PAGEPAGE112排列、組合與二項式定理1.從4本不同的課外讀物中,買3本送給3名同學,每人1本,則不同的送法種數是().A.12 B.24 C.64 D.81解析?4本不同的課外讀物選3本送給3名同學,每人1本,則不同的送法種數是A

43=答案?B2.從4名男同學和3名女同學中選出3名參與某項活動,則男女生都有的選法種數是().A.18 B.24 C.30 D.36解析?(法一)選出的3人中有2名男同學、1名女同學的選法有CC

4231=18種,選出的3人中有1名男同學、2名女同學的選法有CC

4132=12種,故3名學生中男女生都有的選法有C(法二)所求選法種數等于從7名同學中任選3名的選法種數,再除去所選3名同學全是男生或全是女生的選法種數,即C73-C43-答案?C3.用數字1,2,3,4,5組成的無重復數字的四位偶數的個數為().A.8 B.24 C.48 D.120解析?末位數字排法有A

21種,其他位置排法有A

43種,共有AA答案?C4.已知x-1x7的綻開式的第4項等于5,則xA.17 B.-17 C.7 D解析?由T4C=73x4-1x3答案?B實力1?排列問題【例1】有3名男生、4名女生,在下列不同條件下,求不同的排列方法種數.(1)選5人排成一排;(2)排成前后兩排,前排3人,后排4人;(3)(一題多解)全體排成一排,甲不站排頭也不站排尾;(4)全體排成一排,女生必需站在一起;(5)全體排成一排,男生互不相鄰.解析?(1)從7人中選5人排列,有A

75=7×6×5×4×3=(2)分兩步完成,先選3人站前排,有A73種排列方法,再將余下4人站后排,有A44種排列方法,共有A7(3)(法一:特別元素優先法)先排甲,有5種排列方法,再排其余6人,有A66種排列方法,共有5×A6(法二:特別位置優先法)首尾位置可支配另外6人中的2人,有A62種排法,其他位置支配余下5人,有A55種排列方法,共有A6(4)(捆綁法)先將女生看作一個整體與3名男生一起全排列,有A44種排列方法,再將女生全排列,有A44種排列方法,共有A4(5)(插空法)先排女生,有A44種排列方法,再在女生之間及首尾5個空位中任選3個空位支配男生,有A53種排列方法,共有A4排列應用問題的分類與解法(1)對于有限制條件的排列問題,分析問題時有位置分析法、元素分析法,在實際進行排列時一般采納特別元素優先原則,即先支配有限制條件的元素或有限制條件的位置,對于分類過多的問題可以采納間接法.(2)對相鄰問題采納捆綁法、不相鄰問題采納插空法、定序問題采納倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.(1)7人站成兩排隊列,前排3人,后排4人,現將甲、乙、丙3人加入隊列,前排加1人,后排加2人,其他人保持相對位置不變,則不同的加入方法種數為().A.120 B.240 C.360 D.480(2)某班打算從甲、乙等7人中選派4人發言,要求甲、乙2人至少有1人參與,那么不同的發言依次有().A.30種 B.600種C.720種 D.840種解析?(1)第一步,從甲、乙、丙3人中選1人加入前排,有3種方法,其次步,前排3人形成了4個空位,任選1個空位加入1人,有4種方法,第三步,后排4人形成了5個空位,任選1個空位加入1人,有5種方法,此時形成6個空位,任選1個空位加入1人,有6種方法,依據分步乘法計數原理,有3×4×5×6=360種方法.(2)若甲、乙2人只有1人參與,則有C21C53A44=480種方法;若甲、乙2人都參與,則有C2答案?(1)C(2)C實力2?組合問題【例2】某市工商局對35種商品進行抽樣檢查,已知其中有15種假貨.現從35種商品中選取3種.(1)其中某一種假貨必需在內,不同的取法有多少種?(2)其中某一種假貨不能在內,不同的取法有多少種?(3)恰有2種假貨在內,不同的取法有多少種?(4)至少有2種假貨在內,不同的取法有多少種?解析?(1)從余下的34種商品中選取2種,有C

