安徽省示范高中培優聯盟2025年春季聯賽(高一)本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，選擇題第1至第3頁，非選擇題第4至第6頁。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。考生注意事項：1.答題前，務必在試題卷、答題卡規定的地方填寫自己的姓名、座位號，并認真核對答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號與本人姓名、座位號是否一致。2.答選擇題時，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫，要求字體工整、筆跡清晰。作圖題可先用鉛筆在答題卡規定的位置繪出，確認后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清楚。必須在題號所指示的答題區域作答，超出答題區域書寫的答案無效，在4.考試結束，務必將試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件2.已知集合A={x|2x2-3x≤2},,則A∩B=()A.f(2025)=0B.f(x)的周期為6C.f(x)圖象關于直線對稱D.f(x—6)是奇函數5.已知函數,實數a,b滿足f(a)—f(—b)>0,則下列說法正確的是()A.a2>b2B.a2<b2C.a+b>06.已知函數,且函數f(x)的相鄰最高點與最低點之間的直線距離為√5+π2,若Vx∈R,f(xn)≥f(x),則sinxn=7.定義,若函數f(x)=min{x2—tx+t+3,21-4},當關于x的方程f(x)=0至少有3個不同的實數根時，則實數t的取值范圍是()BDD二、選擇題(本題共3小題，第9題為選考題，請考生任選一題作答。每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。)9.【選考人教版—復數】已知復數(i為虛數單位),則下列說法正確的是()【選考北師大版——百分位數】現有一組數據1,2,5,7,10,則下列說法正確的是()A.這組數據的極差為8B.這組數據的平均數為5C.這組數據的第60百分位數為5D.這組數據的第60百分位數為610.在銳角△ABC中，下列結論一定成立的是()A.sinA>cosBB.tanA+tanB+tanC=taC.1+sin2C<cos2B+sin2AD.sin2A-sin2B=sin11.已知O為坐標原點，非零向量OA=(m,n),其中m2+n2=1,將OA繞著點O沿逆時針方向旋轉θ角得到向量OB,點P滿足AP=2PB,則下列說法正確的是()A.若構成△OAB,則△OAB面積的最大值為 B.OB在OA方向上的投影向量為(mcosθ,nsinθ)D.|OP|的最小值為考生注意事項：請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分。第14題為選考題，請考生任選一題作答，若兩題都答，則以所做的第一題計分。)12.定義在R上的函數f(x),滿足f(—3)>f(2),且對Vx,y∈R,都有f(xy)=f(x)f(y)成立.請寫出一個滿足上述條件的函數f(x)=13.已知a>b>0,的最小值為14-1.【選考人教版——球】勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”,它能在兩個平行平面間自由轉動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動(如圖甲),利用這一原理，科技人員發明了轉子發動機.勒洛四面體是以正四面體ABCD的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示.已知正四面體ABCD的內切球的半徑,若在勒洛四面體ABCD內放一個小正方體零件，該零件可以在勒洛四面體ABCD內任意轉動，則該零件棱長的最大值為乙14-2.【選考北師大版——古典概型】一個不透明的盒子里裝有規格完全相同的5個小球，編號分別為1,2,3,4,5,現采用有放回的方式摸球3次，每次摸出1個小球，其中第3次是先拿出編號為1,3,5的三個小球后再摸球一次，則這三次摸到的小球號碼之和為偶數的概率四、解答題(本題共5小題，共77分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)15.(13分)(1)若c=√2,求b;16.