天一大聯(lián)盟2025年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如果直線與直線平行，則的值為（）A． B． C． D．2．從5名男公務(wù)員和4名女公務(wù)員中選出3人，分別派到西部的三個不同地區(qū)，要求3人中既有男公務(wù)員又有女公務(wù)員，則不同的選派議程種數(shù)是（）A．70 B．140 C．420 D．8403．函數(shù)的圖象大致為()A． B．C． D．4．一個算法的程序框圖如圖所示，如果輸出的值是1，那么輸入的值是（）A．-1 B．2 C．-1或2 D．1或-25．的展開式中常數(shù)項為()A．-240 B．-160 C．240 D．1606．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．設(shè)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若是偶函數(shù)，則曲線在原點處的切線方程為（）A． B． C． D．8．一元二次不等式的解集為（）A． B．C． D．9．若的二項展開式各項系數(shù)和為，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的運算結(jié)果為（）A． B． C． D．10．若函數(shù)為奇函數(shù)，則A． B． C． D．11．已知某一隨機變量ξ的概率分布列如圖所示，且E(ξ)＝6.3，則a的值為()ξ4a9P0.50.1bA．5 B．6 C．7 D．812．復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A．1 B．－1 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)有兩個極值點，，且，若存在滿足等式，，且函數(shù)至多有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________．14．已知點在橢圓上，垂直于橢圓焦點所在的直線，垂足為，并且為線段的中點，則點的軌跡方程是_____.15．已知實數(shù)，滿足條件，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的最小值是_______．16．投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學(xué)通過測試的概率為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)為函數(shù)的兩個零點，求證：.18．（12分）某工廠每年定期對職工進行培訓(xùn)以提高工人的生產(chǎn)能力（生產(chǎn)能力是指一天加工的零件數(shù)）．現(xiàn)有、兩類培訓(xùn)，為了比較哪類培訓(xùn)更有利于提高工人的生產(chǎn)能力，工廠決定從同一車間隨機抽取100名工人平均分成兩個小組分別參加這兩類培訓(xùn)．培訓(xùn)后測試各組工人的生產(chǎn)能力得到如下頻率分布直方圖．（1）記表示事件“參加類培訓(xùn)工人的生產(chǎn)能力不低于130件”，估計事件的概率；（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為工人的生產(chǎn)能力與培訓(xùn)類有關(guān)：生產(chǎn)能力件生產(chǎn)能力件總計類培訓(xùn)50類培訓(xùn)50總計100（3）根據(jù)頻率分布直方圖，判斷哪類培訓(xùn)更有利于提高工人的生產(chǎn)能力，請說明理由．參考數(shù)據(jù)0.150.100.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879參考公式：，其中.19．（12分）已知函數(shù)（a∈R）．（1）討論y＝f（x）的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f（x）有兩個不同零點x1，x2，求實數(shù)a的范圍并證明．20．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）若直線與曲線相交于不同的兩點，，若是的中點，求直線的斜率.21．（12分）在銳角三角形中，角的對邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）若，求的值.22．（10分）某小區(qū)所有263戶家庭人口數(shù)分組表示如下：家庭人口數(shù)12345678910家庭數(shù)20294850463619843（1）若將上述家庭人口數(shù)的263個數(shù)據(jù)分布記作，平均值記作，寫出人口數(shù)方差的計算公式（只要計算公式，不必計算結(jié)果）；（2）寫出他們家庭人口數(shù)的中位數(shù)（直接給出結(jié)果即可）；（3）計算家庭人口數(shù)的平均數(shù)與標準差.（寫出公式，再利用計算器計算，精確到0.01）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】試題分析：因為直線與直線平行，所以，故選B．考點：直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．2、C【解析】

試題分析：先分組：“個男個女”或“個女個男”，第一種方法數(shù)有，第二種方法數(shù)有.然后派到西部不同的地區(qū)，方法數(shù)有種.考點：排列組合.3、D【解析】

利用函數(shù)的奇偶性和特殊值,借助排除法即可得出結(jié)果.【詳解】是奇函數(shù),是偶函數(shù)，是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱,排除A選項;排除B,C選項;故選:D.本題考查已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,考查函數(shù)性質(zhì),借助特殊值代入的排除法是解答本題的關(guān)鍵,難度較易.4、C【解析】

根據(jù)條件結(jié)構(gòu)，分，兩類情況討論求解.【詳解】當(dāng)時，因為輸出的是1，所以，解得.當(dāng)時，因為輸出的是1，所以，解得.綜上：或.故選：C本題主要考查程序框圖中的條件結(jié)構(gòu)，還考查了分類討論的思想和運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

求得二項式的通項，令，代入即可求解展開式的常數(shù)項，即可求解.【詳解】由題意，二項式展開式的通項為，當(dāng)時，，即展開式的常數(shù)項為，故選C.本題主要考查了二項式的應(yīng)用，其中解答中熟記二項展開式的通項，準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

化簡復(fù)數(shù)，再判斷對應(yīng)象限.【詳解】，對應(yīng)點位于第四象限.故答案選D本題考查了復(fù)數(shù)的計算，屬于簡單題.7、C【解析】

先由求導(dǎo)公式求出，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求出，然后利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進而寫出切線方程．【詳解】，因為是偶函數(shù)，所以，即解得，所以，，則，所以切線方程為故選C本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)求曲線上一點的切線方程，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】

根據(jù)一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集，得到答案．【詳解】由題意，不等式，即或，解得，即不等式的解集為，故選C．本題主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟記一元二次不等式的解法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解析】

