2025年江蘇省揚州市梅嶺中學教育集團中考數學二模試卷一.選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）﹣2025的絕對值是（）A．﹣2025 B．2025 C．-12025 D2．（3分）下列運算正確的是（）A．a2?a3＝a6 B．a6÷a＝a3 C．（a2b）2＝a4b2 D．（a2）3＝a53．（3分）如圖是一個幾何體的平面展開圖，則這個幾何體是（）A． B． C． D．4．（3分）圖中的“雙魚”圖案是中心對稱圖形，其中一條“魚”經過怎樣的變換可以與另一條“魚”重合？下列結論：①1次旋轉；②2次平移；③2次軸對稱．其中所有正確結論的序號是（）A．① B．①② C．②③ D．①③5．（3分）一組數據：31，32，35，37，35，這組數據的平均數和中位數分別是（）A．34，34 B．35，35 C．34，35 D．35，346．（3分）如圖，直線m∥n，點A在直線m上，點B在直線n上，連接AB，過點A作AC⊥AB，交直線n于點C．若∠1＝50°，則∠2的度數為（）A．30° B．40° C．50° D．60°7．（3分）△ABC的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形DEF，其最長邊為12，則△DEF的周長是（）A．54 B．36 C．27 D．218．（3分）已知A（a，b），B（b，c），將線段AB平移得到線段CD，其中，點A的對應點為點C，若C（a+2，n），D（m，c﹣3），則m﹣n的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5二.填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）9．（3分）某種流感病毒的直徑大約為0.00000008米，用科學記數法表示為米．10．（3分）分解因式：2x2﹣2＝．11．（3分）若二次根式3-x有意義，則x的取值范圍是12．（3分）若a，b為連續整數，且a＜30＜b，則a+b＝13．（3分）一個圓錐的母線長為6，底面圓的半徑為4，那么這個圓錐的側面積是．14．（3分）一只不透明的袋子中裝有5個紅球和1個黃球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，摸出紅球的概率等于．15．（3分）如圖，點A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，則∠ABO的度數是．16．（3分）設x1，x2是關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的兩個實數根，則（x1﹣1）（x2﹣1）的值為．17．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函數y=kx（k＞0，x＞0）的圖象經過點B，則k的值為18．（3分）如圖，∠ACB＝60°，⊙O的半徑為3且與∠ACB兩邊都相切，點P為圓上一動點，分別作PM⊥CA，PN⊥CB，令s＝PM+2PN，則s的最大值與最小值的差為．三.解答題（本大題共10小題，共96分）19．計算：（1）π0（2）a220．解不等式組x-21．端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗．某食品廠為了解市民對去年銷量較好的A、B、C、D四種粽子的喜愛情況，在端午節前對某小區居民進行抽樣調查（每人只選一種粽子），并將調查情況繪制成如下兩幅尚不完整的統計圖．根據以上信息，解答下列問題：（1）補全條形統計圖，并在扇形統計圖中標出D種粽子所占百分比；（2）扇形統計圖中，D種粽子所在扇形的圓心角是°；（3）這個小區有2500人，估計愛吃B種粽子的人數為人．22．化學實驗課上，張老師帶來了Mg（鎂）、Al（鋁）、Zn（鋅）、Cu（銅）四種金屬，這四種金屬分別用四個相同的不透明容器裝著，讓同學們隨機選擇一種金屬與鹽酸反應來制取氫氣．