臨汾市第一中學2025屆數學高二第二學期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則中元素的個數為（）A．3 B．2 C．1 D．02．已知實數成等比數列，則橢圓的離心率為A． B．2 C．或2 D．或3．已知隨機變量服從正態分布，若，則（）A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.34．已知函數是定義在上的奇函數，若對于任意的實數，都有，且當時，，則的值為()A．－1 B．－2 C．2 D．15．如表提供了某廠節能降耗技術改造后在生產A產品過程中記錄的產品（噸）與相應的生產能耗(噸)的幾組對應數據，根據表中提供的數據，求出關于的線性回歸方程為，那么表中的值為（）A．4.5 B．3.75 C．4 D．4.16．已知函數與的圖像有三個不同的公共點，其中為自然對數的底數，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．7．設是兩個平面向量，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．設函數，集合，則圖中的陰影部分表示的集合為（）A． B．C． D．9．已知雙曲線與橢圓：有共同的焦點，它們的離心率之和為，則雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．10．的展開式中，的系數為（）A．15 B．-15 C．60 D．-6011．已知離散型隨機變量X的分布列如圖，則常數c為（）X01PA． B． C．或 D．12．根據如下樣本數據得到的回歸方程為，則

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A．， B．， C．， D．，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．條件，條件，若是的充分不必要條件，則實數的取值范圍是______________．14．位老師和位同學站成一排合影，要求老師相鄰且不在兩端的排法有______種.（用數字作答）15．若，，，且的最小值是___.16．在平面直角坐標系中，已知為圓上的一個動點，，則線段的中點的軌跡方程是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖,在一個水平面內,河流的兩岸平行,河寬1(單位:千米)村莊A,B和供電站C恰位于一個邊長為2(單位:千米)的等邊三角形的三個頂點處,且A,C位于河流的兩岸,村莊A側的河岸所在直線恰經過BC的中點D.現欲在河岸上A,D之間取一點E,分別修建電纜CE和EA,EB.設∠DCE=θ,記電纜總長度為f(θ)(單位:千米).(1)求f(θ)的解析式；(2)當∠DCE為多大時,電纜的總長度f(θ)最小,并求出最小值.18．（12分）設函數.(Ⅰ)求不等式的解集；(Ⅱ)求證:，并求等號成立的條件.19．（12分）已知函數在處取得極小值1．（1）求的解析式；（2）求在上的最值．20．（12分）在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知點A的極坐標(，)，直線l的極坐標方程為ρcos(θ－)＝a，．（1）若點A在直線l上，求直線l的直角坐標方程；（2）圓C的參數方程為(為參數)，若直線與圓C相交的弦長為，求的值．21．（12分）下表提供了某廠節能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量（噸）與相應的生產能耗（噸標準煤）的幾組對照數據．34562.5344.5（1）請畫出上表數據的散點圖；（2）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程．參考公式：22．（10分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.(1)求點D到平面PBC的距離；(2)設Q是線段BP上的動點，當直線CQ與DP所成的角最小時，求二面角B-CQ-D的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】試題分析：集合中的元素為點集，由題意，可知集合A表示以為圓心，為半徑的單位圓上所有點組成的集合，集合B表示直線上所有的點組成的集合，又圓與直線相交于兩點，，則中有2個元素.故選B.【名師點睛】求集合的基本運算時，要認清集合元素的屬性(是點集、數集或其他情形)和化簡集合，這是正確求解集合運算的兩個先決條件.集合中元素的三個特性中的互異性對解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.2、A【解析】

由1，m，9構成一個等比數列，得到m=±1．當m=1時，圓錐曲線是橢圓；當m=﹣1時，圓錐曲線是雙曲線，(舍）由此即可求出離心率．【詳解】∵1，m，9構成一個等比數列，∴m2=1×9，則m=±1．當m=1時，圓錐曲線+y2=1是橢圓，它的離心率是=；當m=﹣1時，圓錐曲線+y2=1是雙曲線，故舍去，則離心率為．故選A．本題考查圓錐曲線的離心率的求法，解題時要注意等比數列的性質的合理運用，注意分類討論思想的靈活運用．3、C【解析】因，故由正態分布的對稱性可知，應選答案C。4、A【解析】

