上海市高橋中學2025年數學高二下期末質量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用數學歸納法證明（，）時，第一步應驗證（）A． B． C． D．2．已知集合，則為（）A． B． C． D．3．是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角4．雙曲線的左焦點，過點作傾斜角為的直線與圓相交的弦長為，則橢圓C的離心率為()A． B． C． D．5．已知點是拋物線的焦點，點為拋物線上的任意一點，為平面上點，則的最小值為（）A．3 B．2 C．4 D．6．某機構需掌握55歲人群的睡眠情況，通過隨機抽查110名性別不同的55歲的人的睡眠質量情況，得到如下列聯表男女總計好402060不好203050總計6050110由得，.根據表0.0500.0100.0013.8416.63510.828得到下列結論，正確的是（）A．有以下的把握認為“睡眠質量與性別有關”B．有以上的把握認為“睡眠質量與性別無關”C．在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為“睡眠質量與性別有關”D．在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為“睡眠質量與性別無關”7．已知復數滿足（是虛數單位），則=（）A． B． C． D．8．已知隨機變量，且，則（）A．1．25 B．1．3 C．1．75 D．1．659．在復數列中，，，設在復平面上對應的點為，則（）A．存在點，對任意的正整數，都滿足B．不存在點，對任意的正整數，都滿足C．存在無數個點，對任意的正整數，都滿足D．存在唯一的點，對任意的正整數，都滿足10．設函數，則“”是“有4個不同的實數根”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件11．在用反證法證明命題“三個正數a，b，c滿足，則a，b，c中至少有一個不大于2”時，下列假設正確的是（）A．假設a，b，c都大于2 B．假設a，b，c都不大于2C．假設a，b，c至多有一個不大于2 D．假設a，b，c至少有一個大于212．設函數()有且僅有兩個極值點()，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某市有1200名中學生參加了去年春季的數學學業水平考試，從中隨機抽取了100人的考試成績統計得到如圖所示的頻率分布直方圖，據此可以估計這1200名學生中考試成績超過80分的人數為___________人。14．端午節小長假期間，張洋與幾位同學從天津乘到大連去旅游，若當天從天津到大連的三列火車正點到達的概率分別為，，，假設這三列火車之間是否正點到達互不影響，則這三列火車恰好有兩列正點到達的概率是____.15．《左傳.僖公十四年》有記載:“皮之不存,毛將焉附?"”這句話的意思是說皮都沒有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基礎,就不能存在.皮之不存,毛將焉附?則“有毛”是“有皮”的__________條件(將正確的序號填入空格處).①充分條件②必要條件③充要條件④既不充分也不必要條件16．已知平面α，直線m，n滿足mα，nα，則“m∥n”是“m∥α”的__________條件三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）遇龍塔建于明代萬歷年間，簡體磚石結構，屹立于永州市城北瀟水東岸，為湖南省重點文物保護單位之一．游客乘船進行觀光，到達瀟水河河面的處時測得塔頂在北偏東45°的方向上，然后向正北方向行駛后到達處，測得此塔頂在南偏東的方向上，仰角為，且，若塔底與河面在同一水平面上，求此塔的高度．18．（12分）已知函數，若函數有兩個零點，.（1）求的取值范圍；（2）證明：19．（12分）如圖，已知圓心為的圓經過原點．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）設直線與圓交于，兩點．若，求的值．20．（12分）已知直線的參數方程：（為參數），曲線的參數方程：（為參數），且直線交曲線于，兩點．（1）將曲線的參數方程化為普通方程，并求時，的長度；（2）已知點，求當直線傾斜角變化時，的范圍．21．（12分）已知函數.(1)若曲線在處的切線過點,求的值;(2)是否存在實數,使恒成立?若存在,求出的值;若不存在,請說明理山.22．（10分）設函數．(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間和極值；(Ⅱ)若當時，恒有，試確定的取值范圍；(Ⅲ)當時，關于x的方程f(x)＝0在區間[1,3]上恒有兩個相異的實根，求實數b的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

直接利用數學歸納法寫出時左邊的表達式即可．【詳解】解：用數學歸納法證明，時，第一步應驗證時是否成立，即不等式為：；故選：．在數學歸納法中，第一步是論證時結論是否成立，此時一定要分析不等式左邊的項，不能多寫也不能少寫，否則會引起答案的錯誤．2、C【解析】