（根據金屬活動順序可知：Mg、Al、Zn可以置換出氫氣，而Cu不能置換出氫氣）（1）小明從四種金屬中隨機選一種，則選到Al的概率為；（2）小明和小紅分別從四種金屬中隨機選一種金屬分別進行實驗，求二人所選金屬均能置換出氫氣的概率．23．為傳承我國傳統節日文化，端午節前夕，某校組織了包粽子活動．已知七（3）班甲組同學平均每小時比乙組多包20個粽子，甲組包150個粽子所用的時間與乙組包120個粽子所用的時間相同．求甲，乙兩組同學平均每小時各包多少個粽子．24．【代數推理】代數推理指從一定條件出發，依據代數的定義、公式、運算法則、等式的性質、不等式的性質等證明已知結果或結論．【發現問題】小明在計算時發現：對于任意兩個連續的正整數m、n，它們的乘積q（q＝mn）與較大數的和一定為較大數的平方．（1）舉例驗證：當m＝4，n＝5，則q+n＝4×5+5＝25＝52（2）推理證明：小明同學做了如下的證明：設m＜n，m、n是連續的正整數，∴n＝m+1；∵q＝mn，∴q+n＝mn+n＝n（m+1）＝n2．∴q+n一定是正數n的平方數．【類比猜想】小紅同學提出：任意兩個連續正整數的乘積與較小數的差是較小數的平方．請你舉例驗證及推理證明；【深入思考】若p=q+2n+q-2m（m，n為兩個連續奇數，0＜m25．如圖，點P是⊙O的直徑BA延長線上一點，AO＝AP，OP繞點P按逆時針方向旋轉60°，點O旋轉到點C，連接CO交⊙O于點D，連接DP．（1）判斷直線PD與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若AB＝2，求陰影部分的面積．26．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是CD邊上的一點，點P在BC邊上，且滿足∠DEP+∠APB＝180°．（1）請用不帶刻度的直尺和圓規，在所給的圖中作出符合條件的點P；（要求：尺規作圖，寫出必要的文字說明，保留作圖痕跡）（2）若CE＝1，試確定tan∠EPC的值．27．綜合與探究：如圖，四邊形OABC為正方形，M為線段OA上一動點，且OM＝a，連接BM．（1）如圖1，若OA＝8，將正方形OABC沿BM折疊，使得點A的對應點A′落在正方形內．①A′M＝；（用含字母a的代數式表示）②當M為OA中點時，如圖2，連接MA′并延長交OC于D，求證OD＝2CD．（2）如圖3，作BN⊥BM，交射線OC于點N，猜想并證明OM，ON，AB的數量關系．（3）當點M在射線AO上時，作BN⊥BM交射線OC于點N，射線NM與射線BO相交于點E，若ON＝3OM，請直接寫出NEME28．如圖1，拋物線y=12x2與一次函數y＝kx+b（k＞0，b＞0）交于A、B（1）當k=32，b＝2時，求A、（2）若b＝2，作OP⊥AB，則點P到y軸距離的最大值為．（3）如圖2，若k＝1，設直線AB與y軸交于點C，過點B作x軸垂線交AO延長線于點E，交x軸于點D．①求證：CO＝DE；②連接CE，交OD于點F，請判斷直線BF與拋物線的公共點個數，并說明理由．

2025年江蘇省揚州市梅嶺中學教育集團中考數學二模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案BCADCBCD一.選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）﹣2025的絕對值是（）A．﹣2025 B．2025 C．-12025 D【分析】根據絕對值的定義即可解決問題．【解答】解：由題知，﹣2025的絕對值是2025．故選：B．【點評】本題主要考查了絕對值，熟知絕對值的定義是解題的關鍵．2．（3分）下列運算正確的是（）A．a2?a3＝a6 B．a6÷a＝a3 C．（a2b）2＝a4b2 D．（a2）3＝a5【分析】利用同底數冪的除法的法則，同底數冪的乘法的法則，冪的乘方與積的乘方的法則對各項進行運算即可．【解答】解：A、a2?a3＝a5，故A不符合題意；B、a6÷a＝a5，故B不符合題意；C、（a2b）2＝a4b2，故C符合題意；D、（a2）3＝a6，故D不符合題意；故選：C．