甘肅省隴東中學2024-2025學年數學高二第二學期期末檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數在定義域上有兩個極值點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．“直線垂直于平面內無數條直線”是“直線垂直于平面”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知函數．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）4．如圖，網格紙上小正方形的邊長為，粗線條畫出的是一個三棱錐的三視圖，則該三棱錐的體積是（）A． B． C． D．5．已知向量，，若，則（）A．－1 B．1 C．－2或1 D．－2或－16．設是函數的導函數，則的值為（）A． B． C． D．7．關于x的不等式的解集中，恰有3個整數，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．（4,5）8．6名學生站成一排,若學生甲不站兩端,則不同站法共有()A．240種 B．360種 C．480種 D．720種9．如圖所示程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”，執行該程序框圖，若輸入的分別為10，14，則輸出的（）A．6 B．4 C．2 D．010．已知函數的圖像關于點對稱，曲線在點處的切線過點，設曲線在處的切線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．11．拋物線的焦點為,過點的直線交拋物線于、兩點，點為軸正半軸上任意一點，則（）A． B． C． D．12．函數在上有唯一零點，則的取值范圍為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的二項展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則該二項展開式中的常數項等于_____.14．設某同學選擇等級考科目時，選擇物理科目的概率為0.5，選擇化學科目的概率為0.6，且這兩個科目的選擇相互獨立，則該同學在這兩個科目中至少選擇一個的概率是________15．設等差數列的前項和為，則成等差數列.類比以上結論有：設等比數列的前項積為，則，__________，成等比數列.16．位老師和位同學站成一排合影，要求老師相鄰且不在兩端的排法有______種.（用數字作答）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）盒內有大小相同的9個球，其中2個紅色球，3個白色球，4個黑色球.規定取出1個紅色球得1分，取出1個白色球得0分，取出1個黑色球得－1分.現從盒內任取3個球（Ⅰ）求取出的3個球中至少有一個紅球的概率；（Ⅱ）求取出的3個球得分之和恰為1分的概率；（Ⅲ）設為取出的3個球中白色球的個數，求的分布列.18．（12分）平面四邊形中，,為等邊三角形，現將沿翻折得到四面體，點分別為的中點.（Ⅰ）求證：四邊形為矩形；（Ⅱ）當平面平面時，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知函數．（1）若，求函數的最大值；（2）令，討論函數的單調區間；（3）若，正實數滿足，證明.20．（12分）已知函數，.（1）若函數的圖象與直線相切，求實數的值；（2）設函數在區間內有兩個極值點.（ⅰ）求實數的取值范圍；（ⅱ）若恒成立，求實數的取值范圍.21．（12分）已知命題：“曲線表示焦點在軸上的橢圓”，命題：不等式對于任意恒成立.（1）若命題為真命題，求實數的取值范圍；（2）若命題為真，為假，求實數的取值范圍.22．（10分）已知函數，為常數（Ⅰ）若時，已知在定義域內有且只有一個極值點，求的取值范圍；（Ⅱ）若，已知，恒成立，求的取值范圍。

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據等價轉化的思想，可得在定義域中有兩個不同的實數根，然后利用根的分布情況，可得，最后利用導數判斷單調性，可得結果.【詳解】令，依題意得方程有兩個不等正根，，則，，令，在上單調遞減，，故的取值范圍是，故選：B本題考查根據函數極值點求參數，還考查二次函數根的分布問題，難點在于使用等價轉化的思想，化繁為簡，屬中檔題.2、B【解析】

由“直線垂直于平面”可得到“直線垂直于平面內無數條直線”，反之不成立（如與無數條平行直線垂直時不成立），所以“直線垂直于平面內無數條直線”是“直線垂直于平面”的必要而不充分條件，故選B.考點：充分條件與必要條件3、C【解析】分析：首先根據g（x）存在2個零點，得到方程有兩個解，將其轉化為有兩個解，即直線與曲線有兩個交點，根據題中所給的函數解析式，畫出函數的圖像（將去掉），再畫出直線，并將其上下移動，從圖中可以發現，當時，滿足與曲線有兩個交點，從而求得結果.詳解：畫出函數的圖像，在y軸右側的去掉，再畫出直線，之后上下移動，可以發現當直線過點A時，直線與函數圖像有兩個交點，并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數的圖像有兩個交點，即方程有兩個解，也就是函數有兩個零點，此時滿足，即，故選C.點睛：該題考查的是有關已知函數零點個數求有關參數的取值范圍問題，在求解的過程中，解題的思路是將函數零點個數問題轉化為方程解的個數問題，將式子移項變形，轉化為兩條曲線交點的問題，畫出函數的圖像以及相應的直線，在直線移動的過程中，利用數形結合思想，求得相應的結果.4、B【解析】

