第一章《空間向量與立體幾何》1.1.1空間向量及其線性運算【劃重點】1．理解空間向量的有關概念.2．類比平面向量，會用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差.3．理解向量共線、向量共面的定義.4．掌握共線向量定理和共面向量定理，會證明空間三點共線、四點共面．【知識梳理】知識點一空間向量的概念1．定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．注：空間中的任意兩個向量都可以平移到同一個平面內，成為同一平面內的兩個向量．2．長度或模：向量的大小．3．表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.4．幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規定：對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量知識點二空間向量的線性運算空間向量的線性運算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數乘當λ>0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當λ<0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當λ＝0時，λa＝0運算律交換律：a＋b＝b＋a；結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知識點三共線向量1．空間兩個向量共線的充要條件對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.2．直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．知識點四共面向量1．共面向量如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要條件如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.【例題詳解】一、向量概念的應用例1(1)下列關于空間向量的說法中正確的是（

）A．方向相反的兩個向量是相反向量B．空間中任意兩個單位向量必相等C．若向量滿足，則D．相等向量其方向必相同【答案】D【分析】根據向量的相關概念逐一判斷即可.【詳解】相反向量指的是長度相等，方向相反的向量，故A錯誤；單位向量指的是模為1的向量，方向未定，故B錯誤；向量不能比較大小，故C錯誤；相等向量其方向必相同，故D正確；故選：D.(2)下列命題中，正確的是（

）.A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據向量模長的定義以及向量的定義即可逐一判斷.【詳解】對于A;比如,不相等，但，故A錯誤；對于B;向量的模長可以有大小之分，但是向量不可以比較大小，所以B錯誤；對于C;向量相等，則其模長相等，方向相同，故C正確；對于D；若，，但不相等，故D錯誤；故選：C跟蹤訓練1(1)下列關于空間向量的說法中錯誤的是（

）A．零向量與任意向量平行B．任意兩個空間向量一定共面C．零向量是任意向量的方向向量D．方向相同且模相等的兩個向量是相等向量【答案】C【分析】根據個選項，可判斷選項A、B、D正確，選項C，零向量方向是無限的，但是任意向量方向是確定的，故可作出判斷.【詳解】由已知，選項A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，該選項正確；選項B，平面由兩個不平行的向量確定，任意兩個向量可通過平移形成相交，故一定可以確定一個平面，該選項正確；選項C，在直線上取非零向量，把與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量，該選項錯誤；選項D，方向相同且模相等的兩個向量是相等向量，該選項正確.故選：C.(2)給出下列命題：①將空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構成一個圓；②若空間向量滿足，則；③在正方體中，必有；④若空間向量滿足，，則；⑤空間中任意兩個單位向量必相等；其中假命題的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據空間向量的定義，逐個命題進行判斷即可.【詳解】對于①，根據空間向量的定義，空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構成一個球面，故①為假命題；對于②，向量相等即模相等和方向相同，故②為假命題；對于③，根據正方體的定義，上下底面的對角線必定相等，結合向量的方向，所以，，故③為真命題；對于④，根據向量相等的定義，明顯成立，故④為真命題.對于⑤，向量相等即模相等和方向相同，故空間中任意兩個單位向量必相等是假命題，故⑤為假命題故選：C二、空間向量的加減運算例2(1)空間向量（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的加減法則即可求解.【詳解】故選：D(2)已知空間向量，化簡的結果為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據空間向量的加減運算即可求解.【詳解】，故選：.跟蹤訓練2(1)（多選）已知平行六面體，則下列各式運算結果是的為（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用空間向量的加法化簡可得出合適的選項.【詳解】如下圖所示：對于A選項，，A對；對于B選項，，B對；對于C選項，，C對；對于D選項，，D錯.故選：ABC.(2)在正方體中，________．【答案】【分析】根據空間向量的加法減法運算求解即可.【詳解】.故答案為：三、空間向量的線性運算例3(1)已知在空間四邊形中，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據得到G為CD的中點，再利用平行四邊形法則得到，最后代入計算即可.【詳解】因為，故G為CD的中點，如圖，由平行四邊形法則可得，所以.故選：A.(2)如圖，平行六面體中，AC與BD的交點為M，設，，，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據空間向量的線性運算求解即可．【詳解】由已知得，故選：C．跟蹤訓練3(1)在三棱錐中，是的中點，則________.【答案】【分析】根據空間向量的加減運算，即可求得答案.【詳解】由題意在三棱錐中，是的中點，可得,則,故答案為：(2)如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點．(=1\*romani)化簡：－－＝________；(=2\*romanii)用，，表示，則＝________.【答案】【分析】(=1\*romani)由圖形及空間向量相加減法則可得答案；(=2\*romanii)注意到，，，后利用，表示即可.【詳解】(=1\*romani)；(=2\*romanii)因，則，又，則.故答案為：；.四、向量共線的判定及應用例4(1)滿足下列條件，能說明空間不重合的A、B、C三點共線的是()A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意逐一考查所給的說法是否正確即可.【詳解】對于空間中的任意向量，都有，說法A錯誤；若，則，而，據此可知，即兩點重合，選項B錯誤；，則A、B、C三點共線，選項C正確；，則線段的長度與線段的長度相等，不一定有A、B、C三點共線，選項D錯誤；本題選擇C選項.【點睛】本題主要考查空間向量的運算法則，三點共線的充分必要條件等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.(2)如圖，已知空間四邊形，點，分別是，的中點，點，分別是，上的點，且，.用向量法求證：四邊形是梯形.【分析】根據題意得出，利用空間向量共線定理證明即可.【詳解】證明：連接.點E，H分別是邊，的中點，且，，，且.又不在上，四邊形是梯形.跟蹤訓練4(1)已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據向量共線判斷三點共線即可．【詳解】解：，又與過同一點B，∴A、B、D三點共線．故選：C．(2)已知A，B，C三點共線，O為直線外空間任意一點，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，則m＋n＝________.【答案】1【詳解】由于A，B，C三點共線，所以存在實數λ，使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，所以m＝1－λ，n＝λ，所以m＋n＝1.五、向量共面的判定例5(1)對于空間任意一點和不共線的三點、、，有如下關系：，則（