【點評】本題主要考查同底數冪的除法，冪的乘方與積的乘方，同底數冪的乘法，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．3．（3分）如圖是一個幾何體的平面展開圖，則這個幾何體是（）A． B． C． D．【分析】觀察所給平面展開圖即可選擇．【解答】解：由題圖知，該平面展開圖是由一個扇形和一個圓組成，由圓錐的側面展開圖是扇形，地面是一個圓，可知該幾何體是圓錐．故選：A．【點評】本題主要考查幾何體的展開圖，熟記幾何體展開圖的形狀是解題關鍵．4．（3分）圖中的“雙魚”圖案是中心對稱圖形，其中一條“魚”經過怎樣的變換可以與另一條“魚”重合？下列結論：①1次旋轉；②2次平移；③2次軸對稱．其中所有正確結論的序號是（）A．① B．①② C．②③ D．①③【分析】根據旋轉變換、平移變換和軸對稱變換逐項判斷即可求解．【解答】解：根據旋轉變換、平移變換和軸對稱變換逐項分析判斷如下：一條“魚”可以通過繞圖案中心旋轉180°與另一條“魚”重合，故①正確；通過平移變換無法使一條“魚”與另一條“魚”重合，故②錯誤；將一條“魚”沿一條通過圖案中心的直線進行軸對稱變換，然后沿另一條垂直于第一條直線的通過圖案中心的直線進行軸對稱變換，可以與另一條“魚”重合，故③正確；∴正確的結論為①③，故選：D．【點評】本題考查了旋轉變換，平移變換和軸對稱變換，掌握以上知識點是解題的關鍵．5．（3分）一組數據：31，32，35，37，35，這組數據的平均數和中位數分別是（）A．34，34 B．35，35 C．34，35 D．35，34【分析】根據平均數與中位數的定義求解即可．【解答】解：這組數據的平均數是：15這組數據從小大到大排序為：31，32，35，35，37，∵一共有5個數據，∴中位數為第3位數，即35，故選：C．【點評】本題主要考查了平均數與中位數的定義，熟練掌握平均數與中位數的求解方法是解答本題的關鍵．6．（3分）如圖，直線m∥n，點A在直線m上，點B在直線n上，連接AB，過點A作AC⊥AB，交直線n于點C．若∠1＝50°，則∠2的度數為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根據平行線的性質可得∠ACB＝∠1＝50°，進而根據∠BAC＝90°，即可求解．【解答】解：∵m∥n，∠1＝50°，∴∠ACB＝∠1＝50°，∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∴∠2＝90°﹣∠ACB＝40°，故選：B．【點評】本題考查了平行線的性質，直角三角形的性質，熟練掌握各知識點是解題的關鍵．7．（3分）△ABC的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形DEF，其最長邊為12，則△DEF的周長是（）A．54 B．36 C．27 D．21【分析】（1）方法一：設2對應的邊是x，3對應的邊是y，根據相似三角形的對應邊的比相等列等式，解出即可；方式二：根據相似三角形的周長的比等于相似比，列出等式計算．【解答】解：方法一：設2對應的邊是x，3對應的邊是y，∵△ABC∽△DEF，∴2x∴x＝6，y＝9，∴△DEF的周長是27；方式二：∵△ABC∽△DEF，∴C△∴2+3+4C∴C△DEF＝27；故選：C．【點評】本題考查了相似三角形的性質，掌握相似三角形的性質的應用是解題關鍵．8．（3分）已知A（a，b），B（b，c），將線段AB平移得到線段CD，其中，點A的對應點為點C，若C（a+2，n），D（m，c﹣3），則m﹣n的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5【分析】根據平移的性質，用含b的代數式表示出m和n即可解決問題．【解答】解：因為點A（a，b）平移后的對應點為C（a+2，n），點B（b，c）平移后的對應點為D（m，c﹣3），所以a+2﹣a＝m﹣b，n﹣b＝c﹣3﹣c，則m＝b+2，n＝b﹣3，所以m﹣n＝b+2﹣（b﹣3）＝5．故選：D．【點評】本題考查坐標與圖形變化﹣平移，熟知圖形平移的性質是解題的關鍵．