第七章平面向量同步習題集（附答案）

教材名稱（完整全稱）數學（基礎模塊）下冊

教材ISBN號978-7-04-049893-6

主編李廣全李尚志

出版社高等教育出版社

命題范圍教材第25頁至第48頁第七章平面向量

第七章平面向量

一.選擇題

1.同=W是z=分的條件.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不

必要條件

2.下列命題中，正確的是（）

A.若|。|二|/?|則a=bB.若〃=分，則〃與各共線

C.若|。|〉|川則?立D.若ZHI,則I與］必不共線

3.若向量）與否是兩個不平行的非零向量，且Z〃匕?〃乙則向量［等于（）

A.TB.aC.bD.不存在

4.已知［與B都是單位向量，并且則［與1的關系為（）

A.a=bB.a=~bC.〃=否或a=~b【）.無法確定

5.已知是兩個單位向量，下列命題一定正確的是()

,?—??-*.—?.—?

A.m=nB.如果"?,〃共線，則〃?=nC.m?//=0D.Hl=IT

6.而+疏+①+麗=()

4.ABB.ADC.6前D.0AD

7.~AB-~AD-~DC=()

A.AC13.CBC.BCD.AD

8.在平行四邊形ABCD中，13C-CD+BA=（）

4.BCB.CAC.ABD.AC

9.在平行四邊形ABCD中，而+而卜|初一詬，則必有（）

A>7B=6B、四邊形ABCD為正方形

C、四邊形ABCD為矩形D、而=6或AD=O

10.而+麗=（）

A.0B.6C.而D.BA

11.下列等式正確的個數是（）

（1）.a+O=a（2）.a+b=b+a（3）.（4）.a+，a）=O

A.1B.2C.3D.4

12.若點C是AB的中點，則而1+前等于（）

A.ABB.BAC.0D.6

13.己知向量［與B同向，H=2，W=L下列各式成立（）

A.a=21）B.a=—bC.ci=-bD.a=--b

22

14.若則下列命題正確的是（）

A、Aa=AaB、Aa=|2|?C、Aa=|^||?|【）、Aa>0

15.已知向量是單位向量，且則工與1的關系是（）

A、a=bB、a=-bC、a-b或。=-Z?D、無法確定

16.己知瓦二工就，則四邊形是（）

3

A、平行四邊形B、矩形C、梯形D、對邊不平行的四邊形

17.設2、坂是兩個非零向量，若存在常數4,使得3〉-入3=6則［與右（）

【2002年】

A.同向B.反向C.垂直D.平行

18.已知入、u￡R,。、人為任意向量，則下列關系式不成立的是()[2001年】

A.(a+b)=AaB.(a?q?c=〃?[?(?)

—r——[-*|2

C./(〃〃)=(人〃)aD.a?a=a

19.a=(0,-2),^=(1,0)則V+2辦=()

A.(2-2)B.(2,2)C.(2,0)D.(2,-4)

20..Z=(-1J)H=(3,4)M=()

A.(4,3)B.(2,3)C.(2,5)D.(-4,3)

21.已知A(2,-4)，M0,6),C(—8,10),則施+2團=()

A.(-2,10)B.(-8,4)C.(-18,18)D.(18,18)

22.已知4(4,—6),8(2,0)則筋=()

A.(2⑹B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)

23.已知8(-2,5)篇二(3,3),則A的坐標為()

A.(-5,2)B.(5,-2)C.(1,8)D.(1,2)

24.已知A(3,5)而=(2,-2),則8的坐標為()

A.(5,3)B.(-1-7)C.(1,7)D.(1,3)

-----*1------,

25.已知M(3,-2),N(-5,T),且—MN,則點P的坐標為(

2

33

A、(3,-2)B、(-1,——)C、(1,-)D、(8,-1)

22

26.點(—3,4)關于點B(—1,1)的對稱點是()

A、(―1,2)B、(1,-2)CN(—2,1)D、(―2卷

27.在邊長為2的等邊AABC中，[AB^BC)=()

