吉林市普通中學2024-2025學年高二下數學期末聯考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某校開設A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學從中共選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有A．30種 B．35種 C．42種 D．48種2．已知圓柱的軸截面的周長為，則圓柱體積的最大值為（）A． B． C． D．3．直三棱柱中，，，、分別為、的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．4．設復數滿足，則的共軛復數的虛部為（）A．1 B．-1 C． D．5．函數向右平移個單位后得到函數，若在上單調遞增，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．.盒子里有25個外形相同的球，其中10個白的，5個黃的，10個黑的，從盒子中任意取出一球，已知它不是白球，則它是黑球的概率為A．15B．25C．17．定義在上的函數滿足為自然對數的底數），其中為的導函數，若，則的解集為（）A． B． C． D．8．已知，則（）A．36 B．40 C．45 D．529．已知6個高爾夫球中有2個不合格，每次任取1個，不放回地取兩次．在第一次取到合格高爾夫球的條件下，第二次取到不合格高爾夫球的概率為（）A． B． C． D．10．某幾何體的三視圖如圖，其正視圖中的曲線部分為半圓，則該幾何體的表面積為（）．A． B．C． D．11．已知集合，則為（）A． B． C． D．12．下面幾種推理過程是演繹推理的是（）A．在數列|中，由此歸納出的通項公式B．由平面三角形的性質，推測空間四面體性質C．某校高二共有10個班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測各班都超過50人D．兩條直線平行，同旁內角互補，如果和是兩條平行直線的同旁內角，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數對任意的都有，那么不等式的解集為_________。14．若向量，，且，則實數__________．15．《九章算術》卷五《商功》中有如下敘述“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈“芻甍”指的是底面為矩形的對稱型屋脊狀的幾何體，“下廣三丈”是指底面矩形寬三丈，“袤四丈”是指底面矩形長四丈，“上袤二丈”是指脊長二丈，“無寬”是指脊無寬度，“高一丈”是指幾何體的高為一丈．現有一個芻甍如圖所示，下廣三丈，袤四丈，上袤三丈，無廣，高二丈，則該芻甍的外接球的表面積為_______________平方丈．16．對于自然數方冪和（，），，，求和方法如下：23﹣13＝3＋3＋1，33﹣23＝3×22＋3×2＋1，……(n＋1)3﹣n3＝3n2＋3n＋1，將上面各式左右兩邊分別，就會有(n＋1)3﹣13＝＋＋n，解得＝n(n＋1)(2n＋1)，類比以上過程可以求得，A，B，C，D，E，FR且與n無關，則A＋F的值為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）電視傳媒公司為了解某地區電視觀眾對某類體育節目的收視情況，隨機抽取了111名觀眾進行調查，下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節目時間的頻率分布直方圖，將日均收看該體育節目時間不低于41分鐘的觀眾稱為“體育迷”．（1）根據已知條件完成下面的2×2列聯表，并據此資料判斷是否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為"體育迷"與性別有關．性別非體育迷體育迷總計男女1144總計下面的臨界值表供參考：1．141．111．141．241．1111．1141．111k2．1622．6153．8414．1245．5346．86911．828(參考公式：，其中)（2）將上述調查所得到的頻率視為概率，現在從該地區大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數為X，若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列?期望和方差．18．（12分）如圖所示，在四棱錐中，底面，底面為直角梯形，其中，且，，是的中點.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知復數，為虛數單位，且復數為實數．（1）求復數；（2）在復平面內，若復數對應的點在第一象限，求實數的取值范圍．20．（12分）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標準是每車每次租不超過兩小時免費，超過兩小時的收費標準為2元（不足1小時的部分按1小時計算）.有人獨立來該租車點則車騎游.各租一車一次.設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時.（Ⅰ）求出甲、乙所付租車費用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列與數學期望21．（12分）已知函數．（1）若，求a的取值范圍；（2），，求a的取值范圍．22．（10分）已知函數f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)當a＝－3時，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】本小題主要考查組合知識以及轉化的思想.只在A中選有種，只在B中選有種，則在兩類課程中至少選一門的選法有種.2、B【解析】

