2025年江蘇省江陰市普通高中高二下數學期末達標檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，以線段為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為，且滿足，則的離心率滿足（）A． B． C． D．2．命題“任意”為真命題的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．3．定義在上的偶函數滿足，且當時，，函數是定義在上的奇函數，當時，，則函數的零點的的個數是（）A．9 B．10 C．11 D．124．已知某一隨機變量ξ的概率分布列如圖所示，且E(ξ)＝6.3，則a的值為()ξ4a9P0.50.1bA．5 B．6 C．7 D．85．已知函數，過點作曲線的兩條切線，，切點分別為，，設，若對任意的正整數，在區間內存在個數，，…，使得不等式成立，則的最大值為()A．4 B．5 C．6 D．76．設集合，若，則（）A．1 B． C． D．-17．組合數恒等于（）A． B． C． D．8．已知向量，若，則（）A．1 B． C．2 D．39．橢圓的點到直線的距離的最小值為（）A． B． C． D．010．給出下列三個命題：①“若，則”為假命題；②若為真命題，則,均為真命題；③命題，則.其中正確的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．311．從5名男生和5名女生中選3人組隊參加某集體項目的比賽，其中至少有一名女生入選的組隊方案數為()A．90 B．60 C．120 D．11012．如圖所示，程序框圖輸出的某一實數中，若，則菱形框中應填入()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數在閉區間上的最大值為__________．14．首屆中國國際進口博覽會在上海舉行，某高校擬派4人參加連續5天的志愿者活動，其中甲連續參加2天，其他人各參加1天，則不同的安排方法有_____種（結果用數值表示）15．的展開式中，的系數為______．16．已知為拋物線的焦點，點、在拋物線上位于軸的兩側，且（其中為坐標原點），若的面積是，的面積是，則的最小值是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，為拋物線上的相異兩點，且.（1）若直線過，求的值；（2）若直線的垂直平分線交軸與點，求面積的最大值.18．（12分）已知拋物線：上一點到其準線的距離為1．（1）求拋物線的方程；（1）如圖，，為拋物線上三個點，，若四邊形為菱形，求四邊形的面積．19．（12分）甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數相等，所出次品數分別為，，且和的分布列為：012012試比較兩名工人誰的技術水平更高．20．（12分）已知函數，（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若方程有三個實數根，求實數的取值范圍.21．（12分）用函數單調性的定義證明：函數在是減函數.22．（10分）設函數，，，其中是的導函數.（1）令，，，求的表達式；（2）若恒成立，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分析：聯立圓與漸近線方程，求得M的坐標，由，得點在雙曲線右支上，代入雙曲線方程化簡即可求．詳解：由，得，即，由，，即由，化簡得，即，故選D.點睛：本題考查雙曲線的簡單幾何性質，點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．2、C【解析】試題分析：對此任意性問題轉化為恒成立，當，即，，若是原命題為真命題的一個充分不必要條件，那應是的真子集，故選C.考點：1.集合；2.充分必要條件.3、C【解析】

由，得出，轉化為函數與函數圖象的交點個數，然后作出兩個函數的圖象，觀察圖像即可．【詳解】由于，所以，函數的周期為，且函數為偶函數，由，得出，問題轉化為函數與函數圖象的交點個數，作出函數與函數的圖象如下圖所示，由圖象可知，，當時，，則函數與函數在上沒有交點，結合圖像可知，函數與函數圖象共有11個交點，故選C.本題考查函數的零點個數，有兩種做法：一是代數法，解代數方程；二是圖象法，轉化為兩個函數的公共點個數，在畫函數的圖象是，要注意函數的各種性質，如周期性、奇偶性、對稱性等性質的體現，屬于中等題．4、C【解析】分析：先根據分布列概率和為1得到b的值，再根據E(X)=6.3得到a的值.詳解：根據分布列的性質得0.5+0.1+b=1,所以b=0.4.因為E(X)=6.3，所以4×0.5+0.1×a+9×0.4=6.3，所以a=7.故答案為C.點睛：（1）本題主要考查分布列的性質和隨機變量的期望的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)分布列的兩個性質：①，；②.5、B【解析】設，因，故，由題意過點可得；同理可得，因此是方程的兩個根，則，故．由于在上單調遞增，且，所以，因此問題轉化為對一切正整數恒成立．又，故，則，由于是正整數，所以，即的最大值為，應選答案B．6、A【解析】