二.填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）9．（3分）某種流感病毒的直徑大約為0.00000008米，用科學記數法表示為8×10﹣8米．【分析】確定所有零的個數n，省略所有的零，把小數點點在第一個非零數字的右邊，得到a，把小數寫成a×10﹣n即可．【解答】解：∵0.00000008＝8×10﹣8．故答案為：8×10﹣8．【點評】本題考查了小于1的數的科學記數法，熟練掌握a，指數的確定方法是解題的關鍵．10．（3分）分解因式：2x2﹣2＝2（x﹣1）（x+1）．【分析】先提公因式再利用平方差公式法進行因式分解即可．【解答】解：2x2﹣2＝2（x2﹣1）＝2（x2﹣12）＝2（x+1）（x﹣1）．故答案為：2（x+1）（x﹣1）．【點評】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法，是解題的關鍵．11．（3分）若二次根式3-x有意義，則x的取值范圍是x≤3【分析】直接利用二次根式的性質得出3﹣x的取值范圍，進而求出答案．【解答】解：∵二次根式3-x∴3﹣x≥0，解得：x≤3．故答案為：x≤3．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的性質是解題關鍵．12．（3分）若a，b為連續整數，且a＜30＜b，則a+b＝【分析】根據25＜30＜36，可得5＜30＜6，即可得出a＝5，b＝6，因此a+【解答】解：∵25＜∴5＜30＜∴a＝5，b＝6，∴a+b＝5+6＝11，故答案為：11．【點評】本題考查的是估算無理數的大小，熟練掌握其估算方法是解題的關鍵．13．（3分）一個圓錐的母線長為6，底面圓的半徑為4，那么這個圓錐的側面積是24π．【分析】根據圓錐的側面積公式進行計算即可．【解答】解：由題知，因為圓錐的母線長為6，底面圓的半徑為4，所以圓錐的側面積為：4×6×π＝24π．故答案為：24π．【點評】本題主要考查了圓錐的計算，熟知圓錐的側面積公式是解題的關鍵．14．（3分）一只不透明的袋子中裝有5個紅球和1個黃球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，摸出紅球的概率等于56【分析】用紅球的個數除以球的總個數即可得．【解答】解：∵袋子中共有5+1＝6個小球，其中紅球有5個，∴攪勻后從中任意摸出1個球，摸出紅球的概率等于56故答案為：56【點評】本題主要考查概率公式，解題的關鍵是掌握隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現的結果數÷所有可能出現的結果數．15．（3分）如圖，點A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，則∠ABO的度數是36°．【分析】根據∠ACB＝54°，可以得到∠AOB的度數，再根據OA＝OB，三角形內角和是180﹣°，即可得到∠ABO的度數．【解答】解：∵∠ACB＝54°，∴∠AOB＝108°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO，∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°，∴∠ABO＝36°，故答案為：36°．【點評】本題考查圓周角定理、三角形內角和，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．16．（3分）設x1，x2是關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的兩個實數根，則（x1﹣1）（x2﹣1）的值為﹣3．【分析】由x1，x2是關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的兩個實數根，得x1+x2＝2，x1?x2＝﹣2，而（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1?x2﹣（x1+x2）+1，再代入求值即可．