由三視圖得到該幾何體為三棱錐，底面是等腰直角三角形，且，三棱錐的高為1．再由棱錐體積公式求解．【詳解】由三視圖還原原幾何體，如圖所示，該幾何體為三棱錐，底面是等腰直角三角形，且，三棱錐的高為1．∴該三棱錐的體積．故選B．本題考查了幾何體的三視圖及體積的計算，在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要根據三視圖的規則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數量關系，利用相應公式求解．5、C【解析】

根據題意得到的坐標，由可得的值.【詳解】由題，，，或，故選C本題考查利用坐標法求向量差及根據向量垂直的數量積關系求參數6、C【解析】分析：求導，代值即可.詳解：，則.故選：C.點睛：對于函數求導，一般要遵循先化簡再求導的基本原則．求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤．7、A【解析】

不等式等價轉化為，當時，得，當時，得，由此根據解集中恰有3個整數解，能求出的取值范圍。【詳解】關于的不等式，不等式可變形為，當時，得，此時解集中的整數為2，3，4，則；當時，得，，此時解集中的整數為-2，-1，0，則故a的取值范圍是，選：A。本題難點在于分類討論解含參的二次不等式，由于二次不等式對應的二次方程的根大小不確定，所以要對和1的大小進行分類討論。其次在觀察的范圍的時候要注意范圍的端點能否取到，防止選擇錯誤的B選項。8、C【解析】

先選2人（除甲外）排在兩端，其余的4人任意排，問題得以解決．【詳解】先選2人(除甲外)排在兩端,其余的4人任意排,故種，故選：C.本題考查排列、組合及簡單計數問題，常用的方法有元素優先法、插空法、捆綁法、分組法等，此題考查元素優先法，屬于簡單題.9、C【解析】

由程序框圖，先判斷，后執行，直到求出符合題意的.【詳解】由題意，可知，，滿足，不滿足，則，滿足，滿足，則，滿足，滿足，則，滿足，不滿足，則，不滿足，輸出.故選C.本題考查了算法和程序框圖，考查了學生對循環結構的理解和運用，屬于基礎題.10、C【解析】

由題意可得對任意恒成立，可得，，根據導數的幾何意義可得在點處切線的斜率，進而可求出在點處切線的方程，將點代入切線的方程即可求出，進而可求出，再利用誘導公式及同角三角函數關系，即可到答案．【詳解】因為函數的圖像關于點對稱，所以對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，所以，，所以，所以，所以函數在處的切線的斜率，又，所以切線的方程為，又切線過點，所以，解得，所以函數在處的切線的斜率，所以，所以，所以．故選：C．本題考查函數的對稱中心方程應用，導數的幾何意義及在一點處的切線的方程，同時考查誘導公式和同角基本關系，屬于中檔題．11、B【解析】

分析：設，則，由利用韋達定理求解即可.詳解：設，的焦點，設過點的直線為，，，，，故選B.點睛：本題主要考查平面向量數量積公式、平面向量的運算、直線與拋物線的位置關系，意在考查綜合運用所學知識解決問題的能力，考查轉化與劃歸思想以及計算能力，屬于中檔題.12、C【解析】分析：函數有唯一零點，則即可詳解：函數為單調函數，且在上有唯一零點，故，解得故選點睛：函數為一次函數其單調性一致，不用分類討論，為滿足有唯一零點列出關于參量的不等式即可求解。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

由題意可得，再利用二項展開式的通項公式，求得二項展開式常數項的值．【詳解】的二項展開式的中，只有第5項的二項式系數最大，，通項公式為，令，求得，可得二項展開式常數項等于，故答案為1．本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題．14、0.8【解析】

根據相互獨立事件概率的計算公式,及對立事件的概率求法,即可求解.【詳解】因為選擇物理科目的概率為0.5,選擇化學科目的概率為0.6,所以既不選擇物理也不選擇化學的概率為所以由對立事件的性質可知至少選擇一個科目的概率為故答案為:本題考查了獨立事件的概率求法,對立事件的性質應用,屬于基礎題.15、【解析】由于等差數列的特征是差，等比數列的特征是比，因此運用類比推理的思維方法可得：，，成等比數列，應填答案。16、24【解析】

根據題意，分2步進行分析：第一步，將3位同學全排列，排好后中間有2個空位可用；第二步，將2位老師看成一個整體，安排在2個空位中，由分步計數原理計算可得答案.【詳解】解：根據題意，分2步進行分析：第一步，將3位同學全排列，有種排法，排好后中間有2個空位可用；第二步，將2位老師看成一個整體，安排在2個空位中，有種安排方法.則有種排法.故答案為:24.本題考查排列組合及簡單的計數問題.對于不相鄰的問題，一般采用插空法；對于相鄰的問題，一般采用捆綁法.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【解析】

