DSP第一章離散時間信號與系統

1.1離散時間信號——序列1.2線性移不變系統1.3常系數線性差分方程1.4時間信號的抽樣

第1章離散時間信號和系統

1.1離散時間信號——序列

1.1.1序列的定義1.1.2序列的基本運算1.1.3常用的基本序列1.1.4序列的周期性1.1.5用單位脈沖表示任意序列

1.1.1序列的定義信號在數學上定義為一個函數，這個函數表示一種信息，通常是關于一個物理系統的狀態或特性的。信號的函數表示是關于一個或幾個獨立變量的，關于一個獨立變量的信號稱為一維信號，關于多個獨立變量的信號稱為多維信號。在本書中，主要討論的信號是一維信號x(t),一般情況下x(t)為隨時間變化的信號，簡稱時間信號或時域信號。

若t是定義在時間上的連續變量，稱x(t)為連續時間信號，也就是模擬信號；若t僅在時間的離散點上取值，稱x(t)為離散時間信號或時域離散信號。離散時間信號可以通過對連續時間信號的采樣得到,這種情況下把信號記為x(nT)，T表示的是采樣點之間的時間間隔，n是一個整數。離散時間信號可以表示成下列形式：｛x(nT)｝n=0,±1,±2,±3,...

在大多數DSP系統中，x(nT)的存放是按n下標來放置的，不同的x(nT)只要靠n就可區別。因此，將x(nT)表示為x(n)，這是一種數學的抽象。所以一個離散時間信號定義為：｛x(n)｝n=0,±1,±2,±3,...{x(n)}定義在n等于整數點上，在n不等于整數點上，{x(n)}沒有定義，但并不表示信號值為零。從數學的角度看，上面的定義式表示一個序列，所以也把離散時間信號稱作離散時間序列，常常簡化為x(n)。

序列除了數學表達式外，還常常采用圖形方式來表示，如圖1.1所示。雖然橫坐標畫成一條連續的直線，但x(n)僅僅對于整數的n值才有意義。

圖1.1離散時間信號的圖形表示

離散時間信號在幅度上定義成連續的，如果將幅度進行量化，一般為等間隔量化。在時間和幅度上都取離散值的信號稱為“數字信號”。因此，離散時間信號并不等于數字信號，但由于數字信號是幅度量化得到的，在數學表示和推導中不如序列形式方便和容易，所以一般都采用離散時間信號來討論數字信號處理的理論和算法。1.1.2序列的基本運算和積移位標乘翻轉累加差分時間尺度變換序列的能量卷積和基本運算—序列的和設序列為x(n)和y(n)，則序列z(n)=x(n)+y(n)表示兩個序列的和，定義為同序號的序列值逐項對應相加。例：序列的和設序列計算序列的和x(n)+y(n)。解：例：序列求和圖示基本運算—序列的積設序列為x(n)和y(n)，則序列z(n)=x(n)?y(n)

表示兩個序列的積，定義為同序號的序列值逐項對應相乘。例：序列的積設序列計算序列的積x(n)?y(n)。解：例：序列求積圖示x(n)基本運算—序列的移位設序列為x(n)，則序列y(n)=x(n-m)表示將序列x(n)進行移位。

m為正時x(n-m)：x(n)逐項依次延時(右移)m位x(n+m)：x(n)逐項依次超前(左移)m位m為負時，則相反。例：序列的移位設序列計算序列的移位序列x(n+1)。解：例：序列移位圖示x(n)基本運算—序列的標乘設序列為x(n)，a為常數(a≠0)，則序列y(n)=ax(n)表示將序列x(n)的標乘，定義為各序列值均乘以a，使新序列的幅度為原序列的a倍。例：序列的標乘設序列計算序列4x(n)。解：基本運算—序列的翻轉設序列為x(n)，則序列y(n)=x(-n)

表示以n=0的縱軸為對稱軸將序列x(n)加以翻轉。例：序列的翻轉設序列計算序列x(-n)。解：基本運算—序列的累加設序列為x(n)，則序列

定義為對x(n)的累加，表示將n以前的所有x(n)值求和。例:序列的累加設序列為則其累加序列即…y(0)=x(0)=1,y(1)=x(0)+x(1)=y(0)+x(1)=3,y(2)=y(1)+x(2)=7…基本運算—序列的差分前向差分：將序列先進行左移，再相減Δx(n)=x(n+1)-x(n)后向差分：將序列先進行右移，再相減▽x(n)=x(n)-x(n-1)由此容易得出▽x(n)=Δx(n-1)多階差分運算二階前向差分二階后向差分單位延遲算子D，有Dy(n)=y(n-1)▽y(n)=y(n)-y(n-1)=y(n)-Dy(n)=(1-D)y(n)▽=1-D

k階后向差分(按二項式定理展開)二階后向差分例:差分運算例1.1.6設序列求Δx(n)和▽x(n)。解：前向差分例:差分運算后向差分基本運算—時間尺度(比例)變換設序列為x(n)，m為正整數，則序列抽取序列：y(n)=x(mn)x(mn)和x(n/m)定義為對x(n)的時間尺度變換。插值序列：

