黑龍江省饒河縣高級中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二下期末復(fù)習(xí)檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，滿足，，為球的直徑，且，則點(diǎn)到底面的距離為A． B． C． D．2．將紅、黑、藍(lán)、黃4個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少放一個球，且紅球和藍(lán)球不能放在同一個盒子，則不同的放法的種數(shù)為（）A．18B．24C．30D．363．函數(shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．若函數(shù)的圖象與直線相切，則()A． B． C． D．5．已知，都是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為（）A． B．C． D．7．觀察如圖中各多邊形圖案，每個圖案均由若干個全等的正六邊形組成，記第個圖案中正六邊形的個數(shù)是.由，，，…，可推出（）A． B． C． D．8．當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳的含量大約每經(jīng)過年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.在一次考古挖掘中，考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)一批魚化石，經(jīng)檢測其碳14含量約為原始含量的，則該生物生存的年代距今約（）A．萬年 B．萬年 C．萬年 D．萬年9．定積分的值為()A． B． C． D．10．等差數(shù)列an中的a2?，??A．5 B．4 C．3 D．211．a(chǎn)，b為空間兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與a，b都垂直，斜邊以為旋轉(zhuǎn)軸選擇，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線與a成60°角時，與b成30°角；②當(dāng)直線與a成60°角時，與b成60°角；③直線與a所成角的最小值為45°；④直線與a所成角的最大值為60°；其中正確的是_______.（填寫所以正確結(jié)論的編號）.A．①③ B．①④ C．②③ D．②④12．有一散點(diǎn)圖如圖所示，在5個數(shù)據(jù)中去掉（3，10）后，下列說法正確的是（）A．殘差平方和變小 B．方差變大C．相關(guān)指數(shù)變小 D．解釋變量與預(yù)報變量的相關(guān)性變?nèi)醵⑻羁疹}：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，，則方程的實(shí)根個數(shù)為____________.14．已知棱長為1的正四面體，的中點(diǎn)為D，動點(diǎn)E在線段上，則直線與平面所成角的取值范圍為____________；15．已知橢圓的參數(shù)方程為，則該橢圓的普通方程是_________.16．已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2020年開始，國家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科目滿分100分．為了應(yīng)對新高考，某高中從高一年級1000名學(xué)生（其中男生550人，女生450人）中，根據(jù)性別分層，采用分層抽樣的方法從中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．（1）學(xué)校計劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個科目，為了了解學(xué)生對這兩個科目的選課情況，對抽取到的100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查（假定每名學(xué)生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目），如表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表．請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)？說明你的理由；（2）在抽取到的女生中按（1）中的選課情況進(jìn)行分層抽樣，從中抽出9名女生，再從這9名女生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)這4人中選擇“地理”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．選擇“物理”選擇“地理”總計男生10女生25總計附參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.050.013.8416.63518．（12分）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有極值.(1)求常數(shù)的值;(2)求曲線與軸所圍成的圖形的面積.19．（12分）已知數(shù)列的前項的和，滿足，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項的和.20．（12分）已知數(shù)列滿足：，（R，N*）．（1）若，求證：；（2）若，求證：．21．（12分）已知函數(shù)，，.（1）若，求不等式的解集；（2）若對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）一個口袋內(nèi)有個不同的紅球，個不同的白球，（1）從中任取個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？（2）若取一個紅球記分，取一個白球記分，從中任取個球，使總分不少于分的取法有多少種？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】∵三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA為球O的直徑且PA=4，∴球心O是PA的中點(diǎn)，球半徑R=OC=PA＝2，過O作OD⊥平面ABC，垂足是D，∵△ABC滿足AB＝2,∠ACB＝90°，∴D是AB中點(diǎn)，且AD=BD=CD=∴OD=∴點(diǎn)P到底面ABC的距離為d=2OD=2,故選C.點(diǎn)睛：本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，關(guān)鍵是分析出球心O到平面ABC的距離，找到的外接圓的圓心D即可有OD⊥平面ABC，求出OD即可求出點(diǎn)到底面的距離.2、C【解析】解：由題意知4個小球有2個放在一個盒子里的種數(shù)是C4把這兩個作為一個元素同另外兩個元素在三個位置排列，有A3而紅球和藍(lán)球恰好放在同一個盒子里有A3∴編號為紅球和藍(lán)球不放到同一個盒子里的種數(shù)是C423、B【解析】