分析：利用賦值法求得，再按復(fù)數(shù)的乘方法則計算．詳解：令，得，，∴．故選C．點睛：在二項式的展開式中，求系數(shù)和問題，一般用賦值法，如各項系數(shù)為，二項式系數(shù)和為，兩者不能混淆．10、A【解析】分析：運用奇函數(shù)的定義，可得，再計算即可詳解：函數(shù)為奇函數(shù)，故選點睛：本題主要考查的是奇函數(shù)的定義，分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵11、C【解析】分析：先根據(jù)分布列概率和為1得到b的值，再根據(jù)E(X)=6.3得到a的值.詳解：根據(jù)分布列的性質(zhì)得0.5+0.1+b=1,所以b=0.4.因為E(X)=6.3，所以4×0.5+0.1×a+9×0.4=6.3，所以a=7.故答案為C.點睛：（1）本題主要考查分布列的性質(zhì)和隨機變量的期望的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)分布列的兩個性質(zhì)：①，；②.12、C【解析】

由已知條件計算出復(fù)數(shù)的表達式，得到虛部【詳解】由題意可得則則復(fù)數(shù)的虛部是故選C本題考查了復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的四則運算，按照除法法則求出復(fù)數(shù)的表達式即可得到結(jié)果，較為簡單二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：首先確定的范圍，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：由可得：，由于，故，由可知函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性相同：在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，很明顯是函數(shù)的一個零點，則滿足題意時應(yīng)有：，由韋達定理有：，其中，則：，整理可得：，由于，故，則.即實數(shù)的取值范圍為.點睛：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.14、【解析】設(shè)P（x，y），則M（x，）．∵點M在橢圓上，∴，即P點的軌跡方程為x2+y2=1．故填.15、【解析】

先作出不等式組對應(yīng)的區(qū)域，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義將的最小值轉(zhuǎn)化成定點與區(qū)域中的點的距離最小的問題利用圖形求解．【詳解】如圖，作出對應(yīng)的區(qū)域，由于為虛數(shù)單位），所以表示點與兩點之間的距離，由圖象可知的最小值為到直線的距離，即，故答案為．本題考查一定點與區(qū)域中的一動點距離最值的問題，考查復(fù)數(shù)的幾何意義，利用線性規(guī)劃的知識進行求解是解決本題的關(guān)鍵．16、【解析】該同學(xué)通過測試的概率為，故答案為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)見證明，【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟即可求出；（2）將零點問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)以及圖像的交點問題，通過構(gòu)造函數(shù)，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可。【詳解】解：（1）∵，∴.當(dāng)時，，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時，，由，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明：由（1）知，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，不妨設(shè)，由條件知即構(gòu)造函數(shù)，則，由，可得.而，∴.知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，可知，欲證，即證.考慮到在上遞增，只需證，由知，只需證.令，則.所以為增函數(shù).又，結(jié)合知，即成立，所以成立.本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及函數(shù)零點的常用解法，涉及到分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸等基本數(shù)學(xué)思想，意在考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和運算能力。18、(1)(2)見解析；(3)見解析【解析】

（1）由頻率分布直方圖用頻率估計概率，求得對應(yīng)的頻率值，用頻率估計概率即可；（2）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；（3）根據(jù)頻率分布直方圖，判斷、類生產(chǎn)能力在130以上的頻率值，比較得出結(jié)論．【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖，用頻率估計概率得，所求的頻率為，估計事件的概率為；（2）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表如下，類培訓(xùn)生產(chǎn)能力件的人數(shù)為，類培訓(xùn)生產(chǎn)能力件的人數(shù)為，類培訓(xùn)生產(chǎn)能力件的人數(shù)為，類培訓(xùn)生產(chǎn)能力件的人數(shù)為，生產(chǎn)能力件生產(chǎn)能力件總計類培訓(xùn)361450類培訓(xùn)123850總計4852100由列聯(lián)表計算，所以有的把握認為工人的生產(chǎn)能力與培訓(xùn)類有關(guān)；（3）根據(jù)頻率分布直方圖知，類生產(chǎn)能力在130以上的頻率為0.28，類培訓(xùn)生產(chǎn)能力在130以上的頻率為0.76，判斷類培訓(xùn)更有利于提高工人的生產(chǎn)能力．本題考查了頻率分布直方圖與獨立性檢驗的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．19、（1）見解析；（2），證明見解析【解析】

（1）先求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對分成兩種情況，分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）令，分離常數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間和最大值，結(jié)合圖像求得的取值范圍.構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)證得在成立，從而證得在上成立.根據(jù)的單調(diào)性證得.【詳解】函數(shù)的定義域為當(dāng)時，，函數(shù)在上為增函數(shù)；當(dāng)時，，，有，在有，即，綜上：當(dāng)時，函數(shù)在上為增函數(shù)；當(dāng)時，.（2）有兩個不同的零點，即有兩個不同的根，即即有兩個不同的交點；，，，當(dāng)時，故.由上設(shè)令（）當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，，從而有，即，而則，又因為所以，又，，故，即證.本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究零點問題，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，綜合性很強，屬于難題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）直接利用極化直的公式化簡得到曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，再根據(jù)求出直線的斜率.【詳解】解：（Ⅰ）由，，，得即所求曲線的直角坐標方程為：（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，得由是的中點知，即所以直線的斜率為.本題主要考查極直互化，考查直線參數(shù)方程t的幾何意義解題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.21、（1）；（2）1【解析】

(1)利用二倍角公式化簡即得A的值.(2)先利用正弦定理化簡