抽取序列x(mn)：對x(n)進行抽取運算不是簡單在時間軸上按比例增加到m倍以1/m倍的取樣頻率每隔m-1個點抽取1點。保留x(0)插值序列x(n/m)：對x(n)進行插值運算表示在原序列x(n)相鄰兩點之間插入m-1個零值點保留x(0)基本運算—序列的能量設序列為x(n)，則序列

定義為序列的能量，表示序列各取樣值的平方之和；

若為復序列，取模值后再求平方和。基本運算—序列的卷積和設序列為x(n)和z(n)，則序列

定義為序列x(n)和z(n)的卷積和。卷積和又稱為離散卷積或線性卷積，是很重要的公式。卷積和計算的四個步驟翻轉：x(m)，z(m)→z(-m)移位：z(-m)→z(n-m)n為正數時，右移n位n為負數時，左移n位相乘：z(n-m)?

x(m)（m值相同）相加：y(n)=∑{z(n-m)?

x(m)}對應點相乘！例：卷積和計算設序列求y(n)=x(n)*z(n)。解：n＜0時，x(m)與z(n-m)沒有重疊，得y(n)=0。0≤n≤4時，對應點相乘！例：卷積和計算4＜n≤6時，6＜n≤10時，n＞10時，x(m)與z(n-m)沒有重疊，得y(n)=0。

1.1.3幾種常用序列單位脈沖(抽樣)序列單位階躍序列矩形序列實指數序列正弦序列復指數序列單位脈沖序列δ(n)只在n=0時取確定值1，其它均為零δ(n)類似于δ(t)δ(n-m)只有在n=m時取確定值1，而其余點取值均為零

單位階躍序列u(n)類似于u(t)u(t)在t=0時常不定義，u(n)在n=0時為u(0)=1

δ(n)和u(n)的關系：δ(n)=u(n)-u(n-1)單位矩形序列N為矩形序列的長度

和u(n)、δ(n)的關系

：實指數序列a為實數當|a|＜1時序列收斂當|a|＞1時序列發散正弦序列A為幅度ω為數字域角頻率φ為起始相位

x(n)由x(t)=sinΩt取樣得到x(n)=Asin(ωn+φ)

歸一化:ω=ΩT=Ω/fs(ω與Ω線性關系)復指數序列

ω為數字域角頻率用實部與虛部表示

用極坐標表示

σ=0時，序列具有以2π為周期的周期性

復指數序列在實際中不存在，它是為了數學上的表示和分析方便而引入的，它的特性和正弦或余弦序列的特性基本一致。1.1.4序列的周期性對于序列x(n)，如果對所有n存在一個最小的正整數N，滿足x(n)=x(n+N)則序列x(n)是周期序列，最小周期為N。以正弦序列為例討論周期性設x(n)=Asin(ωn+φ)

則有

x(n+N)=Asin[ω(n+N)+φ]=Asin(ωN+ωn+φ)

若滿足條件ωN=2kπ，則x(n+N)=Asin[ω(n+N)+φ]=Asin(ωn+φ)=x(n)周期性討論N、k為整數，k的取值滿足條件，且保證N是最小正整數。其周期為

2π/ω為整數時，取k=1，保證為最小正整數。此時為周期序列，周期為2π/ω。

序列，因為2π/ω=8，所以是一個周期序列，其周期N=8。

序列，因為2π/ω=8，所以是一個周期序列，其周期N=8。

序列，因為2π/ω=8，所以是一個周期序列，其周期N=8。

周期性討論2π/ω為有理數而非整數時，仍然是周期序列，周期大于2π/ω。序列，2π/ω=8/3是有理數，所以是周期序列，取k=3，得到周期N=8。

2π/ω為無理數時，任何k都不能使N為正整數，這時正弦序列不是周期序列。

指數為純虛數的復指數序列的周期性與正弦序列的情況相同。

例1.1.10序列,2π/ω=8π/3是無理數，所以不是周期序列。序列，2π/ω=8/3是有理數，所以是周期序列，取k=3，得到周期N=8。

周期性討論判斷一個正弦序列是否是周期序列的方法是：用2π除以它的數字頻率ω，若得出的是整數或有理數，則序列為周期序列；若得出的是無理數，序列就不是周期序列。但無論序列是否為周期序列，仍把ω稱作序列的數字頻率。下面來說明模擬頻率和數字頻率之間的關系。