【解答】解：∵x1，x2是關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的兩個實數根，∴x1+x2＝2，x1?x2＝﹣2，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1?x2﹣（x1+x2）+1＝﹣2﹣2+1＝﹣3；故答案為：﹣3．【點評】本題考查一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是把所求式子變形后整體代入求值．17．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函數y=kx（k＞0，x＞0）的圖象經過點B，則k的值為323【分析】過D作DE⊥x軸于E，過B作BF⊥x軸，BH⊥y軸，得到∠BHC＝90°，根據勾股定理得到AE＝4，根據矩形的性質得到AD＝BC，根據全等三角形的性質得到BH＝AE＝4，求得AF＝2，根據相似三角形的性質即可得到結論．【解答】解：過D作DE⊥x軸于E，過B作BF⊥x軸，BH⊥y軸，∴∠BHC＝90°，∵點D（﹣2，3），AD＝5，∴DE＝3，∴AE=AD∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∴∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠DCP+∠BCH＝∠BCH+∠CBH＝90°，∴∠CBH＝∠DCH，∵∠DCP+∠CPD＝∠APO+∠DAE＝90°，∠CPD＝∠APO，∴∠DCP＝∠DAE，∴∠CBH＝∠DAE，∵∠AED＝∠BHC＝90°，∴△ADE≌△BCH（AAS），∴BH＝AE＝4，∵OE＝2，∴OA＝2，∴AF＝2，∵∠APO+∠PAO＝∠BAF+∠PAO＝90°，∴∠APO＝∠BAF，∴△APO∽△BAF，∴OPAF∴12∴BF=8∴B（4，83∴k=32故答案為：323【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．18．（3分）如圖，∠ACB＝60°，⊙O的半徑為3且與∠ACB兩邊都相切，點P為圓上一動點，分別作PM⊥CA，PN⊥CB，令s＝PM+2PN，則s的最大值與最小值的差為63【分析】先證明PM+2PN=2(12PM+PN)，作MH⊥PN，從而可利用三角函數證得HP=12PM，進而證明【解答】解：作MH⊥NB于H，作MF⊥BC于F，∵PM⊥AC，PN⊥CB，∴∠PMC＝∠PNC＝90°，∴∠MPN＝360°﹣∠PMC﹣∠PNC﹣∠C＝120°，∴∠MPH＝180°﹣∠MPN＝60°，∴HP=∴PN+∵MH⊥HN，MF⊥FN，FH⊥HN，∴四邊形MFNH是矩形，∴MF＝NH，∴當MP與⊙O相切時，MF取得最大和最小，如圖1，連接OP，OG，OC，∵MP與⊙O相切，MG與⊙O相切，PM⊥CA，GO＝OP，∴四邊形OPMG是正方形，∴MG＝OP＝3，∵⊙O的半徑為3且與∠ACB兩邊都相切，∴OC平分∠MCN，∵∠ACB＝60°，∴∠OCG∴在Rt△COG中，∠COG＝90﹣∠OCG＝60°，∴CG＝OG?tan∠COG＝OG?tan60°＝33，∴CM=在Rt△CMF中，MF=∴HN=∴PM+2如圖2，∴CG=33，MG＝∴CM=3∴HM=(3∴PM+2∴9-33∵S＝PM+2PN，∴S的最大值為9+33與最小值為9-3∴S的最大值與最小值的差為(9+33故答案為：63【點評】本題考查了解直角三角形的相關計算，切線的性質定理，正方形的性質與判定，三角形內角和定理等知識點，解題關鍵是熟悉上述知識并能熟練運用求解．三.解答題（本大題共10小題，共96分）19．計算：（1）π0（2）a2【分析】（1）先根據零指數冪的運算法則，絕對值的性質及特殊角的三角函數值分別計算出各數，再根據實數的運算法則進行計算即可；（2）先算括號里面的，再算除法即可．【解答】解：（1）π＝1+2-1﹣=2＝0；（2）a=(=(a+2)(＝a+2．