甘肅省白銀市九中2025年數學高二下期末學業水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知隨機變量服從二項分布，且，，則p等于A． B． C． D．2．對于不重合的兩個平面α與β，給定下列條件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α、β都平行于γ；③α內有不共線的三點到β的距離相等；④存在異面直線l，m，使得l//α，l//β，m//α，m//β其中，可以判定α與β平行的條件有（）A．1個B．2個C．3個D．4個3．從1、2、3、4、5、6中任取兩個數，事件：取到兩數之和為偶數，事件：取到兩數均為偶數，則（）A． B． C． D．4．已知圓柱的軸截面的周長為，則圓柱體積的最大值為（）A． B． C． D．5．一物體在力（單位）的作用下沿與力相同的方向，從處運動到處（單位，則力所做的功為（）A．54焦 B．40焦 C．36焦 D．14焦6．組合數恒等于（）A． B． C． D．7．已知樣本數據點集合為，樣本中心點為，且其回歸直線方程為，則當時，的估計值為（）A． B． C． D．8．若復數z滿足，則在復平面內，z對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．同時拋擲一顆紅骰子和一顆藍骰子，觀察向上的點數，記“紅骰子向上的點數小于4”為事件A，“兩顆骰子的點數之和等于7”為事件B，則（）A． B． C． D．10．已知，，若包含于，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知i是虛數單位，則復數的共軛復數在復平面內對應的點所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知定義域為的奇函數的導函數為，當時，，若，則的大小關系正確的是A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在拋物線上，則面積的最小值為________．14．若角滿足，則＝_____；15．已知一組數據6,7,8，，的平均數是8，且，則該組數據的方差為_______.16．已知復數，其中是虛數單位，則的模是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）對一批產品的內徑進行抽查，已知被抽查的產品的數量為200，所得內徑大小統計如表所示：（Ⅰ）以頻率估計概率，若從所有的這批產品中隨機抽取3個，記內徑在的產品個數為X，X的分布列及數學期望；（Ⅱ）已知被抽查的產品是由甲、乙兩類機器生產，根據如下表所示的相關統計數據，是否有的把握認為生產產品的機器種類與產品的內徑大小具有相關性．參考公式：，（其中為樣本容量）．0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．（12分）如圖，三棱柱ABC-中，⊥平面ABC，AC⊥AB，AB=AC=2，C=4，D為BC的中點（I）求證：AC⊥平面AB；（II）求證：C∥平面AD；（III）求平面與平面所成銳二面角的余弦值19．（12分）已知關于的方程x2+kx+k2﹣2k=0有一個模為的虛根，求實數k的值．20．（12分）已知數列的前項和為，且，.（Ⅰ）試計算，，，，并猜想的表達式；（Ⅱ）求出的表達式，并證明（Ⅰ）中你的猜想.21．（12分）已知函數的圖象與直線相切于點．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求函數的單調區間．22．（10分）已知函數，.（1）當時，求函數的最小值；（2）若函數在區間上單調遞增，求實數a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】分析：根據隨機變量符合二項分布，根據二項分布的期望和方差的公式和條件中所給的期望和方差的值，得到關于和的方程組，解方程組得到要求的兩個未知量．詳解：隨機變量服從二項分布，且，，則由，

可得故選B.點睛：本題主要考查二項分布的期望與方差的簡單應用，通過解方程組得到要求的變量，這與求變量的期望是一個相反的過程，但是兩者都要用到期望和方差的公式．2、B【解析】試題分析：直線與平面的位置關系，平面與平面的位置關系，對選項進行逐一判斷，確定正確選項即可．：①α與β平行．此時能夠判斷①存在平面γ，使得α，②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；可以判定α與β平行，如正方體的底面與相對的側面．也可能α與β不平行．②不正確．③不能判定α與β平行．如α面內不共線的三點不在β面的同一側時，此時α與β相交；④可以判定α與β平行．∵可在α面內作l'∥l，m'∥m，則l'與考點：平面與平面平行的性質；平面與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．3、D【解析】

