第4講二倍角公式與三角變換的應用知識梳理1．二倍角公式；；。2．半角公式；；（）3.積化和差公式4.和差化積公式例題解析三角恒等式一、二倍角公式三角恒等式）]]例1．（2020·寶山區·上海交大附中高一期末）已知，，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）由同角三角函數關系式,可由求得.再求得,結合正切的二倍角公式即可求得的值（2）由同角三角函數關系式,可先求得,.將變形為,由余弦的差角公式展開并代入已知值即可求得的值【詳解】（1）由同角三角函數關系式,代入可得而，所以，則所以由正切二倍角公式可得（2）由同角三角函數關系式及且,.,則可求得,則由余弦差角公式化簡可得【點睛】本題考查了同角三角函數關系式的應用,正切二倍角公式及余弦差角公式的應用,角的配湊法應用,屬于中檔題.例2．（2020·上海高一課時練習）證明下列恒等式：（1）；（2）.【分析】（1）利用二倍角降冪公式結合誘導公式可證得等式成立；（2）利用二倍角余弦公式結合弦化切的思想化簡可證得等式成立.【詳解】（1）；（2）【點睛】本題考查利用二倍角的正弦和余弦公式證明恒等式，在利用二倍角余弦公式時有升冪與降冪兩種書寫形式：升冪：；.降冪：；.考查計算能力，屬于中等題.例3．（2020·上海高一課時練習）已知，，求的值.【答案】【分析】由三角函數的基本關系式，求得，再由誘導公式，求得，進而得到，最后利用兩角差的正切公式，即可求解.【詳解】由，且，可得，又由誘導公式，可得，即，可得，所以.【點睛】本題主要考查了三角函數的基本關系式和正切的兩角差的公式的化簡、求值，其中解答中熟練應用三角函數恒等變換的公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.鞏固練習1.已知，求的值【難度】★【答案】；；【解析】∵∴∴2.=____________.【難度】★★【答案】3.已知為第三象限角,且,求的值。【難度】★★【答案】【解析】解得,;又因為為第三象限角,所以;所以4.在中，角滿足，求角的度數.【難度】★★【答案】【解析】在中，，由得，所以.于是.5.（1）已知，求的值；（2）已知，求：的值．【難度】★★【答案】（1）；（2）【解析】（2）∵，∴．于是，原式．6.若,求的值【難度】★★【答案】【解析】且,所以是鈍角由得所以所以,所以,7.已知，化簡：=________【難度】★★【答案】8.化簡，求值（1）（2）（3）（4）（5）【難度】★★【答案】（1）；（2）；（3）2；（4）2；（5）2【解析】（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式原式9.已知,則的值為（）A. B. C.4 D.8【難度】★★【答案】D【解析】∵,∴.10.已知角α在第一象限且,則等于（）A. B. C. D.【難度】★★【答案】C【解析】∵角α在第一象限且,∴.∴故選C.11.求值：_________.【難度】★★【答案】12.已知，，求的值．【難度】★★【答案】13.若tan=3，求sin2cos2的值【難度】★★【答案】【解析】sin2cos2=14.已知，，求和的值【難度】★【答案】【解析】因為，所以所以；15.求值：【難度】★★【答案】216.已知(1)求的值(2)求的值.【難度】★★【答案】(1),;(2)【解析】(1)由題意得，即，，又，，，于是又又17、如圖，以為始邊作角與，它們的終邊分別與單位圓相交于點、，已知點的坐標為．（1）求的值；（2）若，求的值．【難度】★★★★答案：（1）．（2）．18、已知，．（1）求的值；（2）求的值．【難度】★★★★答案：（1），（2）．19、已知，，，且．（1）求的值；（2）求的值．【難度】★★★★答案：（1）．（2）．二、三角變換的應用例1.證明sin＝±【難度】★【答案】證明：sin2α＝，sin2＝，sin＝±.例2.已知，，求和的值.【難度】★★【答案】；【解析】∵∴化簡得：∴∵∴∴，即例3.設，求的值；【難度】★★【答案】例4.若，則的值為【難度】★★【答案】2013【鞏固訓練】1.若為第二象限角，當時，角為第______象限角【難度】★★【答案】一2.已知，且，則（）A. B. C. D.【難度】★【答案】B3.若，則=（）A.3 B. C.–3 D.–【難度】★★【答案】B4.已知為第二象限角，則=__________【難度】★★【答案】三、綜合化簡證明問題例1.化簡【難度】★★【答案】【解析】原式例2.化簡：(1);(2).【難度】★★【答案】（1）；（2）；【解析】(1)原式=(2)原式=例3.化簡，【難度】★★【答案】【解析】∵∴原式=∵∴∴當時，∴原式=當時，∴原式=∴原式=例4.證明：【難度】★★【答案】證明：例5.證明：【難度】★★【答案】證明：左所以原式得證例6.證明：(1)；(2)；(3).【難度】★★【答案】證明：(1)左邊==右邊(2)左邊==右邊(3)左邊=例7.已知且都是銳角，求證：【難度】★★【答案】證明：由得……①由得……②都是銳角①②得即又所以例8.為何值時，函數的定義域為一切實數？【難度】★★★【答案】【解析】令令，則：上式化為，于是，只要在時，即可.∴，則：當時，函數的定義域為一切實數。【鞏固訓練】1.已知，化簡2eq\r(1－sinα)＋eq\r(2＋2cosα)＝。【難度】★★【答案】2.若270°<α<360°，則三角函數式eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cos2α))的化簡結果是()A．B．C．D．【難度】★★【答案】D3.若，化簡：【難度】★★【答案】【解析】因為,所以,即為第三象限的角又因為4.化簡：【難度】★★【答案】【解析】原式=5.化簡:；【難度】★★【答案】【解析】原式＝6.求證：【難度】★★【答案】證明：原式等價于：左邊右邊=∴左邊=右邊∴原式得證7.證明：(1)求證：；(2)求證：;【難度】★★【答案】證明：(1)左邊==右邊(2)左邊==右邊8.證明：【難度】★★【答案】證明：左=所以原式得證9.證明：(1)求證：(2)在中，，求證：【難度】★★【答案】證明：(1)左邊==右邊(2)①②①，②兩式相等，因此有化簡，得即10．（2018·上海交大附中高一開學考試）已知，，求證：.【分析】將兩邊平方，結合進行化簡，先證得，然后利用二倍角公式證得，由此證得成立.【詳解】，∴，即，，∴.【點睛】本小題主要考查三角恒等變換，考查同角三角函數的基本關系式、二倍角公式，考查運算求解能力，考查觀察與思考的能力，屬于中檔題.11.（2016·長寧區·上海市延安中學高一期中）（1）證明三倍角的余弦公式：；（2）利用等式，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）將化簡為，利用兩角和差的公式和二倍角公式化簡即可證得.（2）利用二倍角公式化簡，和同角三角關系式，轉化為二次函數即可求的值.【詳解】（1）.（2），∵，∵，∴.則.，令，（）則有：，解得：，即的值為：.【點睛】本小題主要考查三角函數中的恒等變換應用；運用誘導公式化簡求值，屬于基礎題.反思總結三角函數的恒等變形中的作用：①并項與升次：②降次：，2．三角函數式的化簡常用方法：①直接應用公式進行降次、消項；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③三角公式的逆用等。化簡要求：①能求出值的應求出值；②使三角函數種數盡量少；③使項數盡量少；④盡量使分母不含三角函數；⑤盡量使被開方數不含三角函數。3.三角函數的求值類型有三類（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關系，利用三角變換消去非特殊角，轉化為求特殊角的三角函數值問題；（2）給值求值：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題的關鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注