分別求出集合M，N，和，然后計算.【詳解】解：由，得，故集合由，得，故集合，所以故選：C.本題考查了指數函數的值域，對數函數的定義域，集合的交集和補集運算，屬于基礎題.3、B【解析】

利用象限角的定義直接求解，即可得到答案．【詳解】由題意，，所以表示第二象限角，故選B．本題主要考查了角所在象限的判斷，考查象限角的定義等基礎知識，考查了推理能力與計算能力，是基礎題．4、B【解析】

求出直線方程,利用過過點作傾斜角為的直線與圓相交的弦長為列出方程求解即可.【詳解】雙曲線的左焦點過點作傾斜角為的直線與圓相交的弦長為,可得：,可得:則雙曲線的離心率為:故選:B.本題考查雙曲線的簡單性質的應用,直線與圓的位置關系的應用,考查離心率的求法,考查計算能力.5、A【解析】

作垂直準線于點，根據拋物線的定義，得到，當三點共線時，的值最小，進而可得出結果.【詳解】如圖，作垂直準線于點，由題意可得，顯然，當三點共線時，的值最小；因為，，準線，所以當三點共線時，，所以.故選A本題主要考查拋物線上任一點到兩定點距離的和的最值問題，熟記拋物線的定義與性質即可，屬于常考題型.6、C【解析】

根據獨立性檢驗的基本思想判斷得解.【詳解】因為，根據表可知；選C.本題考查獨立性檢驗的基本思想，屬于基礎題.7、A【解析】

把已知等式變形，再由復數代數形式的乘除運算化簡得答案．【詳解】解：由，得，．故選．本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題．8、C【解析】

利用正態分布的圖像和性質求解即可.【詳解】由題得，所以.故選：C本題主要考查正態分布的圖像和性質，考查指定概率的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.9、D【解析】

由，由復數模的性質可得出，可得出數列是等比數列，且得出，再由，結合向量的三角不等式可得出正確選項.【詳解】，，，，所以數列是以為首項，以為公比的等比數列，且（為坐標原點），由向量模的三角不等式可得，當點與坐標原點重合時，，因此，存在唯一的點，對任意的正整數，都滿足，故選：D.本題考查復數的幾何意義，同時也考查了復數模的性質和等比數列的綜合應用，解題的關鍵就是利用向量模的三角不等式構建不等關系進行驗證，考查推理能力，屬于難題.10、B【解析】分析：利用函數的奇偶性將有四個不同的實數根，轉化為時，有兩個零點，利用導數研究函數的單調性，結合圖象可得，從而可得結果.詳解：是偶函數，有四個不同根，等價于時，有兩個零點，時，，，時，恒成立，遞增，只有一個零點，不合題意，時，令，得在上遞增；令，得在上遞減，時，有兩個零點，，，得，等價于有四個零點，“”是“有4個不同的實數根”的必要不充分條件，故選B.點睛：本題考查函數的單調性、奇偶性以及函數與方程思想的應用，所以中檔題.函數的性質問題以及函數零點問題是高考的高頻考點，考生需要對初高中階段學習的十幾種初等函數的單調性、奇偶性、周期性以及對稱性非常熟悉；另外，函數零點的幾種等價形式：函數的零點函數在軸的交點方程的根函數與的交點.11、A【解析】

否定結論，同時“至少有一個”改為“全部”【詳解】因為“a，b，c至少有一個不大于2”的否定是“a，b，c都大于2”，故選A.本題考查反證法，在反證法中假設命題反面成立時，結論需要否定的同時，“至少”，“至多”，“都”等詞語需要改變．12、B【解析】

函數()有且僅有兩個極值點，即為在上有兩個不同的解，進而轉化為兩個圖像的交點問題進行求解．【詳解】解：因為函數()有且僅有兩個極值點，所以在上有兩個不同的解，即2ax＋ex＝0在上有兩解，即直線y＝－2ax與函數y＝ex的圖象有兩個交點，設函數與函數的圖象相切，切點為(x0，y0)，作函數y＝ex的圖象，因為則，所以，解得x0＝1，即切點為(1，e)，此時k＝e，由圖象知直線與函數y＝ex的圖象有兩個交點時，有即－2a＞e，解得a＜，故選B.本題考查了函數極值點的問題，解決此類問題的方法是將函數問題轉化為方程根的問題，再通過數形結合的思想方法解決問題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、420【解析】