設模擬正弦信號為

對該以T為采樣間隔進行采樣離散,得

將離散后的信號表示成離散正弦序列，即

可知

其中，稱為采樣頻率。該式即為數字頻率ω和模擬角頻率Ω0、模擬頻率f0之間關系式，它們是依靠采樣間隔T或采樣頻率fs進行關聯的。

整理后可得

可以看出：

ω是一個相對頻率，它是連續正弦信號的頻率f0

對抽樣頻率fs的相對頻率乘以2π，或說是連續正弦信號的角頻率Ω0對抽樣頻率fs的相對頻率。

數字頻率的特點：（1）ω是一個連續取值的量；（2）ω的量綱為一種角度的量綱單位：弧度（rad）。它表示序列在采樣間隔T內正弦信號變化的角度，表示了信號相對變化的快慢程度；（3）序列對于ω是以2π為周期的，或者說，ω的獨立取值范圍為[0,2π)或[-π,π)。正弦型序列是周期序列的條件為：（有理數）則當N個抽樣間隔等于k個連續時間信號的周期時，由正弦信號抽樣得到的正弦序列是周期序列。1.1.5用單位脈沖序列表示任意序列

任何序列都可以用單位脈沖序列的移位加權和來表示，即式中例如如圖序列，可以表示成x(n)可看成是x(n)和δ(n)的卷積和，即

1.2線性移不變系統

1.2.1系統定義

數字信號處理的任何處理都是依靠系統來完成的,所以系統是數字信號處理的核心，系統一般包括系統硬件和系統所完成的處理算法。系統在數學上定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一性變換或運算。這種映射是廣義的，實際上表示的是一種具體的處理，或是變換，或是濾波。系統可以表示為

其中，符號T[]表示系統的映射或處理，可以把T[]簡稱為系統。系統的圖形表示如下圖所示，輸入x(n)稱為系統的激勵，輸出y(n)稱為系統的響應。由于它們均為離散時間信號，將系統T[]稱為離散時間系統或時域離散系統。

1.2.2線性離散時間系統

滿足疊加原理的系統，或滿足齊次性和可加性的系統稱為線性系統。

設y1(n)=T[x1(n)]，y2(n)=T[x2(n)]對任意常數a,b，若

T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x1(n)]+bT[x2(n)]=ay1(n)+by2(n)則稱T[]為線性離散時間系統。

推廣到一般情況，設yk(n)=T[xk(n)]，k=1，2，...N線性系統滿足1≤k≤N線性系統的特點是多個輸入的線性組合的系統輸出等于各輸入單獨作用的輸出的線性組合。[例1.2.1]證明由線性方程表示的系統是非線性系統。證明設所以，該系統是非線性系統。1.2.3非時變離散時間系統若滿足下列條件，系統稱為非時變（非移變）系統，或時不變（移不變）系統。

設y(n)=T[x(n)]對任意整數k,有

y(n-k)=T[x(n-k)]

即系統的映射T[]不隨時間變化，只要輸入x(n)是相同的，無論何時進行激勵，輸出y(n)總是相同的，這正是系統非時變性的特征。

下圖形象說明了系統非時變性的概念。[例1.2.2]設系統的映射y=T[x(n)]=nx(n)，判斷系統的線性和時不變性。解設y1(n)=nx1(n),y2(n)=nx2(n)x(n)

=a1x1(n)+a2x2(n)

則T[x(n)]=nx(n)

=na1x1(n)+na2x2(n)=a1y1(n)+a2y2(n)

所以，系統為線性系統。設y(n)=nx(n),x1(n)=x(n-k)y1(n)=nx1(n)=nx(n-k)

而y(n-k)=(n-k)x(n-k)≠y1(n)所以，系統為時變系統。

1.2.4線性時不變離散系統定義同時具備線性和時不變性的系統稱作線性非時變系統或線性時不變系統。它的重要意義在于，系統的處理過程可以統一采用這種系統的特征描述之一——單位取樣響應，以一種相同的運算方式——卷積運算，進行統一的表示。任何一個信號可以表示成單位取樣序列的線性組合，即

