第9章平面向量

課題9.1平面向量的概念

【教學目標】

1.掌握向量、向量的模、平行向量等概念O

2.掌握向量的表示方法。

【教學重點】

向量的概念。

【教學難點】

向量的概念。

【教學設計】

通過介紹向量、向量的模、平行向量等概念，使學生認識平面向量，然后通過例題解析

學習向量的表示方法，并通過練習鞏固所學知識。

【教學設備】

電腦、投影儀。

【教學時間】

I課時（45min）。

【教學過程】

教學

環師生設計

教學內容

節活活意圖

動動

平面向量的概念

向量是指既有大小、又有方向的量，如速度、位移、力等.講解

規定了起點和終點的線段稱為有向線段.講理平面

向量的大小稱為向量的模，記作|花|，|。|，|二|.解解向量

1/L啊慨

規定：模為0的向量稱為零向量，記作0,零向量的方向是任意

明憶念

的.規定：零向量與任何一個向量平行.

方向相同或相反的兩個非零向量稱為平行向量.向量。與b平

行記作平行向量又稱為共線向量.

新模為1的向量稱為單位向量.模相等且方向相同的向量稱為相

課等向量.與向量a的模相等，且方向相反的向量稱為向量。的負向

分

量,規定：零向量的負向量仍為零向量.

講上二

t/1r411過

解例2在圖9-5所示向量中，找出：

Vr

（1）平行向量：（2）模相等的向量：

解1講解

（3）相等向量；（4）互為負向量的向量.提加深

問學生

理解

A、D

B

E、7

G

F

H/

圖9-5

解（1）平行向量為茄〃歷，BC//DE//GH.理

講解

（2）模相等的向量為|謹|=|而|,\BC\=\DE\=\GH\,\EF]=\FG\.

解記

（）相等向量為藤=不，DE=GH.

3憶

（4）互為負向量的向量為正=-法，BC=-GH.

練習9.1

1.若。是正AAAC的中心，則向量而，BO,&是（）.

A.相等向量B.模相等的向量

C.共線向量D.共起點的向量

2.判斷下列說法是否正確,并說明理由.

（1）物理學中的作用力與反作用力是一對共線向量.

（2）方向為南偏西60°的向量與北偏東60°的向量是共線向量.

（3）平面宜角坐標系中的、軸和y軸都是向量.通過

思課堂

3.已知。是正方形的對角線的交點，在以O,A,B,C,

提考練習

D這五個點中的任意一點為起點，另一點為終點的所有向量中，寫

理問動及時

出向量證的平行向量及與向量項長度相等的向量.

解巡手了解

4.如圖9-8所示，點。是正六邊形AAC7）所的中心，寫出向量

應視解學生

反的負向量及共線向量.

用指答對知

導交識的

流掌握

情況

5.某人從A點向西走了200m到達8點，然后向西儡北45°方

向走了450m到達。點，最后又向東走了200m到達。點.

（1）作出向量布，BC,茄（作圖時用1cm代表200m）；

（2）求向量涼的模.

歸1.向量、有向線段.回思歸納

納2.向量的模、零向量、平行向量、共線向量。顧考總結

總3.單位向量、相等向量、負向量。總記回顧

結結憶所學

知識

通過

課布動

練習

后置手

完成教材中習題9.1鞏固

練作解

所學

習業答

知識

課題9.2平面向量的線性運算

【教學目標】

1.掌握平面向量的加法與減法運算。

2.掌握平面向量的數乘運算。

【教學重點】

平面向量的加法、減法與數乘運算。

【教學難點】

平面向量的數乘運算。

【教學設計】

通過介紹平面向量的加法、減法與數乘運算方法，使學生掌握平而向量的線性運算，然

后通過例題解析學習具體的方法與技巧，并通過練習鞏固所學知識。

【教學設備】

電腦、投影儀。

【教學時間】

2課時(90min)。

【教學過程】

教學

環師生設計

節教學內容

活活意圖

動動

一、平面向量的加法運算講解

求向量和的運算稱為向量的加法.上述求向量和的方法稱為向講記平面

量加法的三角形法則.解憶向量

在平行四邊形ABCD中，k所表示的向量即為/調與病的說的加

向量加法價和.這種求和的方法稱為向量加法的平行四邊形法則.明法運

角形法則口訣：首例1如圖9-12所示，已知向量。，h,分別作出向量：〃+〃.算

尾相連，首是南新分

‘課析通過

尾是尾.

進一講例題

解.bb解講解

提加深

(a)(b)(c)

問理學生

圖9-12解理解

講記

解在平面內任取一點o,作X5=b,則55=。+力，

解憶

如圖9-13所示.