在頻率分布直方圖中，求出成績超過80分的小組的面積之和，求出頻率，最后估計這1200名學生中考試成績超過80分的人數.【詳解】成績超過80分的小組分別是，面積之和為，因此這1200名學生中考試成績超過80分的人數估計為.本題考查了頻率直方圖的性質及應用，考查了數學運算能力.14、【解析】設當天從天津到大連的三列火車正點到達的事件分別為A，B，C，則，事件A，B，C相互獨立，∴這三列火車恰好有兩列正點到達的概率：，故答案為：0.398.15、①【解析】分析：根據充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．詳解：由題意知“無皮”?“無毛”，所以“有毛”?“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分條件．故答案為：①．點睛：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用充分條件和必要條件的定義是解決本題的關鍵．16、充分不必要【解析】分析：由線線平行的性質定理和線面平行的性質定理即可判斷。詳解：線線平行的性質定理：平面α，直線m，n滿足mα，nα，若則線面平行的性質定理：如果一條直線平行于一個平面，過這條直線作一個平面與這個平面交線，那么直線和交線平行。故為充分不必要條件分析：線線平行的性質定理和線面平行的性質定理要熟練掌握。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

根據正弦定理求得，然后在直角三角形中求得，即可得到答案．【詳解】由題意，在中，，故又，故由正弦定理得：，解得，因為，所以，所以．本題主要考查了解三角形的實際應用問題，其中解答中熟練應用正弦定理和直角三角形的性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．18、(1)(2)見證明【解析】

（1）確定函數定義域，求導，討論的范圍確定函數的單調區間，最后得到的范圍.（2）將，兩個零點代入函數，通過化簡得到：需證.轉化為不等式，設函數求導根據單調性求最值得到證明.【詳解】解；（1）函數的定義域為，當時，恒成立，則在遞減，至多一零點當時，解得，解得，所以在遞減.在遞增函數要有兩個零點，則最小值，解得經檢驗，即，則在有一個零點.又，，令，，則恒成立.所以在單調遞增，即所以，即，則在必有一零點.所以時，函數有兩個零點，（2）因為，為的兩個零點，所以即，不妨礙，則即要證，只需證，只需證，只需證，只需證，只需證，令，則，現在只需證設，則，所以在單調遞增，即所以本題考查了函數的零點問題，證明不等式，技巧強，綜合性大，意在考查學生綜合應用能力.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】試題分析：（Ⅰ）由兩點間距離公式求出圓C的半徑，由此能求出圓C的方程；（Ⅱ）作CD⊥AB于D，則CD平分線段AB，從在則|AD|＝|AB|＝4，由勾股定理求出CD，由點到直線的距離公式求出CD，由此能求出m試題解析：（Ⅰ）解：圓的半徑，從而圓的方程為．（Ⅱ）解：作于，則平分線段，所以．在直角三角形中，．由點到直線的距離公式，得，所以，解得．考點：圓的標準方程；直線與圓相交的性質20、(1)(2)【解析】分析：（1）聯立直線和橢圓方程得到，∴，由點點距離公式得到AB的長度；（2）聯立直線和橢圓得到t的二次方程，根據韋達定理得到，進而得到范圍.詳解：（1）曲線的參數方程：（為參數），曲線的普通方程為．當時，直線的方程為，代入，可得，∴.∴；（2）直線參數方程代入，得．設對應的參數為，∴．點睛：這個題目考查了參數方程化為普通方程的方法，極坐標化為直角坐標的方法，以及極坐標中極徑的幾何意義，極徑代表的是曲線上的點到極點的距離，在參數方程和極坐標方程中，能表示距離的量一個是極徑，一個是t的幾何意義，其中極徑多數用于過極點的曲線，而t的應用更廣泛一些.21、（1）或（2）存在，使得不等式成立，詳見解析【解析】

（1）求出導函數，得切線斜率，寫出切線方程，由切線過點可求得參數，從而得切線方程；（2），要使恒成立，則是的極小值點，先由此結論求出參數，然后驗證是極小值，也是最小值點．【詳解】（1）∴曲線在處的切線方程為又切線過點∴∴或（2）的定義域為，要使恒成立，則是的極小值點.∵∴，∵，∴此時，，當時，，當時，，∴在處取得極小值1，∴當時，，當時，，即∴當時，恒成立，∴本題考查導數的幾何意義，考查用導數研究不等