2024-2025學年湖北省沙市中學高二下學期5月月考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。5展開式中的常數項為()2.某校高三年級有1000人參加期末考試，經統計發現數學成績近似服從正態分布N100,σ2)，且成績不低于110分的人數為200，則此次考試數學成績高于90分的人數約為()3.記sn為等比數列{an}的前n項和.若a4一a2=6，a5一a3=12，則=()4.曲線y=eax+x在點(0,1)處的切線與直線x一y+2=0垂直，則a=()5.公共汽車上有3名乘客，在沿途的4個車站隨機下車，3名乘客下車互不影響，則恰有2名乘客在第4個車站下車的概率是()A.B.C.D.7.設F1，F2是雙曲線c：一=1(a>0,b>0)的左，右焦點，O是坐標原點.過F2作c的一條漸近線的垂線，垂足為P，若2PF1=F1F2，則c的離心率為()8.如圖，在某城市中，M，N兩地之間有整齊的方格形道路網，其中A1，A2，A3，A4是道路網中位于一條對角線上的4個交匯處.今在道路網M，N處的甲、乙兩人分別要到N，M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發，直到到達N，M處為止，則甲、乙兩人相遇的概率為()A.B.C.D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知等差數列{an}的前n項和為sn，若a1≠a2，且對于任意正整數n都有sn≥s2025，則()A.a1<0B.是公差為的等差數列C.s4049≤0D.彐n∈N*，anan+1<010.現有5個編號為1，2，3，4，5的不同的球和5個編號為1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子內，則下列說法正確的是()A.若自由放置，共有3125種不同的放法B.恰有一個盒子不放球，共有240種放法C.每個盒子內只放一個球，恰有2個盒子的編號與球的編號相同，不同的放法有20種D.將5個不同的球換成相同的球，恰有一個空盒的放法有20種11.設函數則A.f(x)的單調遞增區間為(—∞,B.f(x)有三個零點C.若關于x的方程[f(x)]2+(1—a)f(x)—a=0有四個不同實根，則a∈(0,1)D.若f(x)≤mx+m對于?x≥0恒成立，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.斜率為1的直線l經過拋物線Y2=8x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，則線段AB的長為．13.已知函數上存在零點，則實數a的最小值為．14.現有n個串聯的信號處理器單向傳輸信號，處理器的工作為：接收信號——處理并產生新信號——發射新信號．當處理器接收到一個A類信號時，會產生一個A類信號和一個B類信號并全部發射至下一個處理器；當處理器接收到一個B類信號時，會產生一個A類信號和兩個B類信號，產生的B類信號全部發射至下一個處理器，但由接收B類信號直接產生的所有A類信號只發射一個至下一個處理器．當第一個處理器只發射一個A類信號至第二個處理器，按上述規則依次類推，若第n個處理器發射的B類信號數量記作bn，即b1=0，則b4=，數列{bn}的通項公式bn=．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知函數f(x)=lnx—ax2+2(a∈R).(1)若x=1是函數Y=f(x)的極值點，求a的值；(2)討論f(x)的單調性．16.(本小題15分)已知甲、乙、丙的三個袋子中裝有除標號外完全相同的小球，其中甲袋內裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；乙袋內裝有兩個1號球和一個3號球；丙袋內裝有三個1號球，兩個2號球和一個3號球．(1)從甲袋中一次性摸出兩個小球，記隨機變量X為1號球的個數，求X的分布列；(2)現按照如下規則摸球：連續摸球兩次，第一次先從甲袋中隨機摸出1個球，若摸出的是1號球放入甲袋，摸出的是2號球放入乙袋，摸出的是3號球放入丙袋；第二次從放入球的袋子中再隨機摸出1個球．求第二次摸到的是3號球的概率．17.(本小題15分)Z且則稱數列{φn}為ξn的“四分差數列”.已知數列{bn}為數列{an}的“四分差數列”．(2)設an=n+1．①求{bn}的通項公式；②若數列{cn}滿足且的前n項和為Tn，證明18.(本小題17分)已知橢圓的左焦點為F1，點在橢圓C上，且NF1⊥x軸.(1)求橢圓C的方程；(2)已知點M0(1,4)，證明：線段F1M0的垂直平分線與C恰有一個公共點；(3)設M是坐標平面上的動點，且線段F1M的垂直平分線與C恰有一個公共點，證明M的軌跡為圓，并求該圓的方程．19.(本小題17分)已知函數f(x)=xlnx-λ(x-1)．(1)當x≥1時，f(x)≥0，求λ的取值范圍；(2)函數g(x)=f(x)-λx2+(λ-1)x有兩個不同的極值點x1,x2(其中x1<x2)，證明：lnx1+3lnx2>4；(3)求證：+++…+<ln2n∈N*．2.B3.B7.C15.【詳解】(1)由題意可得f(x)的定義域為(0,+∞)，且“x=1是函數y=f(x)的極值點，當0<x<1時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，當x>1時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；:滿足x=1是函數y=f(x)的極值點，因此當a≤0時，因為x>0，所以1—2ax2>0，則f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上單調遞增；當時，f′>0，f單調遞增；當時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；則函數f(x)的單調增區間為單調減區間為綜上可知：當a≤0時，f(x)的單調增區間為(0,+∞)，無單調減區間；當a>0時，函數f(x)的單調增區間為單調減區間為所以X的分布列如下，X012P121663(2)記第一次從甲袋隨機摸出1個球，摸出的是1,2,3對應事件分別為A1,A2,A3，第二次摸到的是3號球為事件，所以P(B)=P(A1)P(BIA1)+P(A2)P(BIA2)+P(A3)P(BIA3)=×+×+×=．所以{bn}的通項公式bn=n+1；18.【詳解】(1):a2=b2+1，22聯立:a2=4，:橢圓C的方程+=1．(2)“F1(1,0)，M0(1,4)，:F1M0中點坐標為:線段F1M0的垂直平分線的斜率為—，聯立解得線段F1M0的垂直平分線與設M(x0,y0)，當y0=0時，F1M的垂直平分線方程為當y0≠0時，F1M的垂直平分線方程為，x0+1xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(2),0)+yx0+1xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(2),0)+yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(2),0)—1y=x+“線段F1M的垂直平分線與C恰有一個公共點，EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(4),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(4),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(4),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)“yEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)+(xEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)+2x0+1=x0+1)2EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)“(5,0),(3,0)也滿足方程，19.【詳解】(1)函數f(x)=xlnx—λ(x—1)，f′(x)=lnx+1—λ,且f(1)=0，①當λ≤1時，因為x≥1，故f′(x)≥0恒成立，此時f(x)單調遞增，所以f(x)≥0成立；)時f′(x)≤0，此時f(x)單調遞減，故f(x)≤f(1)=0，不滿足題意；綜上可知：λ≤1．因為函數有兩個不同的極值點x1,x2(其中x1<x2)，故lnx1=2λx1,lnx2=2λx2．要證：lnx1+3lnx2