湖南省懷化市中方縣二中2025年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．定義函數(shù)為不大于的最大整數(shù)，對于函數(shù)有以下四個命題：①；②在每一個區(qū)間，上，都是增函數(shù)；③；④的定義域是，值域是.其中真命題的序號是（）A．③④ B．①③④ C．②③④ D．①②④2．下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上為減函數(shù)的是（）A． B． C． D．3．雙曲線的離心率等于2，則實(shí)數(shù)a等于（）A．1 B． C．3 D．64．下列點(diǎn)不在直線(t為參數(shù))上的是()A．(－1，2) B．(2，－1)C．(3，－2) D．(－3，2)5．的展開式中含項的系數(shù)為（）A．-160 B．-120 C．40 D．2006．具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，，滿足一組數(shù)據(jù)如表所示，與的回歸直線方程為，則的值為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，當(dāng)取得極值時，x的值為（）A． B． C． D．8．中，角、、的對邊分別為，，，若，三角形面積為，，則()A．7 B．8 C．5 D．69．角的終邊與單位圓交于點(diǎn),則（）A． B．- C． D．10．若，則()A． B． C．或 D．或11．對33000分解質(zhì)因數(shù)得，則的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是（）A．48 B．72 C．64 D．9612．復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，其中m為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，2） D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某公司從甲、乙、丙、丁四名員工中安排了一名員工出國研學(xué).有人詢問了四名員工，甲說：好像是乙或丙去了.”乙說：“甲、丙都沒去”丙說：“是丁去了”丁說：“丙說的不對.”若四名員工中只有一個人說的對，則出國研學(xué)的員工是___________.14．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，已知，，則_______.15．已知向量與，則的最小值是__________.16．已知，，當(dāng)取得最小值時，__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在△ABC中，a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊，在四面體P-ABC中，S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA與底面ABC所成二面角的大?。畬懗鰧λ拿骟w性質(zhì)的猜想，并證明你的結(jié)論18．（12分）如圖，三棱柱中，，，（1）證明：；（2）若平面

平面，，求點(diǎn)到平面的距離．19．（12分）如圖，一張坐標(biāo)紙上已作出圓及點(diǎn)，折疊此紙片，使與圓周上某點(diǎn)重合，每次折疊都會留下折痕，設(shè)折痕與直線的交點(diǎn)為，令點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若直線與軌跡交于、兩點(diǎn),且直線與以為直徑的圓相切，若，求的面積的取值范圍．20．（12分）已知函數(shù)．（1）若曲線在處切線的斜率為，求此切線方程；（2）若有兩個極值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明：．21．（12分）已知函數(shù)，．(Ⅰ)當(dāng)時，證明：；(Ⅱ)的圖象與的圖象是否存在公切線（公切線：同時與兩條曲線相切的直線）？如果存在，有幾條公切線，請證明你的結(jié)論．22．（10分）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可知函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域與值域，從而可判斷各命題的真假.【詳解】畫出的圖象，如圖所示，可知是最小正周期為1的函數(shù)，當(dāng)時，，可得，①正確；由圖可知，在每一個區(qū)間，上，都是增函數(shù)，②正確；由圖可知，的定義域是，值域是，④正確；由圖可知，，③是錯誤的.真命題的序號是①②④，故選D.本題通過對多個命題真假的判斷，綜合考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的定義域與值域，屬于難題.這種題型綜合性較強(qiáng)，也是高考的命題熱點(diǎn)，同學(xué)們往往因?yàn)槟骋惶幹R點(diǎn)掌握不好而導(dǎo)致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細(xì)心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡單的自己已經(jīng)掌握的知識點(diǎn)入手，然后集中精力突破較難的命題.2、B【解析】

通過對每一個選項進(jìn)行判斷得出答案.【詳解】對于選項：函數(shù)在既不是偶函數(shù)也不是減函數(shù)，故排除；對于選項：函數(shù)既是偶函數(shù)，又在是減函數(shù)；對于選項：函數(shù)在是奇函數(shù)且增函數(shù)，故排除；對于選項：函數(shù)在是偶函數(shù)且增函數(shù)，故排除；故選：B本題考查了函數(shù)的增減性以及奇偶性的判斷，屬于較易題.3、A【解析】

利用離心率的平方列方程，解方程求得的值.【詳解】由可得，從而選A.本小題主要考查已知雙曲線的離心率求參數(shù)，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

