陜西省咸陽市永壽縣中學2025屆數學高二第二學期期末統考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．定義在上的奇函數滿足，且在上單調遞增，則下列結論中正確的是（）A.B.C.D.2．若復數是純虛數，則（）A． B． C． D．3．已知函數，則（）A．是偶函數，且在R上是增函數 B．是奇函數，且在R上是增函數C．是偶函數，且在R上是減函數 D．是奇函數，且在R上是減函數4．記為虛數集，設，．則下列類比所得的結論正確的是（）A．由，類比得B．由，類比得C．由，類比得D．由，類比得5．用反證法證明命題：若整系數一元二次方程有有理數根，那么、、中至少有一個是偶數時，下列假設中正確的是（）A．假設、、都是偶數 B．假設、、都不是偶數C．假設、、至多有一個偶數 D．假設、、至多有兩個偶數6．一次考試中，某班學生的數學成績近似服從正態分布，若，則該班數學成績的及格（成績達到分為及格）率可估計為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線的焦距為，其漸近線方程為，則焦點到漸近線的距離為（）A．1 B． C．2 D．8．已知Y＝5X＋1，E(Y)＝6，則E(X)的值為A．1 B．5 C．6 D．79．已知函數，若有且僅有兩個整數，使得，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．以為焦點的拋物線的標準方程是（）A． B． C． D．11．定義運算＝ad－bc，若復數z滿足＝－2，則（）A．1－i B．1＋i C．－1＋i D．－1－i12．已知定義在上的偶函數在上單調遞增，則函數的解析式不可能是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．二項式的展開式中，奇數項的二項式系數之和為__________．14．二項式的展開式中第10項是常數項,則常數項的值是______(用數字作答).15．已知是虛數單位，則復數的模為______．16．已知函數,若存在實數，滿足，且，則的取值范圍是______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，且曲線在點處的切線與直線平行.（1）求函數的單調區間；（2）若關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍.18．（12分）已知，，求；；；設，求和：.19．（12分）已知函數.（1）畫出函數的大致圖象，并寫出的值域；（2）若關于的不等式有解，求實數的取值范圍.20．（12分）完成下列證明：（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求證：.21．（12分）為了調查某社區居民每天參加健身的時間，某機構在該社區隨機采訪男性、女性各50名，其中每人每天的健身時間不少于1小時稱為“健身族”，否則稱其為"非健身族”，調查結果如下：健身族非健身族合計男性401050女性302050合計7030100（1）若居民每人每天的平均健身時間不低于70分鐘，則稱該社區為“健身社區”.已知被隨機采訪的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分時間分別是1.2小時，0.8小時，1.5小時，0.7小時，試估計該社區可否稱為“健身社區”？（2）根據以上數據，能否在犯錯誤的概率不超過5%的情況下認為“健身族”與“性別”有關？參考公式：，其中.參考數據：0.500.400.250.050.0250.0100.4550.7081.3213.8405.0246.63522．（10分）（1）3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒子至多放1個球，共有多少種放法？（2）3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒子放球量不限，共有多少種放法？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析：由可得：，所以函數的周期，又因為是定義在R上的奇函數，所以，又在上單調遞增，所以當時，，因此，，所以。考點：函數的性質。2、B【解析】