分析:設圓柱的底面半徑為r，高為h，則4r+2h=12，即2r+h=6，利用基本不等式，可求圓柱體積的最大值．詳解:設圓柱的底面半徑為r，高為h，則4r+2h=12，即2r+h=6，∴2r+h=r+r+h≥3，∴r2h≤∴V=πr2h≤8π，∴圓柱體積的最大值為8π，點睛:(1)本題主要考查圓柱的體積和基本不等式,意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可.3、B【解析】

以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設,則、、、、，，、，設異面直線與所成角為，則，異面直線與所成角的余弦值為.故選：B本題考查了空間向量法求異面直線所成的角，解題的關鍵是建立恰當的坐標系，屬于基礎題.4、A【解析】

先求解出的共軛復數，然后直接判斷出的虛部即可.【詳解】因為，所以，所以的虛部為.故選：A.本題考查共軛復數的概念以及復數的實虛部的認識，難度較易.復數的實部為，虛部為.5、D【解析】

首先求函數，再求函數的單調遞增區間，區間是函數單調遞增區間的子集，建立不等關系求的取值范圍.【詳解】,令解得，若在上單調遞增，,解得：時，.故選D.本題考查了三角函數的性質和平移變換，屬于中檔題型.6、D【解析】解：由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件是從盒子中取出一個不是白球的小球，共有5+10=15種結果，滿足條件的事件是取出的球是一個黑球，共有10種結果，∴根據等可能事件的概率得到P==107、C【解析】

由，以及，聯想到構造函數，所以等價為，通過導數求的單調性，由單調性定義即可得出結果。【詳解】設，等價為，，故在上單調遞減，所以，解得，故選C。本題主要考查利用導數研究函數的單調性的問題，利用單調性定義解不等式，如何構造函數是解題關鍵，意在考查學生數學建模能力。8、A【解析】

利用二項式展開式的通項公式，分別計算和，相加得到答案.【詳解】故答案選A本題考查了二項式的計算，意在考查學生的計算能力.9、B【解析】

記事件第一次取到的是合格高爾夫球，事件第二次取到不合格高爾夫球，由題意可得事件發生所包含的基本事件數，事件發生所包含的基本事件數，然后即可求出答案.【詳解】記事件第一次取到的是合格高爾夫球事件第二次取到不合格高爾夫球由題意可得事件發生所包含的基本事件數事件發生所包含的基本事件數所以故選：B本題考查的是條件概率，較簡單.10、C【解析】幾何體是一個組合體，包括一個三棱柱和半個圓柱，三棱柱的是一個底面是腰為的等腰直角三角形，高是，其底面積為：，側面積為：；圓柱的底面半徑是，高是，其底面積為：，側面積為：；∴組合體的表面積是，本題選擇C選項.點睛：(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關鍵是能夠對給出的三視圖進行恰當的分析，從三視圖中發現幾何體中各元素間的位置關系及數量關系．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應注意重合部分的處理．(3)圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側面積與底面圓的面積之和．11、C【解析】

分別求出集合M，N，和，然后計算.【詳解】解：由，得，故集合由，得，故集合，所以故選：C.本題考查了指數函數的值域，對數函數的定義域，集合的交集和補集運算，屬于基礎題.12、D【解析】分析：演繹推理是由普通性的前提推出特殊性結論的推理．其形式在高中階段主要學習了三段論：大前提、小前提、結論，由此對四個命題進行判斷得出正確選項．詳解：A在數列{an}中，a1=1，，通過計算a2，a3，a4由此歸納出{an}的通項公式”是歸納推理．B選項“由平面三角形的性質，推出空間四邊形的性質”是類比推理C選項“某校高二（1）班有55人，高二（2）班有52人，由此得高二所有班人數超過50人”是歸納推理；；D選項選項是演繹推理，大前提是“兩條直線平行，同旁內角互補，”，小前提是“∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內角”，結論是“∠A+∠B=180°，是演繹推理.綜上得，D選項正確故選：D．點睛：本題考點是進行簡單的演繹推理，解題的關鍵是熟練掌握演繹推理的定義及其推理形式，演繹推理是由普通性的前提推出特殊性結論的推理．演繹推理主要形式有三段論，其結構是大前提、小前提、結論．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