BB

(a)(b)(c)

講解

圖9-13平面

二、平面向量的減法運算講向量

向量。加上向量b的負向量稱為向量。與b的差，求向量差的解的減

運算稱為向量的減法.起點相同的兩個向量。與E其差)仍然法運

是一個向量，稱為a與b的差向量.算

例3如圖9-18(a)所示，已知向量c與d,求作差向量c-d.分理通過

析解例題

解如圖9-18(b)所示，在平面內任取一點0,作反=c,

講講解

OD=d,則55=c-d.

解與提

提問增

問加課

堂互

動，

加深

學生

三、平面向量的數乘運算

理解

數與向量相乘的運算稱為向量的數乘運算.向量的加法、減法、

講理

數乘運算統稱為向量的線性運算.

解解講解

%+〃〃稱為明力的一個線性組合(2，〃均為系數).如果

記平面

H+曲,則稱/可以用4,。線性表示.

憶向量

例5如圖9.22所示，已知平行四邊形A4C。的兩條對角線交的數

于點0,若X5=a,AD=b,試用。和力表示向量分乘運

OA,OB,OC,OD.析算

講

解例題

提講解

問與提

問增

加課

講堂互

解因為AC=AB+AD=a+b,解動加

所以說深學

明患生理.

OA=--AC=--(a+b),

22考解

回

0C=-AC=；(a+力).

答

(1)3(3+5R；(2)3a-2(3a-4b)^3(a-b).

歸納

歸1|：：思

總結

納1.平面向量的加法與減法運算。顧考

回顧

總2.平面向量的數乘運算。總記

所學

結結憶

知識

通過

課布動

練習

后置手

完成教材中習題9.2鞏固

練作解

所學

習業答

知識

課題9.3平面向量的坐標表示

【教學目標】

1.掌握平面向量的基本定理。

2.掌握平面向量的直角坐標表示。

3.掌握線性向量運算的坐標表示。

4.掌握共線向量的坐標表示。

【教學重點】

面向量的基本定理、平面向量的直角坐標表示。

【教學難點】

線性向量運算的坐標表示。

【教學設計】

首先介紹平面向量的基本定理,使學生了解平面向量的坐標表示，然后通過例題的講解,

學習并掌握相關知識。

【教學設備】

電腦、投影儀。

【教學時間】

2課時(90min)。

【教學過程】

教學

師生設計

環節教學內容

活活意圖

動動

一、平面向量的基本定理講解

平面向量基本定理如果4，利是同一平面內兩個不共平面

向量

線的向量，那么對于這一平面內的任一向量”，有且只有一對

理的基

新課實數4，乙，使得

講解本定

講解a=Ae+Ae.

l]22解記理

其中向量與，叼稱為表示這一平面內所有向量的一組基說憶

底.明

一個平面向量用一組基底e,,e2表示成+Z2e2的

形式，稱為向量的分解.當q,e?互相垂直時，稱為向量的正

通過

交分解.例題

講解

例1如圖9-30所示，平行四邊形八8CQ的對角線相交于

增加

點O,AB=a,AD=h.以。，6為基底表示泥，西，OB

課堂

和彷.

互動

加深

學生

分理解

析

講理

解解

解因為平行四力形的對角線互相平分，所以提

問

OC=-AC=-(AB+AD)=-a+-b,

2222

OA=-OC=--a--b,

22

OB=-DB=-(AB-AD)=~a--b,

2222

db=-OB=--a+-b.

22

二、平面向量的直角坐標

對平面內的任一向量a,有且僅有一組實數對(x,y),使講

得解講解

a=xi+yj.說理平面

實數對。，田稱為向量a的直角坐標，簡稱為向量a的坐明解向量

標，記作記的直

a=(x,y).憶角坐

標

例3如圖9-34所示，分別用基底i,j表示向量

OM,ON,MN,并寫出它們的坐標.

講

解理

說解

明

解因為

麗=6i+4J,ON=-3i+5j,

所以向量而，血的坐標分別為

曲=(6,4),蘇=(-3,5).

因為

MN=ON-OM=(-3i+5j)-(6i+4j)=-9i+j.

所以向量/加的坐標為

該=(-9,1).

三、向量線性運算的坐標表示理通過

例5設。=(1,2),力=(一5,3),求a+力，a-b?2a-3b.分解例題

解析講解

。+。=(1,2)+(-5,3)=1，5),講增加

?-^=(1,2)-(-5,3)=(6,-1),解課堂

2zi-3Z>=2x(l,2)-3x(-5,3)=(2,4)-(-15,9)=(17,-5).提互動

四、共線向量的坐標表示問^口深

例6已知。=（一2,），），力=（一3,6）,且〃〃力，求y.學生

理解

解由a〃方，可得理

講解

(-2)x6-(-3)y=0,

解得

說

y=4.明

練習9.3.1

1.如圖9-31所示，已知向量q,e2,求作下列向量.