系統對的響應為

設系統對單位取樣序列的響應為，即

稱為系統的“單位取樣響應”，它是描述系統的一個非常重要的信號。根據時不變性，有

則系統輸出y(n)可表示為上式表明：當線性非時變系統的單位取樣響應h(n)確定時，系統對任何一個輸入x(n)的響應y(n)就確定了，y(n)可以表示成x(n)和h(n)之間的一種簡單的運算形式。將上式的運算方式稱作“離散卷積”，簡稱“卷積”，采用符號“*”表示，即1.2.5離散卷積的運算規律

(1)交換律

h(n)*x(n)=x(n)*h(n)它的意義可以解釋為，如果互換系統的單位取樣響應h(n)和輸入x(n)，系統的輸出保持不變。

x(n)h(n)y(n)=h(n)x(n)y(n)交換律證明：令n-m=k（m=n-k），則

(2)結合律

x(n)*h1(n)*h2(n)=x(n)*h2(n)*h1(n)=x(n)*[h2(n)*h1(n)]它的意義可以解釋為一種級聯系統結構，級聯順序可以交換，或系統級聯可以等效為一個系統，輸出保持不變。x(n)y(n)h1(n)h2(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n)x(n)y(n)h1(n)*h2(n)結合律證明：令k-m=r（k=r+m），則

(3)分配律

x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)=x(n)*[h1(n)+h2(n)]它的意義可以解釋為一個并聯系統結構，或并聯系統可以等效為一個系統，輸出保持不變。

x(n)y(n)h1(n)+h2(n)h1(n)h2(n)x(n)y(n)分配律證明：

(4)與δ(n)卷積的不變性

x(n)*δ(n)=x(n)它的意義可以解釋為輸入通過一個零相位的全通系統。(5)與δ(n-k)卷積的移位性x(n)*δ(n-k)=x(n-k)它的意義可以解釋為輸入通過一個線性相位的全通系統。

1.2.6離散卷積的計算

卷積的計算一般采用兩種方法：解析法和圖解法，或是兩種方法的結合。[例1.2.3]設線性時不變系統的單位脈沖響應和輸入序列如下圖所示，畫出輸出的波形。解：（1）采用圖解法。

圖解法的過程如圖1.2所示。圖1.2例1.2.3圖解法（2）采用解析法。

因為所以

將x(n)的表達式代入上式，得到兩種方法結果一致。1.2.7系統的穩定性和因果性

一、穩定性穩定系統是有界輸入產生有界輸出的系統。若則

線性時不變離散系統是穩定系統的充要條件（穩定性定理）：即，系統的單位抽樣響應絕對可和。證明：充分條件若系統滿足條件，且輸入x(n)有界，有，對所有n，M是一個任意大的有限數，此時系統的輸出為

兩邊取絕對值，得

即輸出y(n)有界，故系統是穩定的。必要條件利用反證法，已知系統穩定，假設，可以找到一個有界的輸入則即輸出無界，這不符合穩定的假設，因而假設不成立，所以是穩定的必要條件。二、因果性

若系統n時刻的輸出，只取決于n時刻以及n時刻以前的輸入序列，而與n時刻以后的輸入無關，則稱該系統為因果系統。線性時不變離散系統是因果系統的充要條件（因果性定理）：證明：充分條件若n<0時，h(n)=0，根據卷積和公式因為只有當n０-m≥0時，h(n０-m)才有值，所以m≤n０，這就證明了y(n０)的值只取決于x(n)在n≤n０時的值，因此系統是因果的。必要條件利用反證法，已知因果系統，假設當n<0時，h(n)≠0。根據卷積和公式有

則上式第二項求和式中至少有一項不為0，即系統在n０時的輸出y(n０)與輸入x(n)在n>n０時的值有關，也就是y(n０)值與n０以后的x(n)有關，所以該系統不是因果系統，與已知條件矛盾，因而假設不成立。可見要使y(n０)與n>n０時的x(n)無關，則必須使

結論:因果穩定的線性時不變系統的單位取樣響應是因果的,且是絕對可和的,即

[例1.2.4]某線性時不變離散系統，其單位取樣響應為試討論其是否是因果的、穩定的。解：因果性:該系統是非因果系統。穩定性:

