山東省華僑中學2025年數學高二第二學期期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數（其中為自然對數的底數），若函數至少存在一個零點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．2．若點為圓C：的弦MN的中點，則弦MN所在直線的方程為（）A． B． C． D．3．已知圓(x+1)2+y2=12的圓心為C，點P是直線l:mx-y-5m+4=0上的點，若圓C上存在點Q使∠CPQ=A．1-306C．0,1254．已知函數，則不等式的解集是（）A． B． C． D．5．某射手每次射擊擊中目標的概率為，這名射手進行了10次射擊，設為擊中目標的次數，，，則=A． B． C． D．6．甲、乙兩支球隊進行比賽，預定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束.結束除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設各局比賽結果相互獨立.則甲隊以3：2獲得比賽勝利的概率為（）A． B． C． D．7．已知函數是定義在上的偶函數，且，若函數有6個零點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．8．某醫院擬派2名內科醫生、3名外科醫生和3名護士共8人組成兩個醫療分隊，平均分到甲、乙兩個村進行義務巡診，其中每個分隊都必須有內科醫生、外科醫生和護士，則不同的分配方案有A．72種 B．36種 C．24種 D．18種9．已知向量、、滿足，且，則、夾角為（）A． B． C． D．10．在中，內角，，所對的邊分別為，，.若，，則的面積為（）A．3 B． C． D．11．已知展開式中第三項的二項式系數與第四項的二項式系數相同，且,若,則展開式中常數項()A．32 B．24 C．4 D．812．若函數在區間上是單調函數，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層燈數為_____________14．已知，且，則的最小值是______________．15．已知函數，則關于x的不等式的解集是_______.16．除以5的余數是三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，其中.（1）求的單調遞增區間；（2）當的圖像剛好與軸相切時，設函數，其中，求證：存在極小值且該極小值小于.18．（12分）如圖，平面，，交于點.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）據悉,2017年教育機器人全球市場規模已達到8.19億美元,中國占據全球市場份額10.8%.通過簡單隨機抽樣得到40家中國機器人制造企業,下圖是40家企業機器人的產值頻率分布直方圖.（1）求的值；（2）在上述抽取的40個企業中任取3個，抽到產值小于500萬元的企業不超過兩個的概率是多少？（3）在上述抽取的40個企業中任取2個,設為產值不超過500萬元的企業個數減去超過500萬元的企業個數的差值,求的分布列及期望.20．（12分）已知命題：.（Ⅰ）若為真命題，求實數的取值范圍；（Ⅱ）設命題：；若“”為真命題且“”為假命題，求實數的取值范圍.21．（12分）為了探究車流量與的濃度是否相關，現采集到華中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一時間段車流量與的數據如表：時間星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日車流量（萬輛）1234567的濃度（微克/立方米）28303541495662（1）求關于的線性回歸方程；（提示數據：）（2）（I）利用（1）所求的回歸方程，預測該市車流量為12萬輛時的濃度；（II）規定：當一天內的濃度平均值在內，空氣質量等級為優；當一天內的濃度平均值在內，空氣質量等級為良，為使該市某日空氣質量為優或者為良，則應控制當天車流量不超過多少萬輛？（結果以萬輛為單位，保留整數）參考公式：回歸直線的方程是，其中，.22．（10分）已知.（1）當時，求：①展開式中的中間一項；②展開式中常數項的值；（2）若展開式中各項系數之和比各二項式系數之和大，求展開式中含項的系數.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】令,則，設，令，，則，發現函數在上都是單調遞增，在上都是單調遞減，故函數在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，得，所以函數至少存在一個零點需滿足，即．應選答案D。點睛：解答本題時充分運用等價轉化與化歸的數學思想，先將函數解析式中的參數分離出來，得到，然后構造函數，分別研究函數，的單調性，從而確定函數在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，得，所以函數至少存在一個零點等價于，即．使得問題獲解。2、A【解析】

根據題意，先求出直線PC的斜率，根據MN與PC垂直求出MN的斜率，由點斜式，即可求出結果.【詳解】由題意知，圓心的坐標為，則，由于MN與PC垂直，故MN的斜率，故弦MN所在的直線方程為，即.故選A本題主要考查求弦所在直線方程，熟記直線的點斜式方程即可，屬于常考題型.3、C【解析】

問題轉化為C到直線l的距離d?4.【詳解】如圖所示：過P作圓C的切線PR，切點為R，則∠CPQ?∠CPR，∴sin60°?sin∴CPmin?4，則C到直線l∴|-m-0-5m+4|m2故選：C．本題考查了直線與圓的位置關系，屬中檔題．4、C【解析】