【點評】本題考查的是分式的混合運算，實數的運算，熟知分式混合運算的法則是解題的關鍵．20．解不等式組x-【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集，最后表示出來即可．【解答】解：∵解不等式x﹣6≤0得：x≤6，解不等式12（x﹣4）+3＞0得：x＞﹣2∴不等式組的解集為﹣2＜x≤6，在數軸上表示不等式組的解集為．整數解為﹣1，0，1，2，3，4，5，6．【點評】本題考查了解一元一次不等式（組）的應用，關鍵是能求出不等式組的解集．21．端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗．某食品廠為了解市民對去年銷量較好的A、B、C、D四種粽子的喜愛情況，在端午節前對某小區居民進行抽樣調查（每人只選一種粽子），并將調查情況繪制成如下兩幅尚不完整的統計圖．根據以上信息，解答下列問題：（1）補全條形統計圖，并在扇形統計圖中標出D種粽子所占百分比；（2）扇形統計圖中，D種粽子所在扇形的圓心角是108°；（3）這個小區有2500人，估計愛吃B種粽子的人數為500人．【分析】（1）先計算出抽樣調查的總人數，用總人數減去喜歡A，C，D種粽子的人數的和即可得到喜歡B種粽子的人數，從而補全統計圖，在求出D種粽子所占百分比；（2）用360°×百分比即可求出D種粽子所在扇形的圓心角；（3）根據樣本估計總體即可．【解答】解：（1）抽樣調查的總人數：240÷40%＝600（人），喜歡B種粽子的人數為：600﹣240﹣60﹣180＝120（人），補全條形統計圖，如圖所示：∵180÷600＝30%，∴D種粽子所占百分比為30%；（2）D種粽子所在扇形的圓心角是360°×30%＝108°，故答案為：108；（3）2500×120600愛吃B種粽子的人數為500人．故答案為：500．【點評】本題考查了條形統計圖與扇形統計圖，體現了用樣本估計總體的思想，計算出D種粽子所占的百分比是解題的關鍵．22．化學實驗課上，張老師帶來了Mg（鎂）、Al（鋁）、Zn（鋅）、Cu（銅）四種金屬，這四種金屬分別用四個相同的不透明容器裝著，讓同學們隨機選擇一種金屬與鹽酸反應來制取氫氣．（根據金屬活動順序可知：Mg、Al、Zn可以置換出氫氣，而Cu不能置換出氫氣）（1）小明從四種金屬中隨機選一種，則選到Al的概率為14（2）小明和小紅分別從四種金屬中隨機選一種金屬分別進行實驗，求二人所選金屬均能置換出氫氣的概率．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的結果數以及二人所選金屬均能置換出氫氣的結果數，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由題意得，選到Al的概率為14故答案為：14（2）列表如下：MgAlZnCuMg（Mg，Mg）（Mg，Al）（Mg，Zn）（Mg，Cu）Al（Al，Mg）（Al，Al）（Al，Zn）（Al，Cu）Zn（Zn，Mg）（Zn，Al）（Zn，Zn）（Zn，Cu）Cu（Cu，Mg）（Cu，Al）（Cu，Zn）（Cu，Cu）共有16種等可能的結果，其中二人所選金屬均能置換出氫氣的結果有：（Mg，Mg），（Mg，Al），（Mg，Zn），（Al，Mg），（Al，Al），（Al，Zn），（Zn，Mg），（Zn，Al），（Zn，Zn），共9種，∴二人所選金屬均能置換出氫氣的概率為916【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．23．為傳承我國傳統節日文化，端午節前夕，某校組織了包粽子活動．已知七（3）班甲組同學平均每小時比乙組多包20個粽子，甲組包150個粽子所用的時間與乙組包120個粽子所用的時間相同．求甲，乙兩組同學平均每小時各包多少個粽子．【分析】設乙組同學平均每小時包x個粽子，則甲組同學平均每小時包（x+20）個粽子，根據“甲組包150個粽子所用的時間與乙組包120個粽子所用的時間相同”列出分式方程，求解即可．