先求出直線l的普通方程，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入檢驗(yàn)，滿足則在直線l上，否則不在.【詳解】直線l的普通方程為x＋y－1＝0，因此點(diǎn)(－3，2)的坐標(biāo)不適合方程x＋y－1＝0.故答案為D(1)本題主要考查參數(shù)方程和普通方程的互化，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)參數(shù)方程消參常用的方法有三種:加減消參、代入消參、恒等式消參法.5、B【解析】分析：將化為含由展開式中的，常數(shù)項與中展開式中的常數(shù)項，分別對應(yīng)相乘得到.分別求出相應(yīng)的系數(shù)，對應(yīng)相乘再相加即可.詳解：將化為含由展開式中的，常數(shù)項與中展開式中的常數(shù)項，分別對應(yīng)相乘得到.展開式的通項為，常數(shù)項的系數(shù)分別為展開式的通項為常數(shù)項，的系數(shù)分別為故的展開式中含項的系數(shù)為故選B.點(diǎn)睛：本題考查了二項式定理的應(yīng)用問題，也考查了利用展開式的通項公式求指定項的系數(shù)，是基礎(chǔ)題目．6、A【解析】

將數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)計算出來，代入回歸方程，計算得到答案.【詳解】中心點(diǎn)為：代入回歸方程故答案選A本題考查了回歸方程過中心點(diǎn)的知識，意在考查學(xué)生的計算能力.7、B【解析】

先求導(dǎo)，令其等于0，再考慮在兩側(cè)有無單調(diào)性的改變即可【詳解】解：，，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，減區(qū)間為，在兩側(cè)符號一致，故沒有單調(diào)性的改變，舍去，故選:B.本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的性質(zhì)：若函數(shù)在取得極值．反之結(jié)論不成立，即函數(shù)有，函數(shù)在該點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，（還得加上在兩側(cè)有單調(diào)性的改變），屬基礎(chǔ)題．8、A【解析】分析：由已知及三角形的面積公式可求bc，然后由a+b+c=20以及余弦定理，即可求a．詳解：由題意可得，S△ABC=bcsinA=bcsin60°∴bcsin60°=10∴bc=40∵a+b+c=20∴20﹣a=b+c．由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120解得a=1．故選A．點(diǎn)睛：本題綜合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面積公式等知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用公式．考查計算能力．9、D【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.【詳解】由題意，角的終邊與單位圓交于點(diǎn),則，由三角函數(shù)的定義，可得，則，故選D.本題主要考查了三角函數(shù)的定義，以及余弦的倍角公式的化簡、求值，其中解答中熟記三角函數(shù)的定義，以及余弦的倍角公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

根據(jù)組合數(shù)的公式，列出方程，求出的值即可．【詳解】∵，∴，或，解得（不合題意，舍去），或；∴的值是1．故選：B．本題考查了組合數(shù)公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．11、A【解析】分析：分的因數(shù)由若干個、若干個、若干個、若干個相乘得到，利用分步計數(shù)乘法原理可得所有因數(shù)個數(shù)，減去不含的因數(shù)個數(shù)即可得結(jié)果.詳解：的因數(shù)由若干個（共有四種情況），若干個（共有兩種情況），若干個（共有四種情況），若干個（共有兩種情況），由分步計數(shù)乘法原理可得的因數(shù)共有，不含的共有，正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)有個，即的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查分步計數(shù)原理合的應(yīng)用，屬于中檔題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.12、B【解析】

整理復(fù)數(shù)為的形式，根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)在第二象限列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】i對應(yīng)點(diǎn)在第二象限，因此有，即，故選B本小題主要考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)所在象限，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、甲【解析】

分別假設(shè)是甲、乙、丙、丁去時，四個人所說的話的正誤，進(jìn)而確定結(jié)果.【詳解】若乙去，則甲、乙、丁都說的對，不符合題意；若丙去，則甲、丁都說的對，不符合題意；若丁去，則乙、丙都說的對，不符合題意；若甲去，則甲、乙、丙都說的不對，丁說的對，符合題意.故答案為：甲.本題考查邏輯推理的相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題.14、49【解析】

.15、【解析】

,所以，所以，故當(dāng)時，的最小值是.考點(diǎn)：向量的模點(diǎn)評：本題考查向量的模的最值，解題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確的表示出模的函數(shù)，再求解最值.16、【解析】