）.A．四點、、、必共面B．四點、、、必共面C．四點、、、必共面D．五點、、、、必共面【答案】B【分析】根據四點共面的性質進行判斷即可,【詳解】因為，所以四點、、、必共面，故選：B(2)已知E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，求證：(=1\*romani)E，F，G，H四點共面；(=2\*romanii)BD∥平面EFGH.【分析】(=1\*romani)要證E，F，G，H四點共面，只需證明向量，，共面，結合向量的線性運算及共面向量定理證明即可；(=2\*romanii)由向量共線結合線面平行的判定定理證明．【詳解】(=1\*romani)如圖，連接EG，BG．因為＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由向量共面的充要條件可知，向量，，共面，又，，過同一點E，從而E，F，G，H四點共面．(=2\*romanii)因為＝－＝－＝(－)＝，又E，H，B，D四點不共線，所以EH∥BD，又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH．跟蹤訓練5(1)對于空間任意一點O和不共線的三點A、B、C，有如下關系：，則（

）A．四點P、A、B、C不一定共面 B．四點P、A、B、C必共面C．四點O、P、B、C必共面 D．無法判斷【答案】B【分析】利用空間向量的運算，整理等式，根據共面定理，可得答案.【詳解】由，整理可得，則，故、、、共面，故選：B.(2)如圖，已知O?A?B?C?D?E?F?G?H為空間的9個點，且，，，，，.求證：(=1\*romani)A?B?C?D四點共面，E?F?G?H四點共面；(=2\*romanii)；(=3\*romaniii).【分析】(=1\*romani)利用空間向量基本定理證明即可，(=2\*romanii)由，結合空間向量的減法和數乘運算可得，從而可證得結論，(=3\*romaniii)由，結合(=2\*romanii)中的結論與可得證【詳解】(=1\*romani)因為，，所以由共面向量定理可得是共面向量，是共面向量，因為有公共點，有公共點，所以A?B?C?D四點共面，E?F?G?H四點共面，(=2\*romanii)因為，所以；(=3\*romaniii)【課堂鞏固】1．已知，，，為空間中的任意四點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用向量的線性運算求出結果．【詳解】已知，，，為空間中的任意四點，則．故選：．2．下列命題為真命題的是（

）A．若兩個空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量B．若，則?的長度相等且方向相同C．若向量?滿足，且與同向，則D．若兩個非零向量與滿足，則.【答案】D【分析】由空間向量的模長、共線、共面等相關概念依次判斷4個選項即可.【詳解】空間中任意兩個向量必然共面，A錯誤；若，則?的長度相等但方向不確定，B錯誤；向量不能比較大小，C錯誤；由可得向量與長度相等，方向相反，故，D正確.故選：D.3．對于空間中的三個向量，，，它們一定是（

）A．共面向量 B．共線向量 C．不共面向量 D．無法判斷【答案】A【分析】根據平面向量基本定理分析判斷.【詳解】若共線，則，，共線，，，共面；若不共線，則可作為基底向量，可以用基底向量線性表示，根據平面向量基本定理可知：，，共面；綜上所述：，，共面.故選：A.4．若空間中任意四點O，A，B，P滿足，其中m＋n＝1，則（

）A．P∈AB B．P?ABC．點P可能在直線AB上 D．以上都不對【答案】A【分析】由已知化簡可得，即可判斷.【詳解】因為m＋n＝1，所以m＝1－n，所以，即，即，所以與共線．又，有公共起點A，所以P，A，B三點在同一直線上，即P∈AB.故選：A.5．在下列條件中，能使與，，一定共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據四點共面的條件逐項判斷即可求得結論．【詳解】解：空間向量共面定理，，若，，不共線，且，，，共面，則其充要條件是；對于A，因為，所以不能得出，，，四點共面；對于B，因為，所以不能得出，，，四點共面；對于C，，則，，為共面向量，所以與，，一定共面；對于D，因為，所以，因為，所以不能得出，，，四點共面．故選：C．6．（多選）在正方體中，下列各式中運算結果為的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】A中，；B中，；C中，；D中，,即得解.【詳解】根據空間向量的加法運算法則及正方體的性質，逐一進行判斷：A中，；B中，；C中，；D中，．故選：BD．7．（多選）如圖所示，在長方體中，，則在以八個頂點中的兩個分別為始點和終點的向量中（

