湖南省永州市寧遠縣一中2024-2025學年高二數學第二學期期末質量跟蹤監視模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．雙曲線x2A．23 B．2 C．3 D．2．已知點，則向量在方向上的投影為（）A． B． C． D．3．已知命題,那么命題為A． B．C． D．4．甲、乙同時參加某次法語考試，甲、乙考試達到優秀的概率分別為0.6，0.7，兩人考試相互獨立，則甲、乙兩人都未達到優秀的概率為（）A．0.42 B．0.12 C．0.18 D．0.285．展開式中不含項的系數的和為A． B． C． D．26．函數的部分圖像大致為（）A． B．C． D．7．已知函數，則（）A． B． C． D．8．若焦點在軸上的雙曲線的焦距為，則等于（）A． B． C． D．9．若實數a,b滿足a+b<0，則()A．a,b都小于0B．a,b都大于0C．a,b中至少有一個大于0D．a,b中至少有一個小于010．設奇函數的最小正周期為，則（）A．在上單調遞減 B．在上單調遞減C．在上單調遞增 D．在上單調遞增11．如圖，一環形花壇分成四塊，現有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數為（）A．96 B．84 C．60 D．4812．某同學將收集到的六組數據制作成散點圖如圖所示，并得到其回歸直線的方程為l1:y=0.68x+a，計算其相關系數為r1，相關指數為R12.經過分析確定點F為“離群點”，把它去掉后，再利用剩下的5組數據計算得到回歸直線的方程為l2A．r1>0,C．a=0.12 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．．14．設集合，選擇的兩個非空子集和，要使中最小的數大于中最大的數，則不同的選擇方法共有________種.15．若一個直六棱柱的三視圖如圖所示，則這個直六棱柱的體積為．16．在直角坐標系中，若直線（為參數）過橢圓（為參數）的左頂點，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）(本小題滿分12分)某校為了解高一期末數學考試的情況，從高一的所有學生數學試卷中隨機抽取份試卷進行成績分析，得到數學成績頻率分布直方圖（如圖所示），其中成績在，的學生人數為1．頻率/組距頻率/組距0.0120.0160.018分8060507090100x0.024（Ⅰ）求直方圖中的值；（Ⅱ）試估計所抽取的數學成績的平均數；（Ⅲ）試根據樣本估計“該校高一學生期末數學考試成績”的概率．18．（12分）選修4-4：坐標系與參數方程在直角坐標系中，已知點，直線（為參數），以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程是.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線的交點為，求的值.19．（12分）已知函數．（1）討論函數在定義域內的極值點的個數；（2）若函數在處取得極值，且對任意,恒成立，求實數的取值范圍；（3）當時，求證：．20．（12分）已知函數在其定義域內有兩個不同的極值點.（1）求的取值范圍；（2）試比較與的大小，并說明理由；（3）設的兩個極值點為，證明.21．（12分）2019年6月湖北潛江將舉辦第六屆“中國湖北（潛江）龍蝦節”，為了解不同年齡的人對“中國湖北（潛江）龍蝦節”的關注程度，某機構隨機抽取了年齡在20—70歲之間的100人進行調查，經統計“年輕人”與“中老年人”的人數之比為。關注不關注合計年輕人30中老年人合計5050100（1）根據已知條件完成上面的列聯表，并判斷能否有99﹪的把握認為關注“中國湖北（潛江）龍蝦節”是否和年齡有關？（2）現已經用分層抽樣的辦法從中老年人中選取了6人進行問卷調查，若再從這6人中選取3人進行面對面詢問，記選取的3人中關注“中國湖北（潛江）龍蝦節”的人數為隨機變量，求的分布列及數學期望。附：參考公式其中。臨界值表：0.050.0100.0013.8416.63510.82822．（10分）阿基米德是古希臘偉大的哲學家、數學家、物理學家，對幾何學、力學等學科作出過卓越貢獻.為調查中學生對這一偉大科學家的了解程度，某調查小組隨機抽取了某市的100名高中生，請他們列舉阿基米德的成就，把能列舉阿基米德成就不少于3項的稱為“比較了解”，少于三項的稱為“不太了解”.他們的調查結果如下：0項1項2項3項4項5項5項以上理科生（人）110171414104文科生（人）08106321（1）完成如下列聯表，并判斷是否有的把握認為，了解阿基米德與選擇文理科有關？比較了解不太了解合計理科生文科生合計（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.（i）求抽取的文科生和理科生的人數；（ii）從10人的樣本中隨機抽取3人，用表示這3人中文科生的人數，求的分布列和數學期望.參考數據：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】試題分析：雙曲線焦點到漸近線的距離為b，所以距離為b=23考點：雙曲線與漸近線．2、A【解析】