由得且，把代入二次方程求得，最后對的值進行檢驗.【詳解】因為，所以且，所以，解得.當時，，顯然，所以成立，故選A.本題考查集合的交運算，注意求出參數的值后要記得檢驗.7、D【解析】

根據組合數的公式得到和，再比較選項得到答案.【詳解】．，可知故選：D．本題考查組合數的計算公式，意在考查基本公式，屬于基礎題型.8、B【解析】

可求出，根據即可得出，進行數量積的坐標運算即可求出x．【詳解】；∵；∴；解得．故選B.本題考查向量垂直的充要條件，向量坐標的減法和數量積運算，屬于基礎題．9、D【解析】

寫設橢圓1上的點為M（3cosθ，2sinθ），利用點到直線的距離公式，結合三角函數性質能求出橢圓1上的點到直線x+2y﹣4＝1的距離取最小值．【詳解】解：設橢圓1上的點為M（3cosθ，2sinθ），則點M到直線x+2y﹣4＝1的距離：d|5sin（θ+α）﹣4|，∴當sin（θ+α）時，橢圓1上的點到直線x+2y﹣4＝1的距離取最小值dmin＝1．故選D．本題考查直線與圓的位置關系、橢圓的參數方程以及點到直線的距離、三角函數求最值，屬于中檔題．10、B【解析】試題分析：①若，則且，所以①正確；②若為真命題，則，應至少有一個是真命題，所以②錯；③正確．考點：1.四種命題；2.命題的否定．11、D【解析】

用所有的選法共有減去沒有任何一名女生入選的組隊方案數，即得結果【詳解】所有的選法共有種其中沒有任何一名女生入選的組隊方案數為：故至少有一名女生入選的組隊方案數為故選本題主要考的是排列，組合及簡單計數問題，考查組合的運用，處理“至少有一名”類問題，宜選用間接法，是一道基礎題。12、B【解析】分析：由已知中的程序語句可知，該程序功能是利用循環結構計算并輸出實數對，模擬程序的運行過程，分析循環中各變量的變化情況，可得答案．詳解：由題意，當時，第1次循環，不滿足條件，；第2次循環，不滿足條件，；第3次循環，不滿足條件，；第4次循環，不滿足條件，；第5次循環，不滿足條件，，此時輸出結果，所以判斷框填寫的條件應為，故選B．點睛：本題主要考查了循環結構的程序框圖的判斷條件的添加問題，其中極大中應模擬程序框圖的運行過程，把握程序框圖的運算功能是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】

先求出函數的導數，在閉區間上，利用導數求出函數的極值，然后與進行比較，求出最大值.【詳解】，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以是函數的極大值點，即，，，所以函數在閉區間上的最大值為3.本題考查了閉區間上函數的最大值問題.解決此類問題的關鍵是在閉區間上先利用導數求出極值，然后求端點的函數值，最后進行比較，求出最大值.14、24【解析】

首先安排甲，可知連續天的情況共有種，其余的人全排列，相乘得到結果.【詳解】在天里，連續天的情況，一共有種剩下的人全排列：故一共有：種本題考查基礎的排列組合問題，解題的關鍵在于對排列組合問題中的特殊元素，要優先考慮，然后再考慮普通元素.15、【解析】

首先求出的展開式的通項，再令，即可求出含的項及系數.【詳解】設的展開式的通項為令，.令，.所以的展開式中，含的項為.所以的系數為.故答案為：本題主要考查根據二項式定理求指定項系數，熟練掌握二項式展開式的通項為解題的關鍵，屬于中檔題.16、【解析】