當時系統穩定,當時系統不穩定。[例1.2.5]設系統輸入輸出關系為，判斷其線性，移不變性，因果性和穩定性。解：①因而所以此系統為線性系統．②而因而

所以此系統不是移不變系統，也就是系統是移變的。③若x(n)有界，即，則

而，所以。即有界的輸入產生有界的輸出，因此系統是穩定的。④只與x(n)的當前值有關，而與未來值無關，所以系統是因果的。１.３常系數線性差分方程連續線性時不變系統的輸入輸出關系常用常系數線性微分方程表示，而離散線性移不變系統的輸入輸出關系常用常系數線性差分方程表示，即或者常系數是指決定系統特征的系數是常數，若系數中含有n，則稱為“變系數”。差分方程的階數等于y(n)的變量序號的最高值與最低值之差，例如上式就是N階差分方程。線性是指各y(n-i)項和各x(n-i)項都只有一次冪而且不存在它們的相乘項，否則就是非線性。求解差分方程有如下幾種方法：遞推法、時域經典法、卷積法、變換域法等等．遞推解法比較簡單，適合計算機求解，但是只能得到數值解，不易直接得到閉合形式（公式）解答。時域經典法和微分方程的解法比較類似，比較麻煩，實際應用中很少采用。卷積法則必須知道系統的單位抽樣響應h(n)，這樣利用卷積和就能得到任意輸入時的輸出響應。變換域法是利用Z變換的方法求解差分方程。當系統的初始狀態為零，單位抽樣響應h(n)就能完全代表系統，那么對于線性移不變系統，任意輸入下的系統輸出就可以利用卷積和求得。差分方程在給定輸入和邊界條件下，可用迭代的方法求系統的響應，當輸入為δ(n)時，輸出（響應）就是單位抽樣響應h(n)。[例1.3.1]常系數差分方程（１）初始條件為n<0時，y(n)=0，求其單位抽樣響應；（２）初始條件為n≥0時，y(n)=0，求其單位抽樣響應。解：（１）設，且，必有依次迭代所以單位抽樣響應為（２）設，由初始條件知，必有將原式該寫為另一種遞推關系則所以單位抽樣響應為由本例看出，差分方程相同，但是初始條件不同，得到的單位抽樣響應不同，也就是對應著不同的系統．1.4連續時間信號的采樣1.4.1采樣的基本概念

從原理上說，采樣器就是一個開關，通過控制開關的接通和斷開來實現信號的采樣，它的概念如圖1.3所示。

圖1.3采樣過程采樣在數學上等效為下列運算：

式中s(t)是一個開關函數，是原信號，是采樣后的信號理想采樣情況下，s(t)是無限多項單位沖擊信號等間隔構成的一個單位沖擊串，即式中T是采樣間隔。則式中，只在時不為零，因而只在這些點上才有定義的值，為，可見采樣的結果是使原來的模擬信號變成為在這些點上的離散信號，這就是采樣的簡單原理。1.4.2采樣過程中頻譜的變化周期信號δT(t)可以進行傅里葉級數展開，如下式：可以求解出式中，，是的基波頻率，同時也是采樣頻率。令，求得Ak為δT(t)等效為因此

上式表示是無限多個載波被調制之和，從頻域變化來看，的頻譜被搬移到無限多個頻率點，這些頻率點是，所以的頻譜就變成了周期函數，周期等于。所以

分析上式，xS(t)與xa(t)的頻譜比較，主要的變化是：它的頻譜變成了周期的，即是周期函數，周期為，也就是說，離散時間信號的頻譜是連續時間信號頻譜以采樣頻率為周期進行無限項周期延拓的結果，這是信號采樣帶來的最重要的變化。另一點變化是頻譜幅度變為原來幅度的1/T。圖1.4表示了這種頻譜的變化。圖1.4理想采樣信號的頻譜1.4.3低通信號采樣定理

設xa(t)表示一個帶限的低通模擬信號，最高頻率分量為fmax，它的頻譜為Xa(jΩ)，

如圖1.5所示。圖1.5帶限的低通模擬信號對該信號以采樣頻率fs進行采樣，采樣后的離散時間信號的頻譜Xs(jΩ)變成了以fs為周期的周期頻譜。顯然，在這種情況下，Xs(jΩ)和Xa(jΩ)包含的信息是相同的，或者說，采樣后的離散信號能完全表示原來的模擬信號。若fs<2fmax，這時周期頻譜的各周期出現了混疊，造成實際的周期頻譜的一個周期不等于原信號的頻譜，也就是說，采樣以后，信號出現了失真。|Xa(jΩ)||Xs(jΩ)||ΔT(jΩ)||Xs(jΩ)|ΩΩΩΩΩSΩS-ΩS-ΩSΩS/2-ΩS/2ΩS-ΩS(a)(b)(c)(d)-ΩhΩhΩh

采樣定理對一個低通帶限信號進行均勻理想采樣，如果采