定義可知，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝4，那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，由圖可知|AF|＋|BF|≥|AB|?|AB|≤1，當AB過焦點F時取最大值為1．14、【解析】

首先求出在1處的導數，再求出在1處的函數值，然后用點斜式求出方程即可.【詳解】，∴且，切線方程是，即．本題考查利用導數求函數在點處的切線方程，屬于基礎題.15、【解析】

利用絕對值三角不等式可求得，根據不等式解集不為空集可得根式不等式，根據根式不等式的求法可求得結果.【詳解】由絕對值三角不等式得：，即.原不等式解集不是空集，，即當時，不等式顯然成立；當時，，解得：；綜上所述：的取值范圍為.故答案為：.本題考查根據不等式的解集求解參數范圍的問題，涉及到絕對值三角不等式的應用、根式不等式的求解等知識；關鍵是能夠根據利用絕對值三角不等式求得函數的最值，將問題轉化為變量與函數最值之間的大小關系問題.16、充分不必要【解析】分析：由線線平行的性質定理和線面平行的性質定理即可判斷。詳解：線線平行的性質定理：平面α，直線m，n滿足mα，nα，若則線面平行的性質定理：如果一條直線平行于一個平面，過這條直線作一個平面與這個平面交線，那么直線和交線平行。故為充分不必要條件分析：線線平行的性質定理和線面平行的性質定理要熟練掌握。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）將橢圓的方程化為標準方程，得出、與的等量關系，可得出橢圓的離心率的值；（2）設直線的方程為，設點、，將的值代入得出橢圓的方程，將直線的方程與橢圓聯立，消去，列出韋達定理，利用弦長公式結合條件可求出，利用點到直線的距離公式計算出原點到直線的距離，然后利用三角形的面積公式可得出的面積.【詳解】（1）橢圓，橢圓長半軸長為，短半軸長為，；（2）設斜率為的直線的方程為，且、，，橢圓的方程為，由，.消去得，又有.，解得：滿足，直線的方程為.故到直線的距離，.本題考查橢圓離心率的計算，考查橢圓中的弦長與三角形面積的計算，一般將直線的方程與橢圓的方程聯立，利用韋達定理與弦長公式進行計算求解，難點在于計算量大，屬于中等題.18、（1），（2）【解析】

（1）求導，分析導函數零點和正負，即得解.（2）由于，轉化為：，成立，參變分離，分，，三種情況討論，即得解.【詳解】解：（1）當時，，或在和上單調增，在上單調減（2）設函數，，要使，都有成立，只需函數函數在上單調遞增即可，于是只需，成立，當時，令，，則；當時；當，，令，關于單調遞增，則，則，于是.又當時，，，所以函數在單調遞減，而，則當時，，不符合題意；當時，設，當時，在單調遞增，因此當時，，于是，當時，此時，不符合題意.綜上所述，的取值范圍是.本題考查了函數與導數綜合，考查了學生綜合分析，分類討論，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于較難題.19、(1).(2).【解析】分析：（1）利用絕對值不等式的解集，列出方程求解即可；（2）利用，若存在，使得不等式成立，化簡函數的解析式，通過函數的最小值以及函數的單調性，列出不等式，求解即可.詳解：（1）顯然，當時，解集為，，無解；當時，解集為，，，綜上所述.(2)當時，令由此可知在上單調遞減，在上單調遞增，當時，取到最小值-2，由題意知，，.點睛：本題考查函數的最值的應用，絕對值不等式的解法，考查轉化思想以及計算能力.20、（1）的單調遞減區間為；的單調遞增區間為；（2）；（3）見解析．【解析】【試題分析】（1）直接對函數求導得，借助導函數值的符號與函數單調性之間的關系求出其單調區間；（2）先將不等式中參數分離分離出來可得：，再構造函數，，求導得，借助，推得，從而在上單調遞減，，進而求得；（3）先將不等式等價轉化為，再構造函數，求導可得，由（2）知時，恒成立，所以，即恒成立，故在上單調遞增，所以，因此時，有：解：（1））當時，則，令得，所以有即時，的單調遞減區間為；的單調遞增區間為.（2）由，分離參數可得：，設，，∴，又∵，∴，則在上單調遞減，∴，∴即的取值范圍為.（3）證明：等價于設，∴，由（2）知時，恒成立，所以，∴恒成立∴在上單調遞增，∴，因此時，有.點睛：解答本題的第一問時，先對函數求導得，借助導函數值的符號與函數單調性之間的關系求出其單調區間；求解第二問時，先將不等式中參數分離出來可得，再構造函數，，求導得，借助，推得，從而在上單調遞減，，進而求得；第三問的證明過程中，先將不等式等價轉化為，再構造函數，求導可得，由（2）知時，恒成立，所以，即恒成立，故在上單調遞增，所以，因此證得當時，不等式成立。21、（1）（2）【解析】

（1）先后利用正弦定理余弦定理化簡得到，即得B的大小；（2）設，則，所以，利用余弦定理求出m的值，再求的面積.【詳解】解：（1）因為，由正弦定理，得，即.由余弦定理，得.因為，所以.（2）因為，所以.設，則，所以.在中，由余弦定理得，得，即，整理得，解得.所以.本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.22、(1)證明見解析.(2).【解析】分析：（1）根據菱形的性質以及線面垂直的性質可推導出，，從而得到，由此證明平面，從而得到；（2）分別以、、為，，軸，建立空間直角坐標系，利用向量垂直數量積為零列方程求出求出平面與平面的向量法