342=∴某一種假貨必需在內的不同取法有561種.(2)從34種可選商品中選取3種,有C343=∴某一種假貨不能在內的不同取法有5984種.(3)從20種真貨中選取1種,從15種假貨中選取2種,有C201C∴恰有2種假貨在內的不同取法有2100種.(4)選取2種假貨,有C201C152種取法,選取3種假貨,有C153種取法,共有C201∴至少有2種假貨在內的不同取法有2555種.組合問題常有以下兩類題型改變(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選取.(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型:解這類題必需非常重視“至少”與“至多”這兩個關鍵詞的含義,謹防重復與漏解.用干脆法和間接法都可以求解,通常用干脆法分類困難時,考慮逆向思維,用間接法處理.(1)在《爸爸去哪兒》其次季第四期中,村長給6位“萌娃”布置一項搜尋空投食物的任務.已知:①食物投擲地點有遠、近兩處;②由于Grace年紀尚小,所以要么不參與該項任務,但此時另需一位小孩在大本營陪伴,要么參與搜尋近處投擲點的食物;③全部參與搜尋任務的小孩須被均分成兩組,一組去遠處,一組去近處.那么不同的搜尋方案有().A.80種 B.70種C.40種 D.10種(2)若從1,2,3,…,9這9個整數中同時取4個不同的數,其和為偶數,則不同的取法共有().A.60種 B.63種C.65種 D.66種解析?(1)若Grace不參與該項任務,則有CC

5142=30種搜尋方案;若Grace參與該項任務,則有C

52=10種搜尋方案.(2)這9個整數中共有4個不同的偶數和5個不同的奇數,要使取出的4個數的和為偶數,則這4個數全為奇數,或全為偶數,或為2個奇數和2個偶數,故不同的取法共有C54+C44+答案?(1)C(2)D實力3?排列與組合的綜合應用【例3】(1)從0,2中選一個數字,從1,3,5中選兩個數字,組成無重復數字的三位數,其中奇數的個數為().A.24 B.18 C.12 D.6(2)某學校派出5名優秀老師去邊遠地區的三所中學進行教學溝通,每所中學至少派1名老師,則不同的安排方法有().A.80種 B.90種C.120種 D.150種解析?(1)從0,2中選一個數字0,則0只能排在十位,從1,3,5中選兩個數字排在個位與百位,共有A

32=6個奇數;從0,2中選一個數字2,則2排在十位(或百位),從1,3,5中選兩個數字排在百位(或十位)與個位,共有AA

2132=12個奇數.故共有A

(2)有兩類狀況:①其中一所學校3名老師,另外兩所學校各1名老師的分法有C53A33=60種;②其中一所學校1名老師,另外兩所學校各2名老師的分法有C51·C答案?(1)B(2)D(1)解排列組合問題常以元素(或位置)為主體,即先滿意特別元素(或位置),再考慮其他元素(或位置).對于排列組合的綜合題目,一般是將符合要求的元素取出或進行分組,再對取出的元素或分好的組進行排列.(2)不同元素的安排問題,往往是先分組再安排.在分組時,通常有三種類型:①不勻稱分組;②勻稱分組;③部分勻稱分組,留意各種分組類型中,不同分組方法的差異.其次對于相同元素的“安排”問題,常用的方法是采納“隔板法”.(1)若無重復數字的三位數滿意條件:①個位數字與十位數字之和為奇數;②全部數位上的數字和為偶數.則這樣的三位數的個數是().A.540 B.480 C.360 D.200(2)國家教化部為了發展貧困地區教化,在全國重點師范高校免費培育教化專業師范生,畢業后要分到相應的地區任教,現有6個免費培育的教化專業師范畢業生要平均分到3所學校去任教,有種不同的分派方法.