根據條件概率公式可得解.【詳解】事件分為兩種情況：兩個均為奇數和兩個數均為偶數，所以，，由條件概率可得：，故選D.本題考查條件概率，屬于基礎題.4、B【解析】

分析:設圓柱的底面半徑為r，高為h，則4r+2h=12，即2r+h=6，利用基本不等式，可求圓柱體積的最大值．詳解:設圓柱的底面半徑為r，高為h，則4r+2h=12，即2r+h=6，∴2r+h=r+r+h≥3，∴r2h≤∴V=πr2h≤8π，∴圓柱體積的最大值為8π，點睛:(1)本題主要考查圓柱的體積和基本不等式,意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可.5、C【解析】

本題是一個求變力做功的問題，可以利用積分求解，由題意，其積分區間是，，被積函數是力的函數表達式，由積分公式進行計算即可得到答案【詳解】由題意得：．故選：C．本題考查定積分的應用，物理中的變力所做的功用定積分求解是定積分在物理中的重要應用，正確解答本題的關鍵是理解功與定積分的對應．6、D【解析】

根據組合數的公式得到和，再比較選項得到答案.【詳解】．，可知故選：D．本題考查組合數的計算公式，意在考查基本公式，屬于基礎題型.7、D【解析】

根據線性回歸直線過樣本中心點，可得，然后代值計算，可得結果.【詳解】由題可知：所以回歸直線方程為當當時，故選：D本題考查線性回歸方程，掌握回歸系數的求法以及回歸直線必過樣本中心點，屬基礎題.8、D【解析】

由復數的基本運算將其化為形式，z對應的點為【詳解】由題可知，所以z對應的點為，位于第四象限．故選D.本題考查復數的運算以及復數的幾何意義，屬于簡單題．9、B【解析】

為拋擲兩顆骰子，紅骰子的點數小于4同時兩骰子的點數之和等于7的概率，利用公式求解即可．【詳解】解：由題意，為拋擲兩顆骰子，紅骰子的點數小于4時兩骰子的點數之和等于7的概率．拋擲兩顆骰子，紅骰子的點數小于4，基本事件有個，紅骰子的點數小于4時兩骰子的點數之和等于7，基本事件有3個，分別為（1，6），（2，5），（3，4），．故選：．本題考查條件概率的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．10、B【解析】

解一元二次不等式求得集合，根據是的子集列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由解得，所以，由于且包含于，所以，故的取值范圍是.故選：B本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查根據包含關系求參數的取值范圍，屬于基礎題.11、A【解析】

先將復數化為代數形式，再根據共軛復數的概念確定對應點，最后根據對應點坐標確定象限.【詳解】解：∵，∴，∴復數z的共軛復數在復平面內對應的點的坐標為（），所在的象限為第一象限．故選：A．點睛：首先對于復數的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規思路，如.其次要熟悉復數相關基本概念，如復數的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為12、C【解析】分析：構造函數，利用已知條件確定的正負，從而得其單調性．詳解：設，則，∵，即，∴當時，，當時，，遞增．又是奇函數，∴是偶函數，∴，，∵，∴，即．故選C．點睛：本題考查由導數研究函數的單調性，解題關鍵是構造新函數，通過研究的單調性和奇偶性，由奇偶性可以把變量值轉化到同一單調區間上，從而比較大小．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

通過三角形的面積公式可知當點P到直線AB的距離最小時面積最小，求出與直線2x﹣y﹣2＝0平行且為拋物線的切線的直線方程，進而利用兩直線間的距離公式及面積公式計算即得結論．【詳解】依題意，A（﹣2，0），B（0，﹣2），設與直線x+y+2＝0平行且與拋物線相切的直線l方程為：x+y+t＝0，聯立直線l與拋物線方程，消去y得：y2+4y+4t＝0，則△＝16﹣16t＝0，即t＝1，∵直線x+y+2＝0與直線l之間的距離d，∴Smin|AB|d1．故答案為1．本題考查直線與圓錐曲線的關系，考查運算求解能力，數形結合是解決本題的關鍵，屬于中檔題．14、【解析】

由，得tanα＝-2，由二倍角的正切公式化簡后，把tanα的值代入即可．【詳解】∵sina+2cosa=0，得，即tanα＝-2，∴tan2α＝．故答案為本題考查了二倍角的正切公式，以及同角三角函數間的基本關系，屬于基礎題．15、2【解析】