首先構造函數,根據函數的單調性和特殊值解得答案.【詳解】構造函數,則在R單調減,本題考查了利用函數單調性解不等式的知識,根據等式特點熟練構造出函數是本題的關鍵.14、.【解析】依題設，，由∥得，，解得.15、【解析】

連結，交于，可得，即可確定點為芻甍的外接球的球心，利用球的表面積公式即可得到答案．【詳解】如圖，連結，，連結，交于，可得，由已知可得，所以點為芻甍的外接球的球心，該球的半徑為，所以該芻甍的外接球的表面積為．故答案為：本題主要考查多面體外接球表面積的求法，同時考查數形結合思想，屬于中檔題．16、.【解析】分析：先根據推導過程確定A,F取法，即得A＋F的值.詳解：因為,，所以,所以,,所以.點睛：本題考查運用類比方法求解問題，考查歸納觀察能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2×2列聯表答案見解析，在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“體育迷”與性別有關．（2）分布列見解析，，．【解析】

（1）先根據頻率分布直方圖計算出“體育迷”的人數，結合2×2列聯表中的數據可得表中其他數據，最后根據公式計算出的觀測值，再依據臨界值表給出判斷.（2）利用二項分布可得分布列，再利用公式可求期望和方差.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，在抽取的111人中“體育迷”有(人)．由獨立性檢驗的知識得2×2列聯表如下：性別非體育迷體育迷總計男311444女441144總計6424111將2×2列聯表中的數據代入公式計算，得的觀測值．所以在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“體育迷”與性別有關．（2）由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為．由題意知，∴，從而X的分布列為：1123由二項分布的期望與方差公式得，.本題考查頻率分布直方圖的應用、獨立性檢驗，還考查了離散型隨機變量的分布列、數學期望與方差，在計算離散型隨機變量的分布列時，要借助于常見分布如二項分布、超幾何分布等來簡化計算，本題屬于中檔題.18、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】

（1）根據已知可得，可證平面，從而有，再由已知可得，可證平面，即可證明結論；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，求出坐標，再求出平面法向量坐標，根據空間向量的線面角公式，即可求解.【詳解】（Ⅰ）因為底面，底面，所以.又因為，，所以平面.又因為平面，所以.因為，是的中點，所以.又因為，所以平面.而平面，所以.（Ⅱ）因為兩兩垂直，所以以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，于是.設平面的一個法向量為.，.由得，令，則，得.設與平面所成的角為，則.故與平面所成角的正弦值是.本題考查空間線面位置關系，考查直線與平面垂直的證明、用空間向量法求直線與平面所成的角，注意空間垂直間的相互轉化，意在考查邏輯推理和數學計算能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）將代入，利用復數的四則運算法則將復數化為一般形式，由復數的虛部為零求出實數的值，可得出復數；（2）將復數代入復數，并利用復數的乘方法則將該復數表示為一般形式，由題意得出實部與虛部均為正數，于此列不等式組解出實數的取值范圍.【詳解】（1），，由于復數為實數，所以，，解得，因此，；（2）由題意，由于復數對應的點在第一象限，則，解得.因此，實數的取值范圍是.本題考查復數的基本概念，以及復數的幾何意義，解題的關鍵就是利用復數的四則運算法則將復數表示為一般形式，明確復數的實部與虛部，并利用實部與虛部來求解，考查運算求解能力，屬于中等題.20、（Ⅰ）（Ⅱ）ξ

0

2

4

6

8

P

數學期望Eξ=×2+×4+×6+×8=【解析】（1）由題意得，甲，乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率分別為．記甲、乙兩人所付得租車費用相同為事件，則．所以甲、乙兩人所付租車費用相同的概率為．（2）的可能取值為0，2，4，6，8，，，，分布列如下表：

0

2

4

6

8

考點：離散型隨機變量的分布列及概率．21、(1)．(2)．【解析】

（1）f（1）＝|2a+1|﹣|a﹣1|，根據f（1）＞2分別解不等式即可'（2）根據絕對值三角不等式求出f（x）的值域，然后由條件可得f（x）min＞f（y）max﹣6，即﹣3|a|＞3|a|﹣6，解出a的范圍．【詳解】（1）∵f（x