設點、，并設，則，利用，可得出，并設直線的方程為，將此直線與拋物線的方程聯立，利用韋達定理可求出的值，可得出直線過定點，再利用三角形的面積公式以及基本不等式可求出的最小值.【詳解】設點、，并設，則，，則，易知，得，.設直線的方程為，代入拋物線的方程得，則，得，所以直線的方程為，直線過軸上的定點，，當且僅當時，等式成立，因此，的最小值為，故答案為.本題考查直線與拋物線的綜合問題，常規思路就是設出直線方程，將其與拋物線的方程聯立，利用韋達定理求解，另外在求最值時，充分利用基本不等式進行求解，難點在于計算量較大，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）設直線的方程為，聯立拋物線方程，運用韋達定理和中點坐標公式，以及弦長公式，計算可得所求值；（2）設線段的中點為，，運用中點坐標公式和直線的斜率公式，以及直線方程，可得的坐標，設出直線的方程代入拋物線方程，運用韋達定理，以及弦長公式和點到直線的距離公式，化簡整理，結合基本不等式可得所求最大值．【詳解】解：（1）當垂直于軸或斜率為零時，顯然不符合題意，所以可設直線的方程為，代入方程，得故，結合解得.因此，.（2）設線段的中點為，，則，，．線段的垂直平分線的方程是，①由題意知，是①的一個解，所以線段的垂直平分線與軸的交點為定點，且點坐標為．直線的方程為，即，②②代入得，即，③依題意，，是方程③的兩個實根，且，所以△，即．，，，點到線段的距離，．當且僅當，即時，上式取得等號．所以面積的最大值為．本題考查直線的垂直平分線經過定點的證明，考查三角形面積的表達式的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意均值定理的合理運用，屬于中檔題．18、(1)；(1)或【解析】

（1）利用點在拋物線上和焦半徑公式列出關于的方程組求解即可．（1）設出A,C點的坐標及直線AC,利用設而不求和韋達定理求出AC中點的坐標，然后求出B點的坐標，利用B在拋物線上以及直線BD和直線AC的斜率互為負倒數列出方程組求出B點坐標，然后求出AC的長度，即可求出面積．【詳解】（1）由已知可得，消去得：，拋物線的方程為（1）設，，菱形的中心當軸，則在原點，，，，菱形的面積，解法一：當與軸不垂直時，設直線方程：，則直線的斜率為消去得：，，∵為的中點∴，點在拋物線上，且直線的斜率為．解得：，，綜上，或解法二：設，直線的斜率為，直線的斜率為，可以設直線：消去得：∵，解方程：，解得，，接下去同上．本題考查了直線與拋物線的位置關系，計算量較大，考查計算能力，屬于難題．19、工人乙的技術水平更高【解析】

計算平均數與方差，即可得出結論．【詳解】，．，說明兩人出的次品數相同，可以認為他們技術水平相當，又，．，工人乙的技術比較穩定.∴可以認為工人乙的技術水平更高.本題考查平均數與方差的實際意義，考查學生的計算能力，屬于基礎題．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）分別在、、三種情況下去掉絕對值，得到不等式，解不等式求得結果；（Ⅱ）將方程變為，分類討論得到的圖象，通過數形結合求得取值范圍.【詳解】（Ⅰ）當時，，可得：當時，，解得：當時，，則無解綜上所述：不等式的解集為：（Ⅱ）由方程可變形為：令，則作出函數的圖象如下圖所示：結合圖象可知：，又，本題考查絕對值不等式的求解、根據方程根的個數求解參數范圍的問題，關鍵是能夠將方程根個數問題轉化為直線與函數交點的個數問題，通過數形結合的方式來進行求解.21、證明過程見解析.【解析】

按照單調性的定義進行證明，先設是上任意兩個實數，則，然后用差比的方法，結合，比較出，這樣就證明出函數在是減函數.【詳解】設是上任意兩個實數，則，，，所以有，因此函數在是減函數.本題考查了用定義證明函數單調性，用差比的方法比較出的大小關系是解題的關鍵，一般在差比比較過程中，往往會用到因式分解、配方法、通分法等方法.22、（1）；（2）.【解析】分析：（1）求出的解析式，依次計算即可得出猜想；

（2）已知恒成立，即恒成立．設(x≥0)，則φ′(x)＝=－＝，對進行討論，求出的最小值，令恒成立即可；詳解：由題設得，g(x)＝(x≥0)．(1)由已知，g1(x)＝，g2(x)＝g(g1(x))＝＝，g3(x)＝，…，可得gn(x)＝.下面用數學歸納法證明．①當n＝1時，g1(x)＝，結論成立．②假設n＝k時結論成立，即gk(x)＝.那么，當n＝k＋1時，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝，即結論成立．由①②可知，結論對n∈N＋成立．所以gn(x)＝.(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立．設φ(x)＝ln(1＋x)