，，向量在方向上的投影為，故選A．3、C【解析】

全稱命題的否定是特稱命題,要前改量詞，后面否定結論,故選C.4、B【解析】

由兩人考試相互獨立和達到優秀的概率可得。【詳解】所求概率為.故選B.本題考查相互獨立事件概率計算公式，屬于基礎題。5、B【解析】試題分析：由二項式定理知，展開式中最后一項含，其系數為1，令=1得，此二項展開式的各項系數和為=1，故不含項的系數和為1-1=0，故選B.考點：二項展開式各項系數和；二項展開式的通項6、B【解析】

結合函數的性質，特值及選項進行排除.【詳解】當時，，可以排除A,C選項；由于是奇函數，所以關于點對稱，所以B對，D錯.故選：B.本題主要考查函數圖象的識別，由解析式選擇函數圖象時，要注意特值法的使用，側重考查直觀想象的核心素養.7、A【解析】

根據分段函數解析式，結合指數冪與對數的運算，即可化簡求解.【詳解】函數則，所以，故選：A.本題考查了分段函數的求值，指數冪與對數式的運算應用，屬于基礎題.8、B【解析】分析：根據題意，由焦點的位置可得，又由焦距為，即，再由雙曲線的幾何性質可得，即可求得.詳解：根據題意，焦點在軸上的雙曲線，則，即，又由焦距為，即，則有，解得.故選：B.點睛：本題考查雙曲線的幾何性質，注意雙曲線的焦點在y軸上，先求出a的范圍.9、D【解析】假設a,b都不小于0,即a≥0,b≥0,則a+b≥0,這與a+b<0相矛盾,因此假設錯誤,即a,b中至少有一個小于0.10、B【解析】分析：利用輔助角公式將函數進行化簡，根號函數的周期和奇偶性即可得到結論．詳解：，

∵函數的周期是，，

∵）是奇函數，

即∴當時，即則在單調遞減，

故選：B．點睛：本題主要考查三角函數的解析式的求解以及三角函數的圖象和性質，利用輔助角公式是解決本題的關鍵．11、B【解析】解：分三類：種兩種花有種種法；種三種花有2種種法；種四種花有種種法．共有2++=1．故選B12、B【解析】