根據純虛數的定義求解即可.【詳解】因為復數是純虛數,故,解得.故選：B本題主要考查了根據純虛數求解參數的問題,屬于基礎題.3、D【解析】

根據題意，由函數的解析式可得f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），則函數f（x）為奇函數，由指數函數的性質可得y＝（）x在R上為減函數，y＝2x在R上為增函數，則函數f（x）＝（）x﹣2x在R上為減函數，據此分析可得答案．【詳解】根據題意，f（x）＝（）x﹣2x，有f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），則函數f（x）為奇函數，又由y＝（）x在R上為減函數，y＝2x在R上為增函數，則函數f（x）＝（）x﹣2x在R上為減函數，故選：D．本題考查函數的奇偶性與單調性的判斷，關鍵是掌握函數奇偶性、單調性的判斷方法，屬于基礎題．4、C【解析】選項A沒有進行類比，故選項A錯誤；選項B中取不大于，故選項B錯誤；選項D中取，但是均為虛數沒辦法比較大小，故選項D錯誤，綜上正確答案為C.【點睛】本題考查復數及其性質、合情推理，涉及類比思想、從特殊到一般思想和轉化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力，屬于中等難題.本題可以利用排除法，先排除B,再利用特例法取不大于，排除B,再取，但是均為虛數沒辦法比較大小，排除D，可得正確選項為C.5、B【解析】分析：本題考查反證法的概念，邏輯用語，否命題與命題的否定的概念，邏輯詞語的否定．根據反證法的步驟，假設是對原命題結論的否定，故只須對“b、c中至少有一個偶數”寫出否定即可．解答：解：根據反證法的步驟，假設是對原命題結論的否定“至少有一個”的否定“都不是”．即假設正確的是：假設a、b、c都不是偶數故選B．點評：一些正面詞語的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一個”的否定：“至少有兩個”；“至少有一個”的否定：“一個也沒有”；“是至多有n個”的否定：“至少有n+1個”；“任意的”的否定：“某個”；“任意兩個”的否定：“某兩個”；“所有的”的否定：“某些”．6、B【解析】

由題意得出正態密度曲線關于直線對稱，由正態密度曲線的對稱性得知所求概率為可得出結果.【詳解】由題意，得，又，所以，故選B.本題考查正態分布在指定區間上概率的計算，解題時要充分利用正態密度曲線的對稱性轉化為已知區間的概率來計算，考查運算求解能力，屬于中等題.7、A【解析】

首先根據雙曲線的焦距得到，再求焦點到漸近線的距離即可.【詳解】由題知：，，.到直線的距離.故選：A本題主要考查雙曲線的幾何性質，同時考查了點到直線的距離公式，屬于簡單題.8、A【解析】分析：根據題意及結論得到E(X)=詳解：Y＝5X＋1，E(Y)＝6，則E(X)=故答案為A.點睛：這個題目考查的是期望的計算，兩個變量如果滿足線性關系，.9、B【解析】分析：數，若有且僅有兩個整數，使得，等價于有兩個整數解，構造函數，利用導數判斷函數的極值點在，由零點存在定理，列不等式組，從而可得結果..詳解：因為所以函數，若有且僅有兩個整數，使得，等價于有兩個整數解，設，令，令恒成立，單調遞減，又，存在，使遞增，遞減，若解集中的整數恰為個，則是解集中的個整數，故只需，故選B.點睛：本題主要考查不等式有解問題以及方程根的個數問題，屬于難題.不等式有解問題不能只局限于判別式是否為正，不但可以利用一元二次方程根的分布解題，還可以轉化為有解（即可）或轉化為有解（即可）,另外，也可以結合零點存在定理，列不等式（組）求解.10、A【解析】

由題意和拋物線的性質判斷出拋物線的開口方向，并求出的值，即可寫出拋物線的標準方程．【詳解】因為拋物線的焦點坐標是，

所以拋物線開口向右，且=2，

則拋物線的標準方程.

故選：A．本題考查拋物線的標準方程以及性質，屬于基礎題．11、D【解析】分析：直接利用新定義，化簡求解即可.詳解：由＝ad－bc，則滿足＝－2，可得：，，則.故選D.點睛：本題考查新定義的應用，復數的除法運算法則的應用，以及共軛復數，考查計算能力.12、D【解析】

根據奇偶函數定義域關于原點對稱求得的值.在根據單調性判斷出正確選項.【詳解】由于函數為偶函數，故其定義域關于原點對稱，即，故函數的定義域為，且函數在上遞增，故在上遞減.對于A選項，，符合題意.對于B選項，符合題意.對于C選項，符合題意.對于D選項，，在上遞減，不符合題意，故本小題選D.本小題主要考查函數的奇偶性，考查函數的單調性，考查含有絕對值函數的理解，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用二項式展開式的二項式系數的性質求解.【詳解】由于的展開式的奇數項的二項式系數之和為，所以的展開式的奇數項的二項式系數之和為.故答案為：本題主要考查二項式展開式的二項式系數的性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.14、【解析】