由函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)等價于函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點(diǎn)，畫出與的大致圖象，根據(jù)使得函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點(diǎn)，得到，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點(diǎn)等價于函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點(diǎn)，因為，所以函數(shù)與函數(shù)唯一交點(diǎn)為，又因為，且，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞減函數(shù)，又因為是最小正周期為2，最大值為的正弦函數(shù)，所以可得與函數(shù)的大致圖象，如圖所示，所以要使得函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個焦點(diǎn)，則，因為，則，，所以，解得，又因為，所以實(shí)數(shù)的范圍為，故選B.本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，其中解答中把唯一零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點(diǎn)問題，結(jié)合圖象進(jìn)行分析研究是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.4、B【解析】

設(shè)切點(diǎn)為，由可解得切點(diǎn)坐標(biāo)與參數(shù)的值。【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則由題意知即解得或者故選B高考對導(dǎo)數(shù)幾何意義的考查主要有以下幾個命題角度：（1）已知切點(diǎn)求切線方程；（2）已知切線方程(或斜率)求切點(diǎn)或曲線方程；（3）已知曲線求切線傾斜角的取值范圍．5、D【解析】；，與沒有包含關(guān)系，故為“既不充分也不必要條件”.6、D【解析】

求導(dǎo)得到，函數(shù)單調(diào)遞減，故，解得答案.【詳解】，則恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞減，，故，解得或.故選：.本題考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式，意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.7、A【解析】

觀察圖形，發(fā)現(xiàn)，第一個圖案中有一個正六邊形，第二個圖案中有7個正六邊形；…根據(jù)這個規(guī)律，即可確定第10個圖案中正六邊形的個數(shù)．【詳解】由圖可知，，…故選A.此類題要能夠結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：當(dāng)時，8、C【解析】

根據(jù)實(shí)際問題，可抽象出，按對數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)該生物生存的年代距今是第個5730年，到今天需滿足，解得：，萬年.故選C.本題考查了指數(shù)和對數(shù)運(yùn)算的實(shí)際問題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸和計算能力.9、C【解析】

根據(jù)微積分基本定理，可知求解，即可.【詳解】故選：C本題考查微積分基本定理，屬于較易題.10、D【解析】

求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)得到a2,a4030是方程x【詳解】由題意可知：f'x=x2-8x+6，又a2,a4030是函數(shù)f∴l(xiāng)og2本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，函數(shù)的極值，對數(shù)運(yùn)算，綜合性強(qiáng)，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.11、C【解析】

由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，構(gòu)建如圖所示的邊長為1的正方體，，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸，則點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，以坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果．【詳解】解：由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1，故，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸，則點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，以坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，直線的方向單位向量，1，，，直線的方向單位向量，0，，，設(shè)點(diǎn)在運(yùn)動過程中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)，，，其中為與的夾角，，，在運(yùn)動過程中的向量，，，，，設(shè)與所成夾角為，，則，，，，③正確，④錯誤．設(shè)與所成夾角為，，，當(dāng)與夾角為時，即，，，，，，，此時與的夾角為，②正確，①錯誤．故選：．本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．12、A【解析】

由散點(diǎn)圖可知，去掉后，與的線性相關(guān)性加強(qiáng)，由相關(guān)系數(shù)，相關(guān)指數(shù)及殘差平方和與相關(guān)性的關(guān)系得出選項.【詳解】由散點(diǎn)圖可知，去掉后，與的線性相關(guān)性加強(qiáng)，且為正相關(guān)，所以變大，變大，殘差平方和變小，故選A.該題考查的是有關(guān)線性相關(guān)性強(qiáng)弱的問題，涉及到的知識點(diǎn)有相關(guān)系數(shù)，相關(guān)指數(shù)，以及殘差平方和與相關(guān)性的關(guān)系，屬于簡單題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】分析：函數(shù)是偶函數(shù)，還是周期函數(shù)，畫出函數(shù)圖像，轉(zhuǎn)化為的圖像交點(diǎn)問題來求解詳解：，則，周期為當(dāng)時，由圖可得，則方程的實(shí)根個數(shù)為點(diǎn)睛：本題主要考查的是抽象函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵在于根據(jù)題意，分析出函數(shù)的解析式，作出函數(shù)圖象，考查了學(xué)生的作圖能力和數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題。14、；【解析】

