福建省龍巖市連城一中2025屆數學高二第二學期期末達標測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復數，則（）A． B． C． D．2．如表是降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y（噸標準煤）的幾組對應數據，根據表中提供的數據，求出y關于x的線性回歸方程=0.7x+0.35，那么表中m的值為（）A．4 B．3.15 C．4.5 D．33．如圖，由函數的圖象，直線及x軸所圍成的陰影部分面積等于（）A． B．C． D．4．平面與平面平行的條件可以是（）A．內有無窮多條直線都與平行B．內的任何直線都與平行C．直線，直線，且D．直線，且直線不在平面內，也不在平面內5．計算：（）A． B． C． D．6．從位男生，位女生中選派位代表參加一項活動，其中至少有兩位男生，且至少有位女生的選法共有()A．種 B．種C．種 D．種7．我國古代數學名著《九章算術》對立體幾何也有深入的研究，從其中的一些數學用語可見，譬如“塹堵”意指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐．現有一如圖所示的“塹堵”即三棱柱，其中，若，當“陽馬”即四棱錐體積最大時，“塹堵”即三棱柱的表面積為A． B． C． D．8．函數的部分圖像大致為（）A． B．C． D．9．若函數在區間內單調遞增，則a的取值范圍是A． B． C． D．10．若將函數f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數，則（）A． B． C． D．11．已知點P(x，y)的坐標滿足條件那么點P到直線3x－4y－13＝0的距離的最小值為()A．2 B．1 C． D．12．若3x+xn展開式二項式系數之和為32，則展開式中含xA．40 B．30 C．20 D．15二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．當時，有，則__________.14．已知復數,其中是虛數單位,則的值是____________.15．設函數和函數，若對任意都有使得，則實數a的取值范圍為______．16．某一部件由四個電子元件按如圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3或元件4正常工作，則部件正常工作.設四個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從正態分布，且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）是指懸浮在空氣中的空氣動力學當量直徑小于或等于微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物.根據現行國家標準，日均值在微克/立方米以下，空氣質量為一級；在微克應立方米微克立方米之間，空氣質量為二級：在微克/立方米以上，空氣質量為超標.從某市年全年每天的監測數據中隨機地抽取天的數據作為樣本，監測值頻數如下表：日均值（微克/立方米）頻數（天）（1）從這天的日均值監測數據中，隨機抽出天，求恰有天空氣質量達到一級的概率；（2）從這天的數據中任取天數據，記表示抽到監測數據超標的天數，求的分布列.18．（12分）已知公差不為零的等差數列滿足，且，，成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）若，且數列的前項和為，求證：.19．（12分）某種設備的使用年限(年)和維修費用(萬元),有以下的統計數據:34562.5344.5（Ⅰ）畫出上表數據的散點圖；（Ⅱ）請根據上表提供的數據，求出關于的線性回歸方程；（Ⅲ）估計使用年限為10年，維修費用是多少萬元？（附：線性回歸方程中，其中，）．20．（12分）若函數,當時,函數有極值為.(1)求函數的解析式；(2)若有個解,求實數的取值范圍.21．（12分）如圖，在多面體ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△ADE是等腰直角三角形且∠ADE=π2，EF⊥平面ADE(1)求異面直線AE和DF所成角的大小；(2)求二面角B-DF-C的平面角的大小．22．（10分）甲、乙、丙3人均以游戲的方式決定是否參加學校音樂社團、美術社團，游戲規則為：①先將一個圓8等分（如圖），再將8個等分點，分別標注在8個相同的小球上，并將這8個小球放入一個不透明的盒子里，每個人從盒內隨機摸出兩個小球、然后用摸出的兩個小球上標注的分點與圓心構造三角形.若能構成直角三角形，則兩個社團都參加；若能構成銳角三角形，則只參加美術社團；若能構成鈍角三角形，則只參加音樂社團；若不能構成三角形，則兩個社團都不參加.②前一個同學摸出兩個小球記錄下結果后，把兩個小球都放回盒內，下一位同學再從盒中隨機摸取兩個小球．（1）求甲能參加音樂社團的概率；（2）記甲、乙、丙3人能參加音樂社團的人數為隨機變量，求的分布列、數學期望和方差

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析：由題意結合復數的運算法則整理計算即可求得最終結果.詳解：由復數的運算法則可得：.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查復數的運算法則等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.2、D【解析】