先判斷出函數為奇函數且在定義域內單調遞增，然后把不等式變形為，再利用單調性求解即可．【詳解】由題意得，函數的定義域為R．∵，∴函數為奇函數．又根據復合函數的單調性可得，函數在定義域上單調遞增．由得，∴，解得，∴不等式的解集為．故選C．解答本題的關鍵是挖掘題意、由條件得到函數的奇偶性和單調性，最后根據函數的單調性求解，這是解答抽象不等式（即不知表達式的不等式）問題的常用方法，考查理解和應用能力，具有一定的難度和靈活性．5、A【解析】

利用次獨立重復實驗中恰好發生次的概率計算公式以及方差的計算公式，即可得到結果。【詳解】由題可得隨機變量服從二項分布；由，可得：，解得：故答案選A本題主要考查二項分布概率和方差的計算公式，屬于基礎題。6、B【解析】若是3:2獲勝，那么第五局甲勝，前四局2:2，所以概率為，故選B.7、D【解析】

函數F（x）=f（x）﹣m有六個零點等價于當x>0時，函數F（x）=f（x）﹣m有三個零點，即可即m=f（x）有3個不同的解，求出在每一段上的f（x）的值域，即可求出m的范圍．【詳解】函數f（x）是定義在R上的偶函數，函數F（x）=f（x）﹣m有六個零點，則當x>0時，函數F（x）=f（x）﹣m有三個零點，令F（x）=f（x）﹣m=0，即m=f（x），①當0<x＜2時，f（x）=x﹣x2=﹣（x﹣）2+，當x=時有最大值，即為f（）=，且f（x）＞f（2）=2﹣4=﹣2，故f（x）在[0，2）上的值域為（﹣2，]，②當x≥2時，f（x）=＜0，且當x→+∞，f（x）→0，∵f′（x）=，令f′（x）==0，解得x=3，當2≤x＜3時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，當x≥3時，f′（x）≥0，f（x）單調遞增，∴f（x）min=f（3）=﹣，故f（x）在[2，+∞）上的值域為[﹣，0），∵﹣＞﹣2，∴當﹣＜m＜0時，當x>0時，函數F（x）=f（x）﹣m有三個零點，故當﹣＜m＜0時，函數F（x）=f（x）﹣m有六個零點，當x=0時,函數有5個零點．故選D.(1)本題主要考查利用導數研究函數的單調性，考查函數的零點問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答函數的零點問題常用的有方程法、圖像法和方程+圖像法.本題利用的就是方程+圖像法.8、B【解析】

根據條件2名內科醫生，每個村一名，3名外科醫生和3名護士，平均分成兩組，則分1名外科，2名護士和2名外科醫生和1名護士，根據排列組合進行計算即可．【詳解】2名內科醫生，每個村一名，有2種方法，3名外科醫生和3名護士，平均分成兩組，要求外科醫生和護士都有，則分1名外科，2名護士和2名外科醫生和1名護士，若甲村有1外科,2名護士,則有C3若甲村有2外科,1名護士,則有C3則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種，故選：B.本題主要考查了分組分配問題，解決這類問題的關鍵是先分組再分配，屬于常考題型.9、C【解析】

對等式兩邊平方，利用平面向量數量積的運算律和定義得出，由此可求出、的夾角.【詳解】等式兩邊平方得，即，又，所以，，因此，、夾角為，故選：C.本題考查平面向量夾角的計算，同時也考查平面向量數量積的運算律以及平面向量數量積的定義，考查計算能力，屬于中等題.10、C【解析】

通過余弦定理可得C角，再通過面積公式即得答案.【詳解】根據余弦定理，對比，可知，于是，根據面積公式得，故答案為C.本題主要考查余弦定理和面積公式的運用，比較基礎.11、B【解析】

先由二項展開式中第三項的二項式系數與第四項的二項式系數相同，求出；再由求出，由二項展開式的通項公式，即可求出結果.【詳解】因為展開式中第三項的二項式系數與第四項的二項式系數相同，所以，因此，又，所以，令，則，又，所以，因此，所以展開式的通項公式為，由得，因此展開式中常數項為.故選B本題主要考查求指定項的系數，熟記二項式定理即可，屬于常考題型.12、B【解析】

