上海市東實驗學校2025屆數學高二第二學期期末質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線的傾斜角是（）A． B． C． D．2．已知集合，，則（）A． B． C． D．3．在的二項展開式中，的系數為（）A． B． C． D．4．一個盒子里有6支好晶體管，5支壞晶體管，任取兩次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶體管時，則第二支也是好晶體管的概率為（）A．23B．512C．75．已知隨機變量X服從正態分布Na,4，且PX>1=0.5A．1B．3C．2D．46．已知函數（為自然對數的底），若方程有且僅有四個不同的解，則實數的取值范圍是（）．A． B． C． D．7．如圖，可導函數在點處的切線方程為，設，為的導函數，則下列結論中正確的是（）A．，是的極大值點B．，是的極小值點C．，不是的極值點D．，是是的極值點8．已知某隨機變量服從正態分布，且，則（）A． B． C． D．9．函數則函數的零點個數是（）A． B． C． D．10．轉化為弧度數為（）A． B． C． D．11．已知平面向量，的夾角為，且，，則（）A． B． C． D．12．已知命題p：?x∈R，2x>0；q：?x0∈R，x＋x0＝－1．則下列命題為真命題的是()A．p∧q B．(┐p)∧(┐q) C．(┐p)∧q D．p∧(┐q)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將極坐標方程化為直角坐標方程得________．14．的二項展開式中項的系數為________.15．記曲線與直線，所圍成封閉圖形的面積為，則________．16．如圖，邊長為的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區域，在正方形中隨機撒粒豆子，粒中有粒落在陰影區域，則陰影區域的面積約為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在矩形中，，，為線段的中點，如圖1，沿將折起至，使，如圖2所示．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值．18．（12分）某廠生產的產品在出廠前都要做質量檢測，每一件一等品都能通過檢測，每一件二等品通過檢測的概率為.現有10件產品，其中6件是一等品，4件是二等品.(Ⅰ)隨機選取1件產品，求能夠通過檢測的概率；(Ⅱ)隨機選取3件產品，其中一等品的件數記為，求的分布列；(Ⅲ)隨機選取3件產品，求這三件產品都不能通過檢測的概率.19．（12分）已知，，曲線在點處的切線平分圓C：的周長.（1）求a的值；（2）討論函數的圖象與直線的交點個數.20．（12分）已知函數.(1)當時，若在上恒成立，求的取值范圍；(2)當時，證明：.21．（12分）如圖，已知正三棱柱的高為3，底面邊長為，點分別為棱和的中點．（1）求證：直線平面；（2）求二面角的余弦值．22．（10分）某地區為了解群眾上下班共享單車使用情況，根據年齡按分層抽樣的方式調查了該地區50名群眾，他們的年齡頻數及使用共享單車人數分布如下表：年齡段20~2930~3940~4950~60頻數1218155經常使用共享單車61251（1）由以上統計數據完成下面的列聯表，并判斷是否有95%的把握認為以40歲為分界點對是否經常使用共享單車有差異？年齡低于40歲年齡不低于40歲總計經常使用共享單車不經常使用共享單車總計附：，.0.250.150.100.0500.0250.0101.3232.0722.7063.8415.0246.635（2）若采用分層抽樣的方式從年齡低于40歲且經常使用共享單車的群眾中選出6人，再從這6人中隨機抽取2人，求這2人中恰好有1人年齡在30~39歲的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據直線方程求得斜率，根據斜率與傾斜角之間的關系，即可求得傾斜角.【詳解】設直線的傾斜角為，故可得，又，故可得.故選：D.本題考查由直線的斜率求解傾斜角，屬基礎題.2、B【解析】

可求出集合B，然后進行交集的運算即可．【詳解】B＝{x|x≤2}；∴A∩B＝{1，2}．故選：B．本題考查描述法、列舉法表示集合的定義，以及交集的運算．3、C【解析】

因為,可得時，的系數為，C正確.4、D【解析】試題分析：由題意，知取出一好晶體管后，盒子里還有5只好晶體管，4支壞晶體管，所以若已知第一支是好晶體管，則第二支也是好晶體管的概率為59考點：等可能事件的概率．5、A【解析】試題分析：正態分布曲線關于均值對稱，故均值a=1,選A.考點：正態分布與正態曲線.6、D【解析】