當(dāng)與重合時，直線與平面所成角為0最小，當(dāng)從向移動時，直線與平面所成角逐漸增大，到達(dá)點(diǎn)時角最大．【詳解】如圖，是在底面上的射影，是在底面上的射影，由于是中點(diǎn)，則是中點(diǎn)，正四面體棱長為1，則，，，，，∴，，∴．．∴所求角的范圍是．故答案為．本題考查直線與平面所成的角，解題時首先要作出直線與平面所成的角，同時要證明所作角就是要求的角，最后再計算，即一作二證三計算．15、【解析】

利用公式即可得到結(jié)果【詳解】根據(jù)題意，解得故答案為本題主要考查的是橢圓的參數(shù)方程，解題的關(guān)鍵是掌握，屬于基礎(chǔ)題16、【解析】

令，令，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究得出函數(shù)的單調(diào)性，從而分別求出的最小值和的最大值，從而求得的范圍，得到結(jié)果.【詳解】由令，則對恒成立，所以在上遞減，所以，令，則對恒成立，所以在上遞增，所以，所以，故的取值范圍是.該題考查的是有關(guān)參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，涉及到的知識點(diǎn)有構(gòu)造新函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，結(jié)合條件，求得結(jié)果，將題的條件轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）列聯(lián)表見解析；有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)．（2）分布列見解析；【解析】

（1）根據(jù)分層抽樣，求得抽到男生、女生的人數(shù)，得到的列聯(lián)表，求得的值，即可得到結(jié)論；（2）求得這4名女生中選擇地理的人數(shù)可為，求得相應(yīng)的概率，得到分布列，利用期望的公式計算，即可求解.【詳解】（1）由題意，抽取到男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，所以列聯(lián)表為：選擇“物理”選擇“地理”總計男生451055女生252045總計7030100所以，所以有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)．（2）從45名女生中分層抽樣抽9名女生，所以這9名女生中有5人選擇物理，4人選擇地理，9名女生中再選擇4名女生，則這4名女生中選擇地理的人數(shù)可為．設(shè)事件發(fā)生概率為，則，，，，．所以的分布列為：01234期望．本題主要考查了獨(dú)立性檢驗及其應(yīng)用，以及離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的計算，其中解答中認(rèn)真審題，得出隨機(jī)變量的取值，求得相應(yīng)的概率，得出分布列，利用公式準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.18、(1);(2).【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在處有極值，由且,解方程組，即可求得的值；（2）利用定積分的幾何意義，先確定確定函數(shù)的積分區(qū)間，被積函數(shù)，再求出原函數(shù)，利用微積分基本定理，結(jié)合函數(shù)的對稱性即可得結(jié)論.【詳解】(1)由題意知,且,即,解得.(2)如圖,由1問知.作出曲線的草圖,所求面積為陰影部分的面積.

由得曲線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是,和,而是上的奇函數(shù),函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱.所以軸右側(cè)陰影面積與軸左側(cè)陰影面積相等.所以所求圖形的面積為.本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、定積分的幾何意義以及微積分基本定理的應(yīng)用，屬于中檔題.已知函數(shù)的極值求參數(shù)的一般步驟是：（1）列方程求參數(shù)；（2）檢驗方程的解的兩邊導(dǎo)函數(shù)符號是否相反.19、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)得到，再得到，兩式作差，判斷出數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而可得出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用錯位相減法，即可求出結(jié)果.【詳解】解：（1）由條件得：,兩式相減得：.........①，則有.....②①-②得：，所以數(shù)列是等差數(shù)列，①當(dāng)，即①即.（2）①，②兩式相減得本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，以及錯位相減法求和，熟記等差數(shù)列的通項公式、求和公式，以及錯位相減法的一般步驟即可，屬于常考題型.20、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明