求導，計算函數的單調區間，根據區間上是單調函數得到答案.【詳解】單調遞增，單調遞減.函數在區間上是單調函數區間上是單調遞減不滿足只能區間上是單調遞增.故故答案選B本題考查了函數的單調性，排除單調遞減的情況是解題的關鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】分析：設塔的頂層共有a1盞燈，則數列{an}公比為2的等比數列，利用等比數列前n項和公式能求出結果．詳解:設塔的頂層共有a1盞燈，則數列{an}公比為2的等比數列，∴S7=a1(1-27點睛：本題考查了等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力.14、【解析】

有錯，可以接著利用基本不等式解得最小值.【詳解】∵，∴，，當且僅當時不等式取等號，∴，故的最小值是．本題主要考查利用基本不等式求最值的問題，巧用“”，是解決本題的關鍵.15、【解析】

求出是奇函數，且在定義域上是單減函數，變形再利用單調性解不等式可得解.【詳解】，是奇函數，又是上的減函數，是上的增函數，由函數單調性質得是上的減函數.,則，由奇函數得且是上的減函數.，，又不等式的解集是故答案為：本題考查利用函數奇偶性和單調性解指對數方程或不等式.有關指對數方程或不等式的求解思路：利用指對數函數的單調性，要特別注意底數的取值范圍，并在必要時進行分類討論．16、1【解析】試題分析：，它除以5余數為1．考點：二項式定理，整除的知識．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當時，的單調增區間是，當時，的單調遞增區間是；（2）證明見解析【解析】

（1）先求導，通過導論參數和，根據導數值大于零，求出對應增區間即可（2）當時，，由（1）知切點即為，可求出，求出，先求導，再根據導數值正負進一步判斷函數增減性，確定極值點，求證在該極值點處函數值小于即可【詳解】解：（1），，當時，，的單調增區間是；當時，由可得，綜上所述，當時，的單調增區間是，當時，的單調遞增區間是.（2）易知切點為，由得，，所以設，則在上是增函數，，當時，，所以在區間內存在唯一零點，即.當時，；當時，；當時，，所以存在極小值.又，則，故，故存在極小值且該極小值小于.導數問題涉及含參數問題時，可采用討論參數法，進一步確定導數正負；當求出的導數分為幾個因式時，可逐個擊破，考慮每個因式的正負，再做整體考慮，如本題中第二問18、（1）證明見解析（2）【解析】

(1)證明與進而證明平面即可.(2)建立空間直角坐標系,求解以及平面的法向量,再求解線與平面所成角【詳解】（1）證明1：在中,.因為交于點,所以.因為平面,所以,所以.又因為平面,所以平面所以平面,所以.證明2：如圖,以為原點,分別以為軸,建立空間直角坐標系.在中,.因為交于點,所以,所以,所以,所以（2）解：由（1）可知,,.設平面的法向量為,所以即令,則,所以.設直線與平面所成角為,則.本題主要考查了線面垂直線線垂直的證明以及建立空間直角坐標系求解線面角的問題.屬于中檔題.19、（1）；（2）；（3）.【解析】分析：（1）根據頻率分布直方圖各矩形的面積和為可計算出.（2）根據頻率分布直方圖計算出產值小于500萬元的企業共個，因此所求的概率為；（3）可取，運用超幾何分布可以計算取各值的概率，從而得到其分布列和期望.詳解：（1）根據頻率分布直方圖可知，．產值小于500萬元的企業個數為：，所以抽到產值小于500萬元的企業不超過兩個的概率為．（3）的所有可能取值為，，．，，．∴的分布列為：期望為：．點睛：（1）頻率分布直方圖中，各矩形的面積之和為1，注意直方圖中，各矩形的高是；（2）在計算離散型隨機變量的概率時，注意利用常見的概率分布列來簡化計算（如二項分布、超幾何分布等）．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）若為真命題，結合對數函數的定義域可得，解不等式組求得答案；（Ⅱ）“”為真命題且“”為假命題，則真假或假真，解出命題，對真假和假真兩種情況進行討論，從而得到答案．【詳解】（Ⅰ）因為，所以可得，所以當命題為真命題時，解得；（Ⅱ）易知命題：.若為真命題且為假命題，則真假或假真，當真假時，，方程組無解；當假真時，，解得；綜上，為真命題且為假命題時，實數的取值范圍是.本題主要考查利用命題與復合命題的真假關系求變量的取值范圍，屬于一般題．21、(1);(2)(ⅰ)91微克/立方米;(ⅱ)13萬輛.【解析】

(1)由數據可得：，