利用函數的奇偶性以及函數的周期性轉化求解即可．【詳解】因為f（x）是奇函數，且周期為2，所以f（﹣2017）+f（2018）=﹣f（2017）+f（2018）=﹣f（1）+f（0）．當x∈[0，2）時，f（x）=log2（x+1），所以f（﹣2017）+f（2018）=﹣1+0=﹣1．故選：A．本題考查函數的奇偶性以及函數的周期性的應用，考查計算能力．5、C【解析】

根據回歸直線必過，求出代入回歸直線可構造出方程求得結果.【詳解】由數據表可知：，由回歸直線可知：，即：，解得：本題正確選項：本題考查利用回歸直線求解實際數據點的問題，關鍵是能夠明確回歸直線必過點，屬于基礎題.6、B【解析】

將函數有三個公共點，轉化為有三個解，再利用換元法設，整理為，畫出函數圖形得到答案.【詳解】函數與的圖像有三個不同的公共點即有三個解整理得：設，當單調遞減，單調遞增.如圖所示：原式整理得到：圖像有三個不同的公共點，即二次方程有兩個解，一個小于0.一個在上或當時，當時，另一個零點在上，滿足條件.故答案為B本題考查了函數的零點問題，根據條件轉化為方程的解，再利用換元法簡化計算，本題綜合性強，計算量大，意在考查學生的綜合應用能力和計算能力.7、A【解析】

由，則是成立的；反之，若，而不一定成立，即可得到答案.【詳解】由題意是兩個平面向量，若，則是成立的；反之，若，則向量可能是不同的，所以不一定成立，所以是是成立的充分而不必要條件，故選A.本題主要考查了向量的概念以及向量模的概念的應用，以及充分條件與必要條件的判定，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.8、C【解析】

根據集合的定義可知為定義域，為值域；根據對數型復合函數定義域的要求可求得集合，結合對數型復合函數單調性可求得值域，即集合；根據圖可知陰影部分表示，利用集合交并補運算可求得結果.【詳解】的定義域為：，即：在上單調遞增，在上單調遞減在上單調遞增，在上單調遞減；當時，；當時，的值域為：圖中陰影部分表示：又，本題正確選項：本題考查集合基本運算中的交并補混合運算，關鍵是能夠明確兩個集合表示的含義分別為函數的定義域和值域，利用對數型復合函數的定義域要求和單調性可求得兩個集合；涉及到圖的讀取等知識.9、C【解析】

由橢圓方程求出雙曲線的焦點坐標，及橢圓的離心率，結合題意進一步求出雙曲線的離心率，從而得到雙曲線的實半軸長，再結合隱含條件求得雙曲線的虛半軸長得答案．【詳解】由橢圓，得，，則，雙曲線與橢圓的焦點坐標為，，橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為．設雙曲線的實半軸長為m，則，得，則虛半軸長，雙曲線的方程是．故選C．本題考查雙曲線方程的求法，考查了橢圓與雙曲線的簡單性質，是中檔題．10、C【解析】試題分析：依題意有，故系數為.考點：二項式．11、A【解析】

根據所給的隨機變量的分布列寫出兩點分步的隨機變量的概率要滿足的條件，一是兩個概率都不小于0，二是兩個概率之和是1，解出符合題意的c的值．【詳解】由隨機變量的分布列知，，，，∴，故選A．本題主要考查分布列的應用，求離散型隨機變量的分布列和期望，屬于基礎題．12、B【解析】

試題分析：由表格數據的變化情況可知回歸直線斜率為負數，中心點為，代入回歸方程可知考點：回歸方程二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

解：是的充分而不必要條件，，等價于，的解為，或，，故答案為：．14、24【解析】

根據題意，分2步進行分析：第一步，將3位同學全排列，排好后中間有2個空位可用；第二步，將2位老師看成一個整體，安排在2個空位中，由分步計數原理計算可得答案.【詳解】解：根據題意，分2步進行分析：第一步，將3位同學全排列，有種排法，排好后中間有2個空位可用；第二步，將2位老師看成一個整體，安排在2個空位中，有種安排方法.則有種排法.故答案為:24.本題考查排列組合及簡單的計數問題.對于不相鄰的問題，一般采用插空法；對于相鄰的問題，一般采用捆綁法.15、9【解析】

根據基本不等式的性質，結合乘“1”法求出代數式的最小值即可．【詳解】∵，，，,當且僅當時“=”成立，故答案為9.本題考查了基本不等式的性質，考查轉化思想，屬于基礎題．16、【解析】