首先需要根據方程特點構造函數,將方程根的問題轉化為函數零點問題，并根據函數的奇偶性判斷出函數在上的零點個數，再轉化成方程解的問題，最后利用數形結合思想，構造兩個函數，轉化成求切線斜率問題，從而根據斜率的幾何意義得到解.【詳解】因為函數是偶函數，，所以零點成對出現，依題意，方程有兩個不同的正根，又當時，，所以方程可以化為：，即，記，，設直線與圖像相切時的切點為，則切線方程為，過點，所以或（舍棄），所以切線的斜率為，由圖像可以得.選D.本題考查函數的奇偶性、函數零點、導數的幾何意義，考查函數與方程思想、數形結合思想、轉化與化歸思想，突顯了直觀想象、數學抽象、邏輯推理的考查.屬中檔題.7、B【解析】

由圖判斷函數的單調性，結合為在點P處的切線方程，則有，由此可判斷極值情況.【詳解】由題得，當時，單調遞減，當時，單調遞增，又，則有是的極小值點，故選B.本題通過圖象考查導數的幾何意義、函數的單調性與極值，分析圖象不難求解.8、A【解析】

直接利用正態分布曲線的對稱性求解．【詳解】，且，．．故選：A．本題考查正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查正態分布中兩個量和的應用，考查曲線的對稱性，屬于基礎題．9、A【解析】

通過對式子的分析，把求零點個數轉化成求方程的根，結合圖象，數形結合得到根的個數，即可得到零點個數．【詳解】函數的零點即方程和的根，函數的圖象如圖所示：由圖可得方程和共有個根，即函數有個零點,故選：A.本題考查函數的零點與方程的根的個數的關系，注意結合圖象，利用數形結合求得結果時作圖很關鍵，要標準．10、D【解析】已知180°對應弧度，則轉化為弧度數為.本題選擇D選項.11、C【解析】分析：根據向量的運算，化簡，由向量的數量積定義即可求得模長．詳解：平面向量數量積，所以所以選C點睛：本題考查了向量的數量積及其模長的求法，關鍵是理解向量運算的原理，是基礎題．12、D【解析】分析：分別判斷p，q的真假即可.詳解：指數函數的值域為(0，＋∞)，對任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p為真命題；x2＋x＋1＝2＋>0恒成立,不存在x0∈R，使x＋x0＝－1成立，故q為假命題，則p∧q，┐p為假命題，┐q為真命題，┐p∧┐q，┐p∧q為假命題，p∧┐q為真命題．故選：D.點睛：本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了指數函數的性質與二次函數方面的知識.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

在曲線極坐標方程兩邊同時乘以，由可將曲線的極坐標方程化為普通方程.【詳解】在曲線極坐標方程兩邊同時乘以，得，化為普通方程得，即，故答案為：.本題考查曲線極坐標方程與普通方程之間的轉化，解題時充分利用極坐標與普通方程之間的互化公式，考查運算求解能力，屬于中等題.14、60【解析】

先寫出二項展開式的通項，，令，進而可求出結果.【詳解】因為的二項展開式的通項為：，令，則，所以項的系數為.故答案為：本題主要考查求指定項的系數，熟記二項式定理即可，屬于常考題型.15、【解析】

由曲線與直線聯立，求出交點，以確定定積分中的取值范圍，最后根據定積分的幾何意義表示出區域的面積，根據定積分公式即可得到答案。【詳解】聯立，得到交點為，故曲線與直線，所圍成封閉圖形的面積；故答案為本題考查利用定積分求面積，確定被積區間與被積函數是解題的關鍵，屬于基礎題。16、.【解析】分析：利用幾何概型的概率公式進行求解.解析：正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區域內的概率，∴．點睛：本題考查幾何概型的應用，處理幾何概型問題的關鍵在于合理選擇幾何模型（長度、角度、面積和體積等），一般原則是“一個變量考慮長度、兩個變量考慮面積、三個變量考慮體積）.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】試題分析：（1）由已知條件證明出平面，根據面面垂直的判定定理證明出平面平面；（2）取BE的中點為,以為坐標原點，以過點且平行于的直線為軸，過點且平行于的直線為軸，直線為軸，建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，設平面的法向量為，平面的法向量為，由線面垂直的性質定理，分別求出的坐標，求出二面角的余弦值．試題解析：（1）證明：在圖1中連接，則，，．∵，，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）解：取中點，連接，∵，∴，∵平面平面，∴平面．以為坐標原點，以過點且平行于的直線為軸，過點且平行于的直線為軸，直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系，則，，，，，，，，．設平面的法向量為，平面的法向量為，由可得；由可得；則，由圖形知二面角的平面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為．18、（1）；（2）分布列見解析；（3）.【解析】