A.60B.45,C.120°D,90°

28.已知IvO,則［與［夾角的取值范圍于（）

A、［0㈤B、C、D、

29.若m=4,，=5,，〃與〃的夾角是12（T,則加.〃等于

)

A.10B.10V3C.-10A/3D.-10

30.在邊長為2的等邊三角形ABC中，的值為（）

A.4B,-1C.2D.-2

31.如果a=3，Wcos卜,4=一2,則ad=()

A.-6B.6C.5D.-5

32.下列五個式子：①>6=6②)6=0③。-而=而

④口q=W耳⑤(鼠引々=。?傷1)其中正確的個數為()

A.1個B.2個C.3個D.4個

33.若［=(1,-2),b==(3,2),則D=()

A.-1B.4C.(3,-4)I).(2,4)

34.已知a=(2,-3),b=(3,-4),c=(T,3),則。?(A+c')=()

A.-7B.7C.1D.-l

35.已知a=(3,4)b=(5,12),則cos(a,Z)=()

36.若Q=(4,3),2a^b=(3,18),貝ijcos<a,3>=()

A.—B.--C.—D.-K

65656565

37.已知Z3是兩個單位向量,它們的夾角為60°,則,一3q=()

A、嶼B.V10C,V13D.4

38.已知Z=(3,-4),則口=()

A、1B.7C、12D、5

39.已知。=（1,2）,b=（-2,1）,則〃與之間的關系是（）

A.平行B.不平行也不垂直C.垂直D.以上都不對

40.已知a=（3,4）,了二⑵1）,如果向量4與-辦垂直,則彳的值是（）

233

A、—B、—C、2D、—2

332

41.已知1=（1,-2）與3=（以2）垂直,則機的值是（）

A、-4B、-1C、1【）、4

42.己知〃=（1,-2）,I=（m，1）,且。_L1,則〃2的值是（）

A.-2B.2C.--D.1

22

43.已知點八（1,2）1（3,4）＜（5,0）,則三角形/\1^是（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.鈍角三角形

44.若。=（cosa,sina）,b=（cos/7,sin/?）,則（）

A.aLbB.a//bC.（〃+分）D.（〃口）〃（q-B）

45.已知向量而=（2,1）,廢且耘_1念，則實數〃的值是（）

A.0.5B.-0.5C.-2I）.2

46.選擇題：已知|。|=2,囚=3,且＜族＞=（則向量Z3的內積是（”2011年】

A.373B.3C.2V3D.3V2

47.向量4=（1,一2）與向量2）垂直，則用的值是（）【2010年】

A.-4B.-1C.1D.4

48.選擇題若。=（2,-1）,2）,且則x等于（）【2008年】

1133

A.--B.-C.--D.-

2222

49.已知向量。二（1,2）*=（一2,1）,則。，〃之間的位置關系為（）【2012年】

A.平行B.不平行也不垂直C.垂直D.以上都不對

50.已知向量?=（3,-1）,^=（-1,-2）,c=（l,-l）,則“+〃+c模長等于（）

(2014年】

A.5B.4C.3D.2

51.已知向量A3=(2,1),AC=(1,〃),且M_LAC,則實數。的值是()【2016年】

A.。.5B.-05C.-2D.2

52.已知向量1=(—2,3),B=(X,-6),且113,則x的值是()【2021年】

A.4B.-1C.9D.-9

53.已知向量a=（2,-1）,b=（-3,4）,則向量a與（a-b）夾角為（）

【2020年】

Tt0冗71371

A.—B.—C.—D.—

4324

54.已知A（2,1），MT，3）,C（3,4）,則施?廢（）【2019年】

A.-4B.4C.-3D.3

55.卜列命題中，止確的是（）【2018年】

A.若則a=b13.若〃=3,則〃與1平行向量

C.若|〃|〉|例貝必立【）.若則〃與B必不共線

二.填空題

】.向量的兩要素是：

2.等腰梯形ABCD兩底上的向量前與反的關系是：

3.在平行四邊形ABCD中，與麗相等的向量為.