根據相關點法，、是兩個相關點，找出的坐標與的坐標之間的關系，借助的方程可以求出的方程．【詳解】解：設，，由已知有，，即，，因為是圓上的一個動點，所以滿足圓的方程，代入，，得，整理得，．故答案為:.此題考查了用相關點法求軌跡方程的問題.在求點的軌跡方程時，常設出該點的坐標為，根據已知條件列出關于的方程.還有的題目可以依據圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，求軌跡方程前首先判斷出軌跡的形狀，進而求解.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）f(θ)=2-sinθcosθ+3，0<θ<π3【解析】分析：易得CE=EB=1cosθ，ED=tanθ，AE=3-tanθ，f(θ)=2-sinθcosθ+3，0<θ<π3.(2)求導f'(θ)=-cos2詳解：(1)易得AD垂直平分BC，CD=BD=1則CE=EB=1cosθ，ED=于是f(θ)=1cosθ因為E在CD之間,所以0<θ<π故f(θ)=2-sinθ(2)f'(θ)=-cos2令f'(θ)=0,得sinθ=故當0<θ<π6，f'(θ)<0，當π6<θ<π3.,所以,當θ=π6時,f(θ)答:當∠DCE=π6時,f(θ)最小值為點睛：此題為三角函數的實際應用題，解題時要注意分析題目中的條件，常常跟正余弦定理，三角函數比值關系等幾何關系結合在一起考查，不難，但是綜合性強；第二問求最值如果不能轉化為三角函數求得最值，那就通過導數來分析.18、(Ⅰ)(Ⅱ)見證明【解析】

(Ⅰ)利用零點分類法，進行分類討論，求出不等式的解集；(Ⅱ)法一：，當且僅當時取等號，再根據三角絕對值不等式，可以證明出，當且僅當時取等號，最后可以證明出，以及等號成立的條件；法二：利用零點法把函數解析式寫成分段函數形式，求出函數的單調性，最后求出函數的最小值，以及此時的的值.【詳解】解:(Ⅰ)當時，，解得當時，，解得當時，，無實數解原不等式的解集為(Ⅱ)證明:法一:，當且僅當時取等號又，當且僅當時取等號，等號成立的條件是法二:在上單調遞減，在上單調遞增，等號成立的條件是本題考查了絕對值不等式的解法以及證明絕對值不等式，利用零點法，分類討論是解題的關鍵.19、（1）（2）最小值為1，最大值為2．【解析】

（1）利用導數，結合在處取得極小值1，求得的值，由此求得解析式.（2）根據在區間上的單調性，結合函數的極值以及區間端點的函數值，求得在區間上的最值.【詳解】（1），由，得或．當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，符合題意，由，得；當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，在處取得極大值，不符合題意．所以．（2）由（1）知在上單調遞增，在上單調遞減，因為，所以的最小值為1，最大值為2．本小題主要考查利用導數研究函數的極值，考查利用導數研究函數的最值，屬于基礎題.20、(1)(2)或【解析】試題分析：（1）通過點A在直線l上，列出方程得到，然后求解直線l的直角坐標方程（2）消去參數，求出的普通方程，通過圓心到直線的距離半徑半弦長的關系，即可求的值．試題解析：（1）由點在直線上，可得=所以直線的方程可化為從而直線的直角坐標方程為.（2）由已知得圓C的直角坐標方程為所以圓C的圓心為（2，0），半徑，而直線的直角坐標方程為，若直線與圓C相交的弦長為則圓心到直線的距離為，所以求得或21、（1）見解析（2）【解析】

（1）直接畫出散點圖得到答案.（2）根據數據和公式，得到計算得，，，直接計算到答案.【詳解】（1）由題設所給數據，可得散點圖如圖所示．（2）由對照數據，計算得：，（噸），（噸）．已知，所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數為：，．因此所求的線性回歸方程為．本題考查了散點圖和線性回歸方程，意在考查學生的計算能力和應用能力.22、（1）.（2）.【解析】分析：（1）利用等體積法即可；（2）建立空間直角坐標系，利用換元法可得，再結合函數在上的單調性，計算即得結論.詳解：(1)S△BCD=BC×AB=,由于PA⊥平面ABCD,從而PA即為三棱錐P-BCD的高,故VP-BCD=S△BCD×PA=.設點D到平面PBC的距離為h.由PA⊥平面ABCD得PA⊥B