(15分)如圖，已知扇形AOB的圓心角為,半徑為1,點E,F分別是弧AB上的三等分點，連接(2)求BE·AF.17.(15分)已知函數,g(x)=Inx,其中e為自然對數的底數.(1)若f(x)在區間(1,2)上有零點，求實數a的取值范圍；(2)求y=[g(x)]2-g(ex)-1,x∈[1,e2]的值域；(3)若x。是方程x2e?+g(x)=0范圍.(選考題)(17分)(請考生從18-1,18-2兩題中任選一題作答，若兩題都答，則以所做的第一題計分。)18-1.【選考人教版——立體幾何】點，將△BCE沿著CE翻折成△PCE,使得第18-1題圖(2)若點M,N分別為棱AP和PC的中點，求四面體M-DEN的體積；(3)求平面PAE與底面AECD所成二面角的余弦值.18-2.【選考北師大版——統計和概率】隨著新能源汽車的不斷普及，城市街道上的綠色牌照車輛日益增多，悄然改變著人們的出行方式。為了研究購買新能源汽車的人群年齡分布，現從某品牌新能源汽車近一年的銷售情況中隨機抽取了100位顧客的基本信息，按年齡(單位：歲)分組，分為5組，依次是(20,30),(30,40),(40,50),[50,60],(60,70),整理可得到如下的頻率分布直方圖.用樣本的數字特征來估計總體的數字特征，請完成以下問題(1)求a;(2)估計該品牌新能源汽車的購買人群的平均年齡；(3)經計算可知，樣本數據中年齡位于(50,60)內的方差為12,年齡位于(60,70)內的方差為10,請估計該品牌新能源汽車的購買人群的年齡在50歲以上的方差.第18-2題圖19.(17分)已知集合A={1,2,3,…n}.對于A的非空子集S,定義函數f(S)為S中所有元素的最大公約數(gcd),例如gcd(2)=2,gcd(1,2)=1,gcd(2,6,12)=2.請解決以下問題.(1)當n=6時，求滿足f(S)=1的二元集合S的個數；(2)證明：當n為質數時，且S至少含有2個元素時，則f(S)=1的充要條件是S中存在兩個互質的元素；(3)當n=10時，求所有滿足f(S)=1的非空子集S的個數.安徽省示范高中培優聯盟2025年春季聯賽(高一)12345678CCDBDABB9一、選擇題：本大題共8個題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.【答案】C【解析】a2+b2≤2ab?(a-b)2≤0?a=b,即p與q等價，所以p是q的充要條件.2.【答案】C【解析】則A∩B={x|0<x≤2},故答案選C3.【答案】D4.【答案】B【解析】由f(1+x)=-f(2-x)得f(1+x)+f(2-x)=0,則函數f(x)圖象關于點)對稱，所以答案C錯誤；又因為f(x)為偶函數，則易得f(x)的周期為6,故答案B正確；f(x-6)為偶函數，答案D錯誤；f(2025)=f(3)=f(0),不一定為0,故答案A錯誤.5.【答案】D【解析】,定義域為(-1,1),由得，f(x)為奇函數，則f(x)在定義域內單調遞減；由f(a)-f(-b)>0得-1<a<-b<1,故答案D正確.6.【答案】A【解析】由)可知，T=2π,函數f(x)相鄰最高點與最低點之間的直線距離為√5+π2,即有,解得a=1.所以.對Vx∈R,f(x。)≥f(x),則在x?處取最大值，即有sin(x+φ)=1,即數學試題第1頁(共7頁)數學試題第2頁(共7頁)7.【答案】B【解析】(方法一)易知方程2-4=0只有兩個實數根，分別為x=-2和x=2,故方程x2-tx+t+3=0至少有一個實數根，下面分情況討論：當△=t-4(t+3)=0時，即t=6或t=-2時，方程只有一個根，若t=6,則根為x=3,符合題意；若t=-2,則根為x=-1,結合取小函數圖象可知，方程f(x)=0只有兩個根，不符合題意；當△=t2-4(t+3)>0時，即t>6或t<-2時，方程x2-tx+t+3=0有兩個不相等的實數根，分別設為x,x?,并且x?<x?,結合取小函數圖象，當2≤x?<x?或x<x?≤-2時，方程f(x)=0至少有3個不同的實數根，則或,解得6<t≤7;則實數t的取值范圍是[6,7],故答案B正確.(方法二)代入特殊值，排除法CP=在△APC中，由余弦定理可知，AC2=CP2+AP2-2·CP·AP·cos60°,計算得再由余弦定理可知，AP2=CP2+AC2-2·CP·AC·cosθ,帶入計算得(方法二)此點為布洛卡點，故由余弦定理可證(a2+b2+c2)·tanθ=4SABC,所以展開即可.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯得0分。9.【答案】(人教版)BD;(北師大版)BD.