根據(jù)均值不等式知，，即，再由即可求解，注意等號成立的條件.【詳解】（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?，（?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?，（?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?故答案為.本題主要考查了均值不等式，不等式等號成立的條件，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ【解析】類比三角形中的結(jié)論，猜想在四面體中的結(jié)論為S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.證明：如圖，設(shè)點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于，連接，就是平面PAB與底面ABC所成的二面角，則，，同理，，又，S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.考點(diǎn)：類比推理.18、（1）見解析（2）【解析】試題分析：(1)利用題意首先證得，然后利用線面垂直的定義即可證得題中的結(jié)論；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合平面的法向量和直線的方向向量可得直線與平面所成角的正弦值是.試題解析：（1）證明：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，，.因?yàn)?，所?由于，，故為等邊三角形，所以.因?yàn)?，所?又，故（2）由（1）知，，又，交線為，所以，故兩兩相互垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，為單位長，建立如圖（2）所示的空間直角坐標(biāo)系.由題設(shè)知，則，，.設(shè)是平面的法向量，則即可取故.所以與平面所成角的正弦值為19、（1）；（2）【解析】

分析：（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且，可得，的軌跡的方程為；（2）與以為直徑的圓相切，則到的距離：，即，由，消去，得，由平面向量數(shù)量積公式可得，由三角形面積公式可得，換元后，利用單調(diào)性可得結(jié)果.詳解：（1）折痕為PP′的垂直平分線，則|MP|=|MP′|，由題意知圓E的半徑為，∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=＞|EP|，∴E的軌跡是以E、P為焦點(diǎn)的橢圓，且，∴，∴M的軌跡C的方程為．（2）與以EP為直徑的圓x2+y2=1相切，則O到的距離：，即，由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直線與橢圓交于兩個不同點(diǎn)，∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，又，∴，∴，設(shè)μ=k4+k2，則，∴，…10分∵S△AOB關(guān)于單調(diào)遞增，∴，∴△AOB的面積的取值范圍是點(diǎn)睛：本題主要考查利用定義求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形面積最值的.20、（1）；（2）,證明見解析.【解析】

（1）在處切線的斜率為，即，得出，計算f(e)，即可出結(jié)論（2）①有兩個極值點(diǎn)得=0有兩個不同的根，即有兩個不同的根，令，利用導(dǎo)數(shù)求其范圍，則實(shí)數(shù)a的范圍可求；有兩個極值點(diǎn)，利用在(e,+∞)遞減，，即可證明【詳解】（1）∵，∴，解得，∴，故切點(diǎn)為，所以曲線在處的切線方程為．（2），令=0，得．令，則，且當(dāng)時，；當(dāng)時，；時，．令，得，且當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在遞增，在遞減，所以．所以當(dāng)時，有一個極值點(diǎn)；時，有兩個極值點(diǎn)；當(dāng)時，沒有極值點(diǎn)．綜上，的取值范圍是．（方法不同，酌情給分）因?yàn)槭堑膬蓚€極值點(diǎn)，所以即…①不妨設(shè)，則，，因?yàn)樵谶f減，且，所以，即…②．由①可得，即，由①，②得，所以．本題主要考察導(dǎo)數(shù)在切線，極值方向的應(yīng)用，主要理清導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在做題的過程中，適當(dāng)選取參變分離有時候能簡化分類討論的必要．21、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數(shù)是2條，證明見解析【解析】

（Ⅰ）當(dāng)x＞0時，設(shè)h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，設(shè)l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x，分別求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、最值，即可得證；（Ⅱ）先確定曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)并求出兩個函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程組，先化簡方程得lnm﹣1．分別作出y＝lnx﹣1和y的函數(shù)圖象，通過圖象的交點(diǎn)個數(shù)來判斷方程的解的個數(shù)，即可得到所求結(jié)論．【詳解】（Ⅰ）當(dāng)x＞0時，設(shè)h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，h′（x）1，當(dāng)x＞1時，h′（x）＜0，h（x）遞減；0＜x＜1時，h′（x）＞0，h（x）遞增；可得h（x）在x＝1處取得最大值﹣1，可得h（x）≤﹣1＜0；設(shè)l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x，l′（x）＝ex﹣1，當(dāng)x＞0時，l′（x）＞0，l（x）遞增；可得l（x）＞l（0）＝1＞0，綜上可得當(dāng)x＞0時，g（x）＜x＜f（x）；（Ⅱ）曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數(shù)是2，證明如下：設(shè)公切線與g（x）＝lnx，f（x）＝ex的切點(diǎn)分別為（m，lnm），（n，en），m≠n，∵g′（x），f′（x）＝ex，可得，化簡得（m﹣1）lnm＝m+1，當(dāng)m＝1時，（m﹣1）lnm＝m+1