因為線性回歸方程=0.7x+0.35，過樣本點的中心，，故選D.3、A【解析】

試題分析：因為，=0時，x=1，所以，由函數的圖象，直線及x軸所圍成的陰影部分面積等于，故選A．考點：本題主要考查定積分的幾何意義及定積分的計算．點評：簡單題，圖中陰影面積，是函數在區間[1,2]的定積分．4、B【解析】

根據空間中平面與平面平行的判定方法，逐一分析題目中的四個結論，即可得到答案．【詳解】平面α內有無數條直線與平面β平行時，兩個平面可能平行也可能相交，故A不滿足條件；平面α內的任何一條直線都與平面β平行，則能夠保證平面α內有兩條相交的直線與平面β平行，故B滿足條件；直線a?α，直線b?β，且a∥β，b∥α，則兩個平面可能平行也可能相交，故C不滿足條件；直線a∥α，a∥β，且直線a不在α內，也不在β內，則α與β相交或平行，故D錯誤；故選B.本題考查的知識點是空間中平面與平面平行的判定，熟練掌握面面平行的定義和判定方法是解答本題的關鍵．5、B【解析】

直接利用組合數公式求解即可．【詳解】由組合數公式可得.故選：B.本題考查組合數公式的應用，是基本知識的考查．6、B【解析】

由題意知本題要求至少有兩位男生，且至少有1位女生，它包括：兩個男生，兩個女生；三個男生，一個女生兩種情況，寫出當選到的是兩個男生，兩個女生時和當選到的是三個男生，一個女生時的結果數，根據分類計數原理得到結果．解：∵至少有兩位男生，且至少有1位女生包括：兩個男生，兩個女生；三個男生，一個女生．當選到的是兩個男生，兩個女生時共有C52C42=60種結果，當選到的是三個男生，一個女生時共有C53C41=40種結果，根據分類計數原理知共有60+40=100種結果，故選B．7、C【解析】分析：由四棱錐的體積是三棱柱體積的，知只要三棱柱體積最大，則四棱錐體積也最大，求出三棱柱的體積后用基本不等式求得最大值，及取得最大值時的條件，再求表面積．詳解：四棱錐的體積是三棱柱體積的，，當且僅當時，取等號．∴．故選C．點睛：本題考查棱柱與棱錐的體積，考查用基本不等式求最值．解題關鍵是表示出三棱柱的體積．8、B【解析】

結合函數的性質，特值及選項進行排除.【詳解】當時，，可以排除A,C選項；由于是奇函數，所以關于點對稱，所以B對，D錯.故選：B.本題主要考查函數圖象的識別，由解析式選擇函數圖象時，要注意特值法的使用，側重考查直觀想象的核心素養.9、B【解析】

設,得，且：,時,函數遞減，或時,遞增．結合復合函數的單調性：當a>1時,減區間為，不合題意，當0<a<1時,為增區間.∴，解得：.故選：B.復合函數的單調性：對于復合函數y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在區間(a，b)上是單調函數，且y＝f(t)在區間(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是單調函數，若t＝g(x)與y＝f(t)的單調性相同(同時為增或減)，則y＝f[g(x)]為增函數；若t＝g(x)與y＝f(t)的單調性相反，則y＝f[g(x)]為減函數．簡稱：同增異減．10、B【解析】分析：由題意可知，，然后利用二項式定理進行展開，使之與進行比較，可得結果詳解：由題可知：而則故選點睛：本題主要考查了二次項系數的性質，根據題目意思，將轉化為是本題關鍵，然后運用二項式定理展開求出結果11、A【解析】

由約束條件作出可行域，數形結合得到最優解，由點到直線的距離公式求得點到直線的最小值，即可求解．【詳解】由約束條件作出可行域，如圖所示，由圖可知，當與重合時，點到直線的距離最小為．故選：A．本題主要考查簡單線性規劃求解目標函數的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數的最優解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，及推理與計算能力，屬于基礎題．12、D【解析】

先根據二項式系數的性質求得n＝5，可得二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數等于3，求得r的值，即可求得結果．【詳解】由3x+xn展開式的二項式系數之和為2n＝32，求得可得3x+x5展開式的通項公式為Tr+1=C5r?3x5-r?xr令5-r2＝3，求得r＝4，則展開式中含x3故選：D．本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數的性質，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