(1)-e,+20：(2)3?1+2e,.

力\

圖9-31通過

思課堂

2.若G，e,是表示平面內所有向量的一組基底，則下列提考練習

四組向量中不能作為一組基底的是（）.問動及時

理解巡手了解

A.a〕-e2和4+e2B.3e)-2e2和6e,-4e:

應用學生

C.4+2c?和2e1+e?D.和G+e2視解

答

3.在△ABC中，M是8C中點，用向量施，公表示向指對知

導交.X.西1/、的UJ

量病.

流掌握

情況

4.已知部=6-。2，元=24-8%，C75=3e,+3e2.求證：

4B,。三點共線.

練習9.3.2

1.如圖9-35所示，分別用基底i,j表示向量

a,b,c,d,并求出它們的坐標.

2.已知A,8兩點的坐標，求向量布，瓦J的坐標.

(1)45,3),B(3,-l)：(2)A(l,2),82,1).

3.如圖9-36所示，點O是坐標原點，點4在第一象限，

|麗=4石，ZMM=60°,求向量涼的坐標.

y.

V

、一、飛，k一

c、0

o?

圖9-35圖9-36

練習9.3.3

1.已知向省fa,b,求a+b,-3b,一&?+%的坐標.

(1)a=(-42,3),/>=(1,1)：(2)a=(\,0),b=(-4>-3)：

(3)a=(2,3),Z>=(1,1)：(4)a=(-l,2),Z>=(3,0).

練習9.3.4

1.與向量。仁(12,5)平行的向量有().

上士)B.叫二)

A.(-

13131313

125

C.(5,12)D.(―,—)或

1313

125、

(z---,----)

1313

2.判斷下夕U各組向量是否共線.

(1)a=(l,-1),/>=(-2,2)：(2)

a=(2.1),b=(--1,2).

歸納

1.掌握平面向量的基本定理。回思

總結

歸納2.掌握平面向量的直角坐標表示。顧考

回顧

總結3.掌握線性向量運算的坐標表示。總記

所學

4.掌握共線向量的坐標表不。結憶

知識

通過

伺動

練習

課后置手

完成教材中習題93鞏固

練習作解

所學

業答

知識

課題9.4平面向量的數量積

【教學目標】

1.掌握向量數量積的含義。

2.掌握向量數量枳的坐標表示。

【教學重點】

向量數量積的坐標表示。

【教學難點】

向量數量積的坐標表示。

【教學設計】

首先講解向量數量積的含義及其坐標表示方法，通過例題與練習鞏固相關知識。

【教學設備】

電腦、投影儀。

【教學時間】

2課時(90min)。

【教學過程】

教師學生設計

環節教學內容

活動活動意圖

一、向量數量積的含義

將|〃||b|cos〃稱為向量a,b的數量積(或內積)，記講解

作a?b,即向量

a*b=\ab\cos。.數量

由向量數量積的定義可以得出以下結論：講解理解積的

(1)a?0=0,0?a=0：說明記憶含義

(2)a,力同向時，a?/>=1?||/>|：a,人反向時，

a?b——\a||b|；

(3)當a_L〃時，有a?b=0；反之，當a?力=0時，

有a上匕.因此，a?b=0<^>uA.b：

(4)a?a=|a|2,即|a|=Ja?a.

向量的數量積滿足下面的運算律：

(1)a?b=b?at

(2)(Aa)?b=a?(Ah)：

(3)(a+b)?c=a?c+b?c.通過

例1若|a|=4,|b|=3,a,力的夾角。為60°,例題

新課求(2a+b)9(a-2b).分析講解

講解與提

講解解(2a+b)?(a-2b)=2a?a-'ia?b-lb*h

提問問增

-2sF-3|a||b|cos<9-2|Z>|2

加課

=2X42-3X4X3XCOS600-2X32

堂互

=-4.

思考動，加

例2已知|a|=|A|=2,a?b=2\f3?求a,方的夾

理解深學

角。.生理

解因解

〃a?b2y/3G

cosO=--------=----=——，

\a\\b\2.22

所以

8=3()°.

講解

二、向量數量積的坐標表示

向量

兩個向量的數量枳等于它們對應坐標的乘積之和，即

理解

b=玉毛+yly2.

講解記憶積的

由此還容易得出以下結論：

坐標

(1)a*Z>=0<=>a±Z><=>+yty2=0：

(2)如果。=(x,y),則|a|=&+>2;表示

a，h說明

(3)cos?==一，+叩'2_

“一⑷聞一斤片麻總.

通過

例4已知4=（,萬，1）,力=（2右，0）,求〃與b的夾

分析例題

角仇

講解講解

解因提問思考與提

C73X2>/3+1XO75回答問增

COSf/——-------,

7(V3)2+l27(2>/3)2+022