）A．單位向量有8個B．與相等的向量有3個C．與的相反向量有4個D．向量共面【答案】ABC【分析】根據單位向量，相等向量，相反向量及共面向量的概念即得.【詳解】由題可知單位向量有共8個，故A正確；與相等的向量有共3個，故B正確；向量的相反向量有共4個，故C正確；因為，向量有一個公共點，而點都在平面內，點在平面外，所以向量不共面，故D錯誤.故選：ABC.8．空間中任意四個點，，，，則________．【答案】【分析】根據空間向量線性運算法則計算可得.【詳解】解：．故答案為：9．如圖，在長方體中，設，，，則______．【答案】【分析】根據長方體的結構特征，結合空間向量減法的幾何意義及已知條件，求目標向量的模即可.【詳解】由故答案為：10．已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點共線．【分析】求出后可得它們共線，從而可證B，C，D三點共線．【詳解】，而，所以，故B，C，D三點共線．【課時作業】1．正方體中，化簡（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據空間向量的線性運算求解即可.【詳解】.故選：C.2．如圖，在平行六面體中，E是的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由空間向量的加減和數乘運算直接求解即可.【詳解】．故選：A.3．對空間中任意一點和不共線的三點，能得到在平面內的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】用向量來判定點在平面內，只需要滿足：（）【詳解】因為A、B、C三點不共線，則不共線，若四點共面，則存在唯一的一組實數使得，即，變形得，對于，，整理得，則，所以在平面內，故選項正確；對于，，可得：則，故不在平面內，故選項錯誤；對于C，，可得：，則，故不在平面內，故選項C錯誤；對于，，可得：則，故不在平面內，故選項錯誤；故選：4．有下列命題：①若與平行，則與所在的直線平行；②若與所在的直線是異面直線，則與一定不共面；③若、、兩兩共面，則、、一定也共面；④若與是平面上互不平行的向量，點，點，則與、一定不共面．其中正確命題的個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據空間向量共線、共面及基本定理判斷即可；【詳解】解：①若向量，平行，則向量，所在的直線平行或重合，因此①不正確；②若向量，所在的直線為異面直線，則向量，是共面向量，因此②不正確；③若三個向量，，兩兩共面，則向量，，不一定共面，可能是空間三個不共面的向量，如空間直角坐標系中軸、軸、軸方向上的單位向量，因此③不正確；④若與是平面上互不平行的向量，即與可以作為平面上的一組基底，點，點，但是直線可以平行平面，則與、共面，故④錯誤．故選：A5．在長方體中，，，點分別在棱上，，，則（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】依題意可得，從而得到，即可得到，從而得解；【詳解】解：由長方體的性質可得，又，所以，因為，所以，所以，因為，所以；故選：D6．若向量與不共線且，，，則（

）A．，，共線 B．與共線C．與共線 D．，，共面【答案】D【分析】利用空間向量共線定理和共面定理判斷.【詳解】因為，即，即，又與不共線，所以共面，故D正確A錯誤；因為，所以與不共線，與不共線，故BC錯誤；故選：D7．給出下列命題：①若A，B，C，D是空間任意四點，則有；②是，共線的充要條件；③若，共線，則；④對空間任意一點O與不共線的三點A，B，C，若幣（其中x，y，），則P，A，B，C四點共面.其中不正確命題的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】直接利用向量的運算，向量的共線，共面向量的充要條件判定①②③④的結果．【詳解】解：①若，，，是空間任意四點，則有；真命題．②或是，共線的充要條件；假命題．③若，共線，則；也可能重合，假命題．④對空間任意一點與不共線的三點，，，若（其中．，當且僅當時，則，，，四點共面．假命題．故選：．8．已知，是空間兩個不共線的向量，，那么必有（

）A．，共線 B．，共線C．，，共面 D．，，不共面【答案】C【分析】根據共面向量定理可作出判斷【詳解】由題知，，是空間兩個不共線的向量，，由共線向量定理知，A，B，C三點共線，由共面向量定理知，，，共面.故選：C9．（多選）如圖，在三棱柱中，P為空間一點，且滿足，，則（）A．當時，點P在棱上 B．當時，點P在棱上C．當時，點P在線段上 D．當時，點P在線段上【答案】BCD【分析】由空間向量共線定理逐一判斷即可求解【詳解】當時，，所以，則，即P在棱上，故A錯誤；同理當時，則，故P在棱上，故B正確；當時，，所以，即，故點P在線段上，故C正確；當時，，故點在線段上，故D正確．故選：BCD．10．（多選）空間四點及空間任意一點，由下列條件一定可以得出四點共面的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據空間向量