利用復數代數形式的乘除運算化簡，復數相等的條件列式求解a值．【詳解】∵（1﹣i）（a+i）＝（a+1）+（1﹣a）i，∴1﹣a=0，即a＝1．故答案為1．本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的分類，是基礎題．14、5【解析】分析：先將復數z右邊化為形式，然后根據復數模的公式計算詳解：因為所以=5點睛：復數計算時要把復數化為形式，以防止出錯.15、【解析】

先根據的單調性求出的值域A，分類討論求得的值域B，再將條件轉化為A，進行判斷求解即可．【詳解】是上的遞減函數，∴的值域為，令A=，令的值域為B，因為對任意都有使得，則有A，而，當a=0時，不滿足A；當a>0時，，∴解得；當a<0時，，∴不滿足條件A,綜上得.故答案為.本題考查了函數的值域及單調性的應用，關鍵是將條件轉化為兩個函數值域的關系，運用了分類討論的數學思想，屬于中檔題．16、【解析】分析：先求出四個電子元件的使用壽命超過1000小時的概率都為，再設A={元件1或元件2正常工作}，B={元件3或元件4正常工作},再求P(A),P(B),再求P(AB)得解.詳解：由于四個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從正態分布，所以四個電子元件的使用壽命超過1000小時的概率都為設A={元件1或元件2正常工作}，B={元件3或元件4正常工作},所以所以該部件的使用壽命超過1000小時的概率為.故答案為：.點睛：（1）本題主要考查正態分布曲線，考查獨立事件同時發生的概率，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)一般地，如果事件相互獨立，那么這個事件同時發生的概率，等于每個事件發生的概率的積，即．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）分布列見解析.【解析】

（1）由表格可知：這天的日均值監測數據中，只有天達到一級，然后利用組合計數原理與古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率；（2）由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，然后利用超幾何分布即可得出隨機變量的分布列.【詳解】（1）由表格可知：這天的日均值監測數據中，只有天達到一級．隨機抽取天，恰有天空氣質量達到一級的概率為；（2）由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，，，，.因此，隨機變量的分布列如下表所示：本題考查了概率的計算，同時也考查了超幾何分布及其分布列等基礎知識與基本技能，屬于中檔題．18、(1).(2)見詳解.【解析】

(1)設公差為，由已知條件列出方程組，解得，解得數列的通項公式.(2)得出，可由裂項相消法求出其前項和，進而可證結論.【詳解】(1)設等差數列的公差為().由題意得則化簡得解得所以.(2)證明：，所以.本題考查等差數列和等比數列的基本量運算、裂項相消法求和、不等式的證明.通項公式形如的數列，可由裂項相消法求和.19、(1)詳見解析;(2);(3)當時，萬元.【解析】（1）直接將四個點在平面直角坐標系中描出；（2）先計算，，再借助計算出，求出回歸方程；（3）依據線性回歸方程求出當時，的值：【試題分析】（1）按數學歸納法證明命題的步驟：先驗證時成立，再假設當時，不等式成立，分析推證時也成立：(1)(2)；所求的線性回歸方程：(3)當時，萬元20、（1）；（2）.【解析】

（1）求出函數的導數，利用函數在某個點取得極值的條件，得到方程組，求得的值，從而得到函數的解析式；（2）利用函數的單調性以及極值，通過有三個不等的實數解，求得的取值范圍.【詳解】（1）因為，所以，由時，函數有極值，得，即，解得所以；（2）由（1）知，所以，所以函數在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數，當時，有極大值；當時，有極小值，因為關于的方程有三個不等實根，所以函數的圖象與直線有三個交點，則的取值范圍是.該題考查的是有關應用導數研究函數的問題，涉及到的知識點有函數在極值點處的導數為0，利用條件求函數解析式，利用導數研究函數的單調性與極值，將方程根的個數轉化為圖象交點的個數來解決，屬于中檔題目.21、（1）異面直線AE和DF所成角的大小為arccos（2）二面角B-DF-C的平面角的大小為arccos2【解析】

由已知可得DA，DC，DE兩兩互相垂直，以D為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系．(1)求出AE,BF的坐標，利用數量積求夾角求解異面直線AE和(2)分別求出平面BDF與平面DFC的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得