根據題意，列出關于的等量關系式，結合，求得的值，利用方差公式求得結果.【詳解】一組數據的平均數是8，且，所以，化簡得，又，所以的值分別為或，所以該組數據的方差為：，故答案是：2.該題考查的是有關求一組數據的方差的問題，涉及到的知識點有方差公式，屬于簡單題目.16、【解析】分析：分子分母同時乘以，化簡整理，得出，再得模。詳解：，所以。點睛：復數的除法運算公式。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）分布列見解析，；（Ⅱ）沒有.【解析】

（Ⅰ）由頻率分布表可知，任取1件產品，內徑在[26，28)的概率，所以，根據二項分布的計算公式分別求出時的概率，列出分布列，再根據期望公式求出期望；（Ⅱ）首先依題意填寫列聯表，再求得的觀測值，結合臨界值表即可得出結論。【詳解】(I)任取1件產品，內徑在[26，28)的概率，故，，＝，＝，＝，故X的分布列為：X0123P故；（II）依題意，所得列聯表如下所示內徑小于28mm內徑不小于28mm總計甲機器生產6832100乙機器生產6040100總計12872200的觀測值為，故沒有99%的把握認為生產產品的機器種類與產品的內徑大小具有相關性。本題主要考查離散型隨機變量的分布列與期望的求法，獨立性檢驗的基本思想及其應用。18、（Ⅰ）見解析（II）見解析（III）【解析】

（I）C⊥平面ABC，得A⊥平面ABC，從而A⊥AC，再結合已知可證得線面垂直；（II）連接，與A相交于點O，連接DO，可證DO∥，從而證得線面平行；（III）以為軸建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出兩平面和平面的法向量，由法向量的夾角余弦值求得二面角的余弦值．【詳解】（I）∵C⊥平面ABC，A∥C∴A⊥平面ABC，∴A⊥AC又AC⊥AB，AB∩A=A∴AC⊥平面AB·（II）連接，與A相交于點O，連接DO∵D是BC中點，O是中點，則DO∥，平面AD，DO平面AD∴平面AD（III）由（I）知，AC⊥平面AB，A⊥AB如圖建立空間直角坐標系A-xyz·則A（0，0，0），B（2，0，0），（2，4，0），D（1，0，1），=（1，0，1），=（2，4，0）設平面AD的法向量為=（x,y,z），則，即取y=1，得=（-2，1，2）平面AC的法向量為=（2，0，0）Cos<,>==-·則平面AD與平面AC所成銳二面角的余弦值為本題考查線面垂直的判定與線面平行的判定，考查用向量法求二面角．立體幾何中線面間的平行與垂直一般用判定定理進行證明，而求空間角一般用空間向量法求解．19、1【解析】分析：設兩根為、，則，，得，利用韋達定理列方程可求得的值，結合判別式小于零即可得結果.詳解：由題意，得或，設兩根為、，則，，得，．所以．點睛：本題考查復數代數形式乘除運算，韋達定理的使用，實系數方程有虛數根的條件，共軛復數的性質、共軛復數的模，意在考查基礎知識的掌握與綜合應用，屬于中檔題.20、(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)，證明見解析.【解析】分析：（1）利用公式，將已知轉換成關于的遞推公式，計算，，，，在通過分子和分母的規律猜想出.（2）根據，結合通項公式的累乘法求出.再運用求和證明（1）的猜想.詳解：（Ⅰ）由，得，，，，猜想.（Ⅱ）證明：因為①，所以②，①-②得，所以.化簡得，所以，，，…，，把上面各式相乘得，所以，，.點睛：數列問題注意兩個方面的問題：（1）的特殊性；（2）時，①消去，如，可以計算；②消去，如，可以計算.21、（Ⅰ）a＝3，b＝﹣1（Ⅱ）單調遞減區間是（﹣3，1）．單調增區間為：（∞，﹣3），（1，+∞）【解析】

（Ⅰ）求導函數，利用f（x）的圖象與直線15x﹣y﹣28＝0相切于點（2，2），建立方程組，即可求a，b的值；（Ⅱ）求導函數，利用導數小于0，即可求函數f（x）的單調遞減區間．【詳解】（I）求導函數可得f′（x）＝3x2