【解答】解：設乙組同學平均每小時包x個粽子，則甲組同學平均每小時包（x+20）個粽子，根據題意得150x解得x＝80，經檢驗，x＝80是原方程的解，x+20＝100．答：甲組同學平均每小時包100個粽子，乙組同學平均每小時包80個粽子．【點評】本題主要考查了分式方程的應用，正確找出等量關系是解決問題的關鍵．24．【代數推理】代數推理指從一定條件出發，依據代數的定義、公式、運算法則、等式的性質、不等式的性質等證明已知結果或結論．【發現問題】小明在計算時發現：對于任意兩個連續的正整數m、n，它們的乘積q（q＝mn）與較大數的和一定為較大數的平方．（1）舉例驗證：當m＝4，n＝5，則q+n＝4×5+5＝25＝52（2）推理證明：小明同學做了如下的證明：設m＜n，m、n是連續的正整數，∴n＝m+1；∵q＝mn，∴q+n＝mn+n＝n（m+1）＝n2．∴q+n一定是正數n的平方數．【類比猜想】小紅同學提出：任意兩個連續正整數的乘積與較小數的差是較小數的平方．請你舉例驗證及推理證明；【深入思考】若p=q+2n+q-2m（m，n為兩個連續奇數，0＜m【分析】類比猜想：參考發現問題的舉例和推理過程計算即可；深入思考：由m，n為兩個連續奇數，0＜m＜n，可得n＝m+2，q＝mn＝m2+2m，然后代入計算即可．【解答】解：類比猜想：（1）舉例驗證：當m＝4，n＝5，則q﹣m＝4×5﹣4＝16＝42．（2）推理證明：小明同學做了如下的證明：設m＜n，m、n是連續的正整數，∴n＝m+1；∵q＝mn，∴q﹣m＝mn﹣m＝m（n﹣1）＝m2．∴q﹣m一定是正數m的平方數．深入思考：∵m，n為兩個連續奇數，0＜m＜n，∴n＝m+2，∴q＝mn＝m2+2m，∴p=∴p一定是偶數．【點評】本題考查完全平方公式的應用，二次根式化簡，理解題意、依照順序逐次解答是解題的關鍵．25．如圖，點P是⊙O的直徑BA延長線上一點，AO＝AP，OP繞點P按逆時針方向旋轉60°，點O旋轉到點C，連接CO交⊙O于點D，連接DP．（1）判斷直線PD與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若AB＝2，求陰影部分的面積．【分析】（1）連接AD，根據題意推出△OCP是等邊三角形，進而推出△AOD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到∠DAO＝∠ADO＝60°，AO＝AD，根據等腰三角形的性質、三角形外角性質求出∠ADP＝30°，則∠PDO＝90°，根據切線的判定定理即可得解；（2）根據陰影部分的面積＝S△ODP﹣S扇形OAD求解即可．【解答】（1）證明：如圖，連接AD，根據題意得，∠OPC＝60°，PO＝PC，∴△OCP是等邊三角形，∴∠AOD＝60°，∵AO＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠DAO＝∠ADO＝60°，AO＝AD，∵AO＝AP，∴AP＝AD，∴∠APD＝∠ADP，∵∠DAO＝∠APD+∠ADP，∴∠ADP＝30°，∴∠PDO＝∠ADP+∠ADO＝90°，∴PD⊥OD，∵OD是⊙O的半徑，∴DP是⊙O的切線；（2）解：∵AB＝2，∴AO＝DO＝1，∴OP＝2AO＝2，∴DP=O∴S△ODP=12DP?OD=1∵S扇形OAD=60?∴陰影部分的面積＝S△ODP﹣S扇形OAD=3【點評】此題考查了切線的判定與性質、扇形面積的計算，熟練切線的判定與性質、扇形面積的計算是解題的關鍵．26．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是CD邊上的一點，點P在BC邊上，且滿足∠DEP+∠APB＝180°．（1）請用不帶刻度的直尺和圓規，在所給的圖中作出符合條件的點P；（要求：尺規作圖，寫出必要的文字說明，保留作圖痕跡）（2）若CE＝1，試確定tan∠EPC的值．【分析】（1）連接AE，作AE的垂直平分線，以AE為直徑畫圓，交BC于點P′和P″，根據補角的定義、圓周角定理及四邊形內角和可得∠PEC+∠PED＝180°，∠PAD+∠PED＝180°，即可得∠PEC＝∠DAP，則點P′和P″即為所求；（2）根據矩形性質和∠PEC＝∠DAP，可以證明△ABP∽△PCE，對應邊成比例進而可得PC的長，根據正切的概念即可求解．