利用二項展開式的通項公式求出展開式的第10項，令x的指數為0，求出n的值，代入即可求解．【詳解】∵二項式的展開式中第10項是常數項，∴展開式的第10項為，∴n-9-3=0，解得n=12，∴常數值為故答案為：.本題考查二項式系數的性質，考查對二項式通項公式的運用，屬于基礎題，15、【解析】

先由復數除法化簡復數，再求得復數模。【詳解】由題意可得，所以，填。本題主要考查復數的除法以及復數的模，屬于簡單題.16、【解析】

根據函數的性質得出之間的關系，從而可求得取值范圍．【詳解】設，則與的圖象的交點的橫坐標依次為（如圖），∵，且，，∴，，∴，，∴，∵，∴，故答案為．本題考查函數零點與方程根的分布，解題關鍵是確定之間的關系及范圍．如本題中可結合圖象及函數解析式得出．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調遞減區間是，單調遞增區間是；（2）.【解析】

（1）根據切線的斜率可求出,得，求導后解不等式即可求出單調區間.（2）原不等式可化為恒成立，令，求導后可得函數的最小值，即可求解.【詳解】（1）函數的定義域為，，又曲線在點處的切線與直線平行所以，即，由且，得，即的單調遞減區間是由得，即的單調遞增區間是.（2）由（1）知不等式恒成立可化為恒成立即恒成立令當時，，在上單調遞減.當時，，在上單調遞增.所以時，函數有最小值由恒成立得，即實數的取值范圍是.本題主要考查了導數的幾何意義，利用導數求函數的單調區間，最值，恒成立問題，屬于中檔題.18、（1）－2；（2）；（3）【解析】

（1）令求得，令求得所有項的系數和，然后可得結論；（2）改變二項式的“－”號為“＋”號，令可得；（3）由二項展開式通項公式求得，再得，變形，然后由組合數的性質求和．【詳解】（1）在中，令，得，令，得，∴；（2）由題意，令，得；（3）由題意，又，∴，∴，∴．本題考查二項式定理，考查賦值法求系數和問題，考查組合數的性質及二項式系數的性質．解題時難點在于組合數的變形，變形后才能求和．19、（1）作圖見解析；值域為（2）【解析】

（1）將轉化為分段函數，即可畫出函數圖象；（2）根據（1）求得分段函數，可得分段函數表達式，畫出其函數圖象，求得，即可求得實數的取值范圍.【詳解】（1）∵，∴的圖象的圖像如圖，的值域為.根據圖象可得：的值域為.（2）由（1）得，畫出其函數圖象：根據其分段函數圖象特征可得:，由關于的不等式有解等價于，即.本題主要考查了求分段函數的值域和根據不等式有解求參數范圍問題，解題關鍵是掌握通過函數圖象求值域的方法和根據不等式有解求參數的解法，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.20、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析.【解析】

（Ⅰ）運用分析法，兩邊平方，化簡配方即可得證；（Ⅱ）運用變形和基本不等式，即可得證。【詳解】（I）要證：≥只需證：≥，即證：，即證：,即證：，即證：，這顯然成立，故.（II）依題意，因為，故，故當且僅當，即，即時等號成立.本題主要考查不等式的證明的方法——分析法和綜合法，意在考查學生運用分析法和使用基本不等式時涉及到的變形能力，化簡能力以及推理能力。21、（1）該社區不可稱為“健身社區”；（2）能在犯錯誤概率不超過5%的情況下認為“健康族”與“性別”有關.【解析】

（1）計算平均數，再比較數據大小作出判斷（2）先求卡方，再對照參考數據作出判斷【詳解】（1）隨機抽樣的100名居民每人每天的平均健身時間為小時，由此估計該小區居民每人每天的平均健身時間為1.15小時，因為1.15小時小時=70分鐘，所以該社區不可稱為“健身社區”；（2）由聯立表可得，，所以能在犯錯誤概率不超過5%的情況下認為“健康族”與“性別”有關.本題考查計算平均數以及卡方計算，考查基本分析求解判斷能力，屬基礎題.22、（1）.（2）【解析】

（1）把三個不同的小球分別放入5個不同的盒子里(每個盒子至多放一個球)，實際上是從5個位置選3個位置用3個元素進行排列，即可求得答案.（2）