（Ⅰ）設隨機選取一件產品，能夠通過檢測的事件為A，事件A包括兩種情況，一是抽到的是一個一等品，二是抽到的是一個二等品，這兩種情況是互斥的，根據互斥事件的概率公式得到結果；（II）由題意知X的可能取值是0，1，2，3，結合變量對應的事件和等可能事件的概率，寫出變量的概率，寫出分布列；（III）隨機選取3件產品，這三件產品都不能通過檢測，包括兩個環節，第一這三個產品都是二等品，且這三件都不能通過檢測，根據相互獨立事件同時發生的概率得到結果．【詳解】（Ⅰ）設隨機選取一件產品，能夠通過檢測的事件為事件等于事件“選取一等品都通過檢測或者是選取二等品通過檢測”；(Ⅱ)由題可知可能取值為0,1,2,3.,,,.故的分布列為

0

1

2

3

(Ⅲ)設隨機選取3件產品都不能通過檢測的事件為事件等于事件“隨機選取3件產品都是二等品且都不能通過檢測”所以，.本題考查離散型隨機變量的分布列，考查等可能事件的概率，本題是一個概率的綜合題目19、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）求得曲線在點處的切線，根據題意可知圓C的圓心在此切線上，可得a的值.（2）根據得出極值，結合單調區間和函數圖像，分類討論的值和交點個數。【詳解】（1），∴，，所以曲線在點處的切線方程為由切線平分圓C：的周長可知圓心在切線上，∴，∴（2）由（1）知，，令，解得或當或時，，故在，上為增函數；當時，，故在上為減函數.由此可知，在處取得極大值在處取得極小值大致圖像如圖：當或時，的圖象與直線有一個交點當或時，的圖象與直線有兩個交點當時，的圖象與直線有3個交點.本題考查利用導數求切線，研究單調區間，考查數形結合思想求解交點個數問題，屬于基礎題.20、（1）（2）見解析【解析】

(1)在上恒成立即在上恒成立，構造新函數求最值即可；（2）對x分類討論，轉證的最值與零的關系即可.【詳解】解：（1）由，得在上恒成立.令，則.當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增.故的最小值為.所以，即的取值范圍為.（2）因為，所以，.令，則.當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.所以，即當時，，所以在上單調遞減.又因為所以當時，當時，于是對恒成立.利用導數證明不等式常見類型及解題策略(1)構造差函數.根據差函數導函數符號，確定差函數單調性，利用單調性得不等量關系，進而證明不等式.（2）根據條件，尋找目標函數.一般思路為利用條件將求和問題轉化為對應項之間大小關系，或利用放縮、等量代換將多元函數轉化為一元函數.21、（1）詳見解析；（2）．【解析】

取BC中點F，連接FE，FD，可證平面AFDE，則，求解三角形證明，再由線面垂直的判定可得直線平面BCE；

以F為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，分別求出平面BED與平面BCD的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．【詳解】（1）取的中點，連結，如圖，由題意知，四邊形為矩形，且．因為為棱的中點，所以，因為，所以，因為，所以平面，所以．又,所以平面．（2）以F為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則0，，0，，，

，，

設平面BED的一個法向量為，

由，取，得．

取平面BCD的一個法向量為，

．

且二面角為銳角，

二面角的余弦值為．本題考查線面垂直的判定，利用空間向量求解二面角的余弦值，考查空間想象能力與思維能力，屬于中檔題．22、(1)見解析;(2)【解析】

（1）根據題意填寫列聯表,由表中數據計算觀測值,對照臨界值得出結論；（2）用分層抽樣法選出6人,利用列舉法求出基本事件數,再計算所求的概率值.【詳解】(1)根據題意填寫2×2列聯表如下:年齡低于40歲年齡不低于40歲總計經常使用共享單車18624不經常使用共享單車121436總計302050由表中數據,計算所以沒有95%的把握認為以