【解答】解：（1）如圖，點P，點P′即為所求；（2）∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAP＝∠APB，∵∠PEC＝∠DAP，∴∠APB＝∠PEC，∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABP∽△PCE，∴BPCE設PC＝x，AB＝4，BC＝5，∴BP＝5﹣x，∴5-x解得x1＝1，x2＝4，∴PC的長為1或4，當PC＝1時，tan∠EPC=CECP當PC＝4時，tan∠EPC=CE綜上所述，tan∠EPC的值為1或14【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖，圓內接四邊形的性質，矩形的性質，相似三角形的判定與性質，圓周角定理，正切的概念，解決本題的關鍵是掌握矩形的性質．27．綜合與探究：如圖，四邊形OABC為正方形，M為線段OA上一動點，且OM＝a，連接BM．（1）如圖1，若OA＝8，將正方形OABC沿BM折疊，使得點A的對應點A′落在正方形內．①A′M＝8﹣a；（用含字母a的代數式表示）②當M為OA中點時，如圖2，連接MA′并延長交OC于D，求證OD＝2CD．（2）如圖3，作BN⊥BM，交射線OC于點N，猜想并證明OM，ON，AB的數量關系．（3）當點M在射線AO上時，作BN⊥BM交射線OC于點N，射線NM與射線BO相交于點E，若ON＝3OM，請直接寫出NEME【分析】（1）①由M為線段OA上一動點，且OA＝8，OM＝a，得AM＝8﹣a，由折疊得A′M＝AM＝8﹣a，于是得到問題的答案；②連接BD，設CD＝m，因為M為OA中點，所以AM＝OM＝a，OC＝OA＝AB＝CB＝2a，則OD＝2a﹣m，由折疊得∠BA′M＝∠A＝90°，A′M＝AM＝a，A′B＝AB，可根據“HL”證明Rt△A′BD≌Rt△CBD，得A′D＝CD＝m，由勾股定理得a2+（2a﹣m）2＝（a+m）2，求得m=23a，則CD=23a，OD＝2×23a（2）由∠MBN＝∠BCN＝∠BAC＝90°，得∠BCN＝∠A，∠CBN＝∠ABM＝90°﹣∠CBM，可證明△CBN≌△ABM，得CN＝AM，則OM+ON＝OM+CN+OC＝OA+OC＝2AB；（3）分兩種情況討論，一是點M在線段AO上，作EQ⊥OA于點Q，可證明∠QEO＝∠QOE＝45°，則OQ＝QE，由QE∥ON，得NEME=OQQM=QEQM，由△MQE∽△MON，得QEON=QMOM，則NEME=QEQM=ONOM=3；二是點M在線段AO的延長線上，作ER⊥CO的CO的延長線于點R，可證明∠REO＝∠ROE＝45°，則RN＝RE，由【解答】解：（1）①如圖1，∵M為線段OA上一動點，且OA＝8，OM＝a，∴AM＝8﹣a，∵將正方形OABC沿BM折疊，點A的對應點為點A′，∴A′M＝AM＝8﹣a，故答案為：8﹣a．②證明：如圖2，連接BD，設CD＝m，∵四邊形OABC為正方形，當M為OA中點時，OM＝a，∴∠A＝∠O＝∠BCD＝90°，AM＝OM＝a，OC＝OA＝AB＝CB＝2a，∴OD＝2a﹣m，由折疊得∠BA′M＝∠A＝90°，A′M＝AM＝a，A′B＝AB，∴∠BA′D＝∠BCD＝90°，A′B＝CB，∵BD＝BD，∴Rt△A′BD≌Rt△CBD（HL），∴A′D＝CD＝m，∵OM2+OD2＝MD2，且MD＝a+m，∴a2+（2a﹣m）2＝（a+m）2，∴m=23∴CD=23a，OD＝2a-23a＝∴OD＝2CD．（2）OM+ON＝2AB，證明：如圖3，∵BN⊥BM，交射線OC于點N，∴∠MBN＝∠BCN＝∠BAC＝90°，∴∠BCN＝∠A，∠CBN＝∠ABM＝90°﹣∠CBM，∵AB＝CB，OC＝OA＝AB，∴△CBN≌△ABM（ASA），∴CN＝AM，∴OM+ON＝OM+CN+OC＝OM+AM+OC＝OA+OC，∵OA+OC＝2AB，∴OM+ON＝2AB．（3）NEME的值