【解析】(人教版),故(北師大版)這組數據的極差為10-1=9,這組數據的平均數為(1+2+5+7+10)÷5=5,因為5×60%=3,數學試題第3頁(共7頁)故取從小到大排列的第3和第4個數的平均數，即故BD正確.【解析】由得則即sinA>cosB,故A正確；由變形得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,故答案B正確；因為△ABC為銳角三角形，所以a2<b2+c2,則sin2A<sin2B+sin2C,sin2A<sin2C+(1-cos2B),故答案C錯誤；sin(A+B)sin(A-B)=(sinAcosB+cosAsin=(sinAcosB)2-(cosAsinB)2=sin2A(1-sin2B)-(1-sin2A)sin2B=sin2A-sin2B,故答案D正確；故ABD正確.【解析】本題改編自人教版習題6.4的第11題.選項A,易知△OAB為等腰三角形，且|OAHOB|=1,所以△OAB面積的最大值為,此時θ=90°,選項B,OB在OA方向上的投影向量為xg=|OB|=cos(a+θ)=cosacosθ-sinasinθ=mcosyB=|OB?F=sin(a+θ)=sinacosθ+cosasinθ=msinθ+ncosθ,選項D,因為AP=2PB,且O,A,B三點不共線，故,平方得.故ACD正確.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【答案】f(x)=x2,f(x)=x(答案不唯一)【解析】由Vx,y∈R,都有f(xy)=f(x)f(y)可知，冪函數f(x)=x”滿足性質；再由f(-3)>f(2)可知該冪函數在R上不是單調函數，故可填f(x)=x2.(答案不唯一)13.【答案】數學試題第4頁(共7頁)【解析】令a+2b=m,則m>0,a-b=n,則n>0;由可解,帶入原式可得,當且僅當,即m=√2n時取等，的最小值14.【答案】(人教版)(北師大版)【解析】(人教版)由正四面體ABCD的內切球的半徑為可得該正四面體的棱長為2,正方體零件可以在勒洛四面體ABCD內任意轉動，不難得到當零件棱長最大時，該正方體內接于勒洛四面體的內切球.勒洛四面體的內切球與勒洛四面體的弧面相切，如圖，點0為該球的球心，易知該球的球心0為正四面體ABCD的中心，半徑為OE,連接BE,易知B,O,E三點共線，且BE=2,,所以,即勒洛四面體的內切球的半徑為,則該內切球的內接正方體的棱長為.,即該正方體零件的棱長的最大值為：(北師大版)(方法一)前兩次小球的號碼之和必為偶數，即前兩次都為奇數或者偶數.(方法二)由列表法可知前兩次有放回的摸球號碼之和號碼之和第一次小球的號碼12345第二次小球12345623456734567845678956789之和也必為偶數，由表格可知此概率為四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)【解析】(1)如圖15-1,當c=√2時，(2)如圖15-2,當BD=2DC時，即所以(6分)(8分)(10分)(13分)圖15-1圖15-216.(15分)【解析】(1)因為點E,F分別是弧AB上的三等分點，所以,(2分)所以OF=OA+√2OB,(注：建立平面直角坐標系亦可做)17.(15分)(6分)(10分)(15分)即(4分)(2)y=[g(x)]2-g(ex)-1=(Inx)2-In(ex)-1=(Inx)2-I(3)若x是方程x2e?+g(x)=0的根，則數學試題第5頁(共7頁),即Inx?=-x?,(13分)18.(17分)(人教版)【解析】(1)取CE的中點為Q,(2)連接AC交DE于點G,連接MG,在四邊形AECD中，由AE//CD,AE=CD,可得四邊形AECD為平行四邊形，所以點G為AC的中點，又因為M為AP的中點，所以MG是三角形PAC的中位線，故MG//PC,所以VM-DEN=VN-MDE=Vc-MDE=VM-CDE,(7分)過點P作底面AECD的垂線，交DQ延長線于點0,在直角△POQ中，(11分)(3)由(2)可知，PO⊥底面AECD,延長AE,過點0作AE延長線的垂線，交點記為T,連接PT,因為PO⊥底面AECD,所以PO⊥AE,又因為P在直角所以(北師大版)(1)在頻率分布直方圖中，所有小矩形的面積和為1,則(2a+3a+7a+0.030+2a)×10=1,解得a=0.005.(4分)歲.(8分)數學試題第6頁(共7頁)(3)先計算樣本數據中年齡位于[50,70]內的平均數為根據方差的定義，記年齡位于[50,60]內的平均數為x=55,方差為s2=12,人數為30,年齡位于[60,70]內的平均數