（Ⅰ）可以求其反面，一個紅球都沒有，求出其概率，然后求取出的1個球中至少有一個紅球的概率，從而求解；（Ⅱ）可以記“取出1個紅色球，2個白色球”為事件B，“取出2個紅色球，1個黑色球”為事件C，求出事件B和C的概率，從而求出1個球得分之和恰為1分的概率；（Ⅲ）ξ可能的取值為0，1，2，1，分別求出其概率【詳解】解：（Ⅰ）取出的1個球中至少有一個紅球的概率：（1分）（Ⅱ）記“取出1個紅色球，2個白色球”為事件B，“取出2個紅色球，1個黑色球”為事件C，則．…（6分）（Ⅲ）ξ可能的取值為0，1，2，1．…（7分），，，．…（11分）ξ的分布列為：ξ0121P考點：1古典概型概率;2分布列18、（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）【解析】【試題分析】（1）先運用三角形中位線定理證得四邊形為平行四邊形，再借助等邊三角形的性質及線面垂直的判定定理證明，進而證明，從而證明四邊形為矩形；（2）先依據題設條件及面面垂直的性質定理證明平面，再建立空間直角坐標系，運用空間向量的數量積公式求出平面的一個法向量.進而求出直線與平面所成角的正弦值：解：（Ⅰ）∵點分別為的中點，∴且，∴四邊形為平行四邊形.取的中點，連結.∵為等腰直角三角形，為正三角形，∴,∴平面.又∵平面，∴，由且可得，∴四邊形為矩形.（Ⅱ）由平面分別以的方向為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.依題意，設，則，∴.設為平面的一個法向量，則有令，則.∴直線與平面所成角的正弦值.點睛：解答本題的第一問時，先運用三角形中位線定理證得四邊形為平行四邊形，再借助等邊三角形的性質及線面垂直的判定定理證明，進而證明，從而證明四邊形為矩形；解答地二問時先依據題設條件平面平面及面面垂直的性質定理證明平面，再建立空間直角坐標系求解．19、（1）f（x）的最大值為f（1）=1．（2）見解析（3）見解析【解析】試題分析：（Ⅰ）代入求出值，利用導數求出函數的極值，進而判斷最值；（Ⅱ）求出，求出導函數，分別對參數分類討論，確定導函數的正負，得出函數的單調性；（Ⅲ）整理方程，觀察題的特點，變形得，故只需求解右式的范圍即可，利用構造函數，求導的方法求出右式的最小值.試題解析：（Ⅰ）因為，所以a=-2，此時f（x）=lnx-x2+x，f'（x）=-2x+1，由f'（x）=1，得x=1，∴f（x）在（1，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，故當x=1時函數有極大值，也是最大值，所以f（x）的最大值為f（1）=1．

（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax2-ax+1，∴g（x）=lnx-ax2-ax+x+1，當a=1時，g'（x）＞1，g（x）單調遞增；當a＞1時，x∈（1，）時，g'（x）＞1，g（x）單調遞增；x∈（，+∞）時，g'（x）＜1，g（x）單調遞減；當a＜1時，g'（x）＞1，g（x）單調遞增；（Ⅲ）當a=2時，f（x）=lnx+x2+x，x＞1，．由f（x1）+f（x2）+x1x2=1，即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x2x1=1．從而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2-ln（x1x2），．令t=x2x1，則由φ（t）=t-lnt得，φ'（t）=．可知，φ（t）在區間（1，1）上單調遞減，在區間（1，+∞）上單調遞增．所以φ（t）≥1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，正實數x1，x2，∴．20、（1）.（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解析】

求導并設出切點，建立方程組，解出即可；

（ⅰ）求導得，令，則函數在上有兩個零點，，由此建立不等式組即可求解；

（ⅱ）由根與系數的關系可得，，且，故，通過換元令，可得，令，由導數研究其最值即可．【詳解】（1）由得，所以切點為，代入，即，得.（2），，（ⅰ）由題意知方程在內有兩個不等實根，可得，解得，故實數的取值范圍為.（ⅱ）因為恒成立，所以恒成立，由（ⅰ）知，(，)，當，，所以，則在區間上為單調減函數，故，，令，由得，記，因為，所以在上為減函數，所以在上的取值集合為.因為恒成立，所以，故實數的取值范圍為.本題主要考查導數的綜合運用，主要是考查利用導數研究函數的單調性及最值，當有多個變量時，首先應該想到的是減少變量個數，即降元思想，本題屬于較難題目．21、（1）.【解析】

（1）由命題得命題由命題為真，得為真命題或為真命題，列m的不等式求解即可；（2）由命題為