根據相關性的正負判斷r1和r2的正負，根據兩個模型中回歸直線的擬合效果得出R12和R2【詳解】由圖可知兩變量呈現正相關，故r1>0,r2>0故A正確，B不正確.又回歸直線l1:y=0.68x+a必經過樣本中心點(3.5,2.5)，所以a=2.5-0.68×3.5=0.12回歸直線l2:y=bx+0.68必經過樣本中心點所以b=0.44，也可直接根據圖象判斷0<b<0.68（比較兩直線的傾斜程度），故D本題考查回歸分析，考查回歸直線的性質、相關系數、相關指數的特點，意在考查學生對這些知識點的理解，屬于中等題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：考點：定積分14、【解析】試題分析：若集合中分別有一個元素，則選法種數有種；若集合中有一個元素，集合中有兩個元素，則選法種數有種；若集合中有一個元素，集合中有三個元素，則選法種數有種；若集合中有一個元素，集合中有四個元素，則選法種數有種；若集合中有兩個元素，集合中有一個元素，則選法種數有種；若集合中有兩個元素，集合中有兩個元素，則選法種數有種；若集合中有兩個元素，集合中有三個元素，則選法種數有種；若集合中有三個元素，集合中有一個元素，則選法種數有種；若集合中有三個元素，集合中有兩個元素，則選法種數有種；若集合中有四個元素，集合中有一個元素，則選法種數有種；總計有種．故答案應填：．考點：組合及組合數公式．【方法點睛】解法二：集合中沒有相同的元素，且都不是空集，從個元素中選出個元素，有種選法，小的給集合，大的給集合；從個元素中選出個元素，有種選法，再分成兩組，較小元素的一組給集合，較大元素的一組給集合，共有種方法；從個元素中選出個元素，有種選法，再分成兩組，較小元素的一組給集合，較大元素的一組給集合，共有種方法；從個元素中選出個元素，有種選法，再分成兩組，較小元素的一組給集合，較大元素的一組給集合，共有種方法；總計為種方法．根據題意，中最小的數大于中最大的數，則集合中沒有相同的元素，且都不是空集，按中元素數目這和的情況，分種情況討論，分別計算其選法種數，進而相加可得答案．本題考查組合數公式的運用，注意組合與排列的不同，進而區別運用，考查分類討論的數學思想，屬于壓軸題．15、4【解析】試題分析：由題意，．考點：三視圖與體積．16、.【解析】分析：直接化參數方程為普通方程，得到直線和橢圓的普通方程，求出橢圓的左頂點，代入直線的方程，即可求得的值.詳解：由已知可得圓（為參數）化為普通方程，可得，故左頂點為，直線（為參數）化為普通方程，可得，又點在直線上，故，解得，故答案是.點睛：該題考查的是有關直線的參數方程與橢圓的參數方程的問題，在解題的過程中，需要將參數方程化為普通方程，所以就需要掌握參數方程向普通方程的轉化-----消參，之后要明確橢圓的左頂點的坐標，以及點在直線上的條件，從而求得參數的值.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）【解析】試題分析：（Ⅰ）根據頻率分布直方圖中小長方形的面積為概率，且所有概率和為1，列出等量關系：，解得；（Ⅱ）根據組中值估計平均數：（Ⅲ）根據頻率分布直方圖中小長方形的面積為概率，所以“該校高一學生期末數學考試成績”的概率為試題解析：（Ⅰ）由題意得：，解得；（Ⅱ）所抽取的數學成績的平均數為（Ⅲ）“該校高一學生期末數學考試成績”的概率為考點：頻率分布直方圖18、（1）；（2）.【解析】分析：(1)直接代極坐標公式得到曲線的直角坐標方程.(2)把直線的參數方程代入，得,再利用直線參數方程t的幾何意義解答.詳解：（1）對于曲線，兩邊同乘以可得，即,所以它的直角坐標方程為.（2）把直線的參數方程代入，得,所以,因為點在直線上，所以,因為,所以,所以.點睛：（1）本題主要考查極坐標和直角坐標的互化，考查直線參數方程t的幾何意義，意在考查學生對這些知識的掌握水平和基本運算能力.(2)過定點、傾斜角為的直線的參數方程（為參數）.當動點在定點上方時,.當動點在定點下方時,.19、(1)答案見解析；(2)；(3)證明見解析.【解析】試題分析：（1）由題意可得，分類討論有：當時，函數沒有極值點，當時，函數有一個極值點．（2）由題意可得，原問題等價于恒成立，討論函數的性質可得實數的取值范圍是；（3）原問題等價于，繼而證明函數在區間內單調遞增即可.試題解析：（1），當時，在上恒成立，函數在單調遞減，∴在上沒有極值點；當時，得，得，∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．∴當時在上沒有極值點，當時，在上有一個極值點．（2）∵函數在處取得極值，∴，∴，令，，可得在上遞減，在上遞增，∴，即．（3）證明：，令，則只要證明在上單調遞增，又∵，顯然函數在上單調遞增．∴，即，∴在上單調遞增，即，∴當時，有．點睛：導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系．(2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數．(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優化問題．(4)考查數形結合思想的應用．20、(1)；（2）；理由見解析；（3）證明見解析【解析】

（1）根據函數在定義域內有兩個不同極值點可知方程有兩個不等正根，將問題轉化為與在上有兩個不同交點；利用過一點曲線的切線的求解方法可求出過原點與相切的直線的斜率，從而可得，解不等式求得結果；（2）令，求導后可知在上單調遞減，從而可得，化簡可得；（3）易知是方程的兩根，令，可整理得到，從而將所證不等式化為，采用換元的方式可知只需證，恒成立；構造函數，，利用導數可知在上單調遞增，可得，進而證得結論.【詳解】（1）由題意得：定義域為；在上有兩個不同極值點等價于方程有兩個不等正根即：與在有兩個不同的交點設過的的切線與相切于點則切線斜率，解得：過的的切線的斜率為：，解得：即的取值范圍為：（2）令，則時，；時，在上單調遞增；在上單調遞減，即：即：（3）由（1）知，是方程的兩根即：，設，則原不等式等價于：即：設，則，只需證：，設，在上單調遞增即在上恒成立所證不等式成立本題考查導數在研究函數中的應用，涉及到根據極值點個數求解參數范圍、通過構造函數的方式比較大小、利用導數證明不等式的問題；利用導數證明不等式的關鍵是能夠將所證不等式