第14講函數專題（2）——恒成立有解問題【教學目標】1．通過基礎訓練題，學會解決恒成立和有解問題的常用方法.2．在典型例題的解決過程中，會利用分離參數的方法解決恒成立有解問題問題，感悟數形結合的數學思想方法.【教學重點】如何掌握參變分離，變更主元、分類討論、數形結合四種方法的切換； 2.數形結合的選取.【教學難點】如何化簡絕對值不等式恒成立問題參問題.2.利用不同函數模型，解決有解、無解、恒成立.【知識梳理】在不等式的綜合題中，經常會遇到當一個結論對于某一個字母的某一個取值范圍內所有值都成立的恒成立問題.不等式恒成立問題的常規處理方式：常應用函數方程思想和分離變量法轉化為最值問題，也可抓住所給不等式的結構特征，利用數形結合法.知識點一、恒成立問題的基本類型：類型一：一次函數類型—用一次函數的性質（注意主副元的轉化）一次函數有類型二：二次函數類型—用二次函數的圖像設，（1）上恒成立（2）上恒成立類型三：二次函數在閉區間上恒成立的問題設（1）當時，上恒成立上恒成立（2）當時，上恒成立上恒成立類型四：分離變量法，類型五：數形結合法數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”，這充分說明了數形結合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用.我們知道，函數圖象和不等式有著密切的聯系：1）函數圖象恒在函數圖象上方；2）函數圖象恒在函數圖象下方.恒成立問題解題的基本思路是：根據已知條件將恒成立問題向基本類型轉化，正確選用函數法、最值法（分離常數法）、數形結合等解題方法求解.知識點二、能成立問題（存在性問題）若在區間上存在實數使不等式成立，則等價于在區間上；若在區間上存在實數使不等式成立，則等價于在區間上的.【教學過程】例1（1）設，若關于的不等式對任意的成立，則的取值范圍是________．（2）設，若關于的不等式對任意的成立，則的取值范圍是_________．（3）設，若關于的方程在區間上有解，則的取值范圍是________.【解析】（1）不等式等價變形為．當時，不等式可變形為．而函數在區間上嚴格減．因此，當時，函數取到最小值，所以，即．當時，不等式成立．綜上所述，實數的取值范圍是．（2）設，，函數的圖像開口向上且對稱軸為直線，可知該函數在區間上嚴格增，其值域為，是上一題中函數值域的子集．根據題意，要滿足的要求為恒小于的取值，顯然根據上一題的研究，時符合題意，由于時恒成立，因而時也符合題意．當時，若，則時不等式均不成立；若，則，因此取一個時不等式不成立．綜上所述，實數的取值范圍是．（3）方程等價變形為，由于，進一步可以變形為，從而將問題轉化為求函數在區間上的值域．因為函數在區間上的值域為，因此，則的取值范圍是．例2①已知函數為奇函數．（1）求的值；（2）不等式在，上恒成立，求實數的最大值．【答案】（1）；（2）．②設函數，函數的圖像與函數的圖像關于軸對稱．（1）若，求的值；（2）若存在，使不等式成立，求實數的取值范圍．【答案】（1）；（2）③設函數，對任意，恒成立，則實數的取值范圍是.例3已知正實數，滿足，且恒成立，則的取值范圍是【答案】例4若關于的不等式x2+9+x2+3x≥kx在，上恒成立，則實數【答案】，例5若不等式在內恒成立，求實數的取值范圍.【答案】例6已知函數，若對此任意，都有f(f(x))≥0恒成立，則實數的取值范圍為，例7☆定義在區間上的兩個函數和，其中，，，若對于任意的、，恒成立，求的取值范圍．解對于函數，記，，則，，函數在區間上嚴格增，函數的值域為．由于，函數的圖像的對稱軸為，滿足，當，即時，函數的值域為．對于任意的，恒成立，即，解得．當，即時，函數的值域為．對于任意的，恒成立，即，此時無解．綜上所述，實數的取值范圍是．變式定義在區間上的兩個函數和，其中，，．（1）若對于任意的，總存在，使得成立，求的取值范圍．（2）若對于任意的，總存在，使得成立，求的取值范圍．【課后練習】設，若關于的不等式對任意的成立，則的取值范圍是__________.設，若關于的不等式對任意的成立，則的取值范圍是__________．設，若關于的方程在區間上有解，則的取值范圍是__________．設，若關于的不等式在區間上有解，則的取值范圍是__________．設，若函數在區間上有零點，則的取值范圍是__________．函數，若對任意，恒成立，求實數的取值范圍.【答案】設，當時，恒成立，求實數的取值范圍.【答案】設，若對于任意的，都有，則的取值范圍是若關于的不等式在區間內恒成立，則實數的范圍【答案】設，若關于的不等式對任意的成立，求的取值范圍．【答案】原不等式可等價變形為．當時，，符合題意；當時，有，函數的值域為，故，解得；當時，不符合題意．綜上，的取值范圍是．☆定義在區間上的兩個函數和，其中，，若對于任意的，總存在，使得成立，則的取值范圍是__________．☆定義在區間上的兩個函數和，其中，．若對于任意的，總存在，使得成立，則的取值范圍是_________．☆設，，若關于的不等式對任意的成立，則的取值范圍是__________．☆設，若關于的不等式對任意的成立，則的取值范圍是__________【拓展提升】如果不等式（為常數）對中的任何的值恒成立，求的取值范圍.【答案】當時，；當時，已知，若，且方程有5個不同根，則的取值范圍為________.【解析】作出函數的圖象如下圖所示：設，則方程有個不同根轉化二次方程的兩根，，構造函數，可得不等式，即，結合，作出圖形如下圖所示，不等式組表示的平面區域為邊長為的正方形，不等式組表示的區域為下圖中的陰影部分（不包括軸），代數式視為可行域中的點到直線的距離，當點與點重合時，，由圖可知，的范圍是已知函數，若對任意的，都存在唯一的，滿足，則實數a的取值范圍為____________．【解析】當時，；當時，若時，在上是嚴格增函數，所以，滿足則，所以，，又，所以．若時，則，在上是單調增函數，此時，在上是單調減函數，此時，滿足則，又，所以，綜上，．設，．若函數的圖像經過四個象限，則的取值范圍是（）A．； B．； C．； D．．【答案】提示：原問題即為：當時，在直線兩側均有函數圖像上的點，且當時，在直線兩側也均有函數圖像上的點．直線過點．函數（）的圖像與軸的交點為，當直線過點時，；當函數與（）的圖像只有一個交點時，斜率為．結