解析?(1)由個位數字與十位數字之和為奇數知,個位數字、十位數字1奇1偶,有CCA

515122=50種排法.全部數位上的數字和為偶數,則百位數字是奇數,有C

41=4(種)滿意題意的選法.(2)先把6個畢業生平均分成3組,有C62C42C22A3答案?(1)D(2)90實力4?綻開式中的特定項或項的系數【例4】(1)x2-12x6A.-54 B.54 C.-1516(2)若x+13xn的綻開式中前三項的系數分別為A,B,C,且滿意4A=9(C-B),則綻開式中x解析?(1)Tr+1C=6r(x2)6-r-12xr=C-12r6rx12-3r,令12-(2)由題意得A=1,B=n3,C=Cn2∴4=9n2-n18-n3,即n2-7n-8在x+13x8的綻開式中,∵其通項Tr+1=C8rx8-r·13xr=C8r3r·x8-2r,令8答案?(1)D(2)56(1)二項式定理的核心是通項公式,求解此類問題可以分兩步完成:第一步,依據所給出的條件(特定項)和通項公式,建立方程來確定指數(求解時要留意二項式系數中n和r的隱含條件,即n,r均為非負整數,且n≥r,如常數項指數為零、有理項指數為整數等);其次步,依據所求的指數,再求所求的項.(2)求兩個多項式的積的特定項,可先化簡或利用分類加法計數原理探討求解.(1)已知x-ax5的綻開式中x3(2)已知x2+mx5的綻開式中x7的系數為-10,則x解析?(1)x-ax5的綻開式的通項為Tr+1C=5r(x)5-r·-ax依題意,令5-2r=3,得r=1,∴(-a)1·C51=30,解得a=-(2)二項式x2+mx5的綻開式的通項為Tr+1=C5rx2(5-r)·mxr=mr令10-3r=7,得r=1,∴mC51解得m=-2.令10-3r=1,得r=3,∴綻開式中x的系數為(-2)3×C53=-答案?(1)-6(2)-80一、選擇題1.從6本不同的書中選出4本,分別發給4名同學,已知其中2本書不能發給甲同學,則不同的安排方法有().A.180種 B.220種C.240種 D.260種解析?因為其中2本書不能發給甲同學,所以甲只能從剩下的4本書中分得1本,然后從余下的5本書中選3本分給3名同學,故有A

41A·53=答案?C2.(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)=().A.x5 B.x5-1C.x5+1 D.(x-1)5-1解析?逆用二項式定理,得原式=[(x-1)+1]5-1=x5-1.答案?B3.從1,3,5,7,9這五個數中,每次取出兩個不同的數分別記為a,b,共可得到lga-lgb的不同值的個數是().A.9 B.10 C.18 D.20解析?∵lga-lgb=lgab(a>0,b>∴lgab有多少個不同的值,只需看ab從1,3,5,7,9中任取兩個不同的數,得到ab的值有A52個,又13與39相同,31與93相同,∴lga-lgb答案?C4.10名同學合影,站成了前排3人,后排7人,現攝影師要從后排7人中抽2人站前排,其他人的相對依次不變,則不同調整方法的種數為().A.C72AC.C72A解析?首先從后排的7人中抽2人,有C

72種方法;再把2個人在5個位置中選2個位置進行排列有A

52種.答案?C5.設5x-1xn的綻開式的各項系數之和為M,各二項式系數之和為N,若M-N=240,則綻開式中A.500 B.150 C.20 D.5解析?由已知條件得4n-2n=240,解得n=4,Tr+1=C4r(5x)4-r-1xr=(-1)r令4-3r2=1,得r=2,故T3=150x.答案?B6.有六人排成一排,其中甲只能在排頭或排尾,乙、丙兩人必需相鄰,則滿意要求的排法有().A.34種 B.48種C.96種 D.144種解析?特別元素優先支配,先讓甲從排頭、排尾中選取一個位置,有C

21種選法,再將乙、丙相鄰,捆綁在一起看作一個元素,與其余三個元素全排列,最終乙、丙可以換位,故共有C

21A·4答案?C7.甲、乙兩人要在一排8個空座上就坐,若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座,則坐法種數為().A.10 B.16 C.20 D.24解析?一排共有8個座位,現有兩人就坐,故有6個空座.∵要求每人左右均有空座,∴在6個空座的中間5個空中插入2個座位讓兩人就坐,即有A

52=答案?C8.已知(1+x)n的綻開式中第4項與第8項的二項式系數相等,則奇數項的二項式系數和為().A.29 B.210 C.211 D.212解析?由題意知C

n3C=n7,解得n=10,則奇數項的二項式系數和為2n-1答案?A9.在2024年的自主招生中,某校高三奧賽班有5名同學獲得甲、乙兩所高校的舉薦資格,且每人限舉薦一所高校.若這兩所高校中每個學校都至少有1名同學獲得舉薦,則這5名同學不同的舉薦方案共有().A.20種 B.30種 C.36種 D.40種解析?將舉薦方案分成兩類:一類是一所高校舉薦3人,另一所高校舉薦2人;另一類是一所高校舉薦4人,另一所高校舉薦1人.所以共有CA

5322CA+5答案?B10.在x2-13xn的綻開A.-7 B.7 C.-28 D.28解析?依題意有n2+1=5,∴n=8.二項式x2-13x8的綻開式的通項公式Tk+1=(-1)k·C128-k8kx8-43k,令8答案?B二、填空題11.某班主任打算請2025屆畢業生做報告,要從甲、乙等8人中選4人發言,要求甲、乙2人至少有1人參