4用=---------

5.若"是單位向量，則口=.

6.AB+BC=:AB+BC+CD+DE=.

7.已知0是正六邊形ABCDEF的中心，OA=a,,則用a,b表示OC為_

8.~AB-~AD=—；OA-OB=_o

9.MD-AD-MA=；AB+CD-CB=。

10.ci+y—ciJ=?

11.已知向量4與B反向，^=2,^=6,則a=_b.

12.6ci=,若任意實數420=o

13.tz=(-l,2),^=(l,0)則a+1=o

14.已知a=(1,2),1=(3,5),則a—刃=。

15.己知a=(—1,2),則一2a=_。

16.已知a=(2,1)3=(3,m\3a=2bf則ni=

17.已知Z=(l⑵，分=(-1,3).3=(-2,1)貝向21-3：=.

18.已知A(2,-l),則蘇=—。

19.已知A(2,0),8(0,3)則而=—o

20.已知A(1,-3,),B(-2.0),則麗的坐標為.

21.己知卜|=3,W=2,且a〃B,則<〃,1>=.

22.如果伺=I，%=2,〃與否反向，則<aj)>=o

23.等邊三角形ABC的邊長為4,則麗，灰”—o

24.a?0=,0*0=,

25.如果口=1，W=2,06=180°,則zn=.

26.已知卜|=5,慟co*?=3，則d=.

27.如果［?否=-2后,口=2,夕,3)=135°,則岡=

28.已知a=3,3=已a與:夾角為60°,則(a+喇.{ci-動=

z

29.已知向量是互相垂直的單位向量，lLa=2et+3e2tb=el-2e2,則。?b=

30.已知a==(-3,1),,則a?B=

31.己知々=(3,-2亞=(0,1),,則伍卜(3可=___

32.已知Z=(2,—2),B=(4,3)，則ZU=

33.如果==4煙=2,則cos,花)=。

34.已知1=(3,0),^=(-5,5),則［與［的夾角為_.

———

35.已知〃?a=9,則a=_。

36.己知4=2,b=3,(!?b=3,則\a+b|=_V19-_,Ia~b=

37.已知a=(3,2)i=(0,T).則a-2b|=_。

38.在菱形ABCD中，(Q卜瓦).(赤AD)=_

39.在平行四邊形ABCD中，網=3,從。=2,而;?而==_

40J&a=(-sina,cosa),B=(sina,-cosa),則=1=___.【2009年】

41.已知兩點A(-3,4)和8(1,1),貝|」,耳=【2012年】

42.已知環(1,J5),仁(6+1,&-1),則cos(a,h)=_.[2007年】

43.己知A(l,3),8(—2,—1),則|AB|=—.【2017年】

44.已知向量入京都是單位向量，它們的夾角為60°,則3+3=.【2021年】

45.已知向量a=(1,2),b=(3,k),且@〃1),則實數k=.【2020年】

46.已知向量〃=(1,2)]=(一3,1),則b/]。一@=.【2019年】

47.已知1=(一2,1),辦=(1,3)"=1+5,則c=.【2018年】

三.判斷題：

1.判斷：若|。|二1，則〃是單位向量.(J)【2010年】

2.判斷：若a、分都是單位向量，則(X)[2007年】

四.計算題

1.已知。=(-2,4日=(1,3),求/+B.。

2.已知Z+B=（2,—3）,Z—B=（4「1）,求［和5的坐標。

3.已知A（l,2）,8（3-l）,,求垣和麗的坐標。

4.在平行四邊形ABCD中，已知A（0,2）,8（-4,l）,C（l,2）求點D的坐標.（提示：利用

9

AD=BC）

5.已知。=3,慟=2,。與〃夾角為?，求。?力.

6.已知R=3,W=2,僅力=60°,求.+勾?屯-3。

7已知口=1，W=2，G?=120°,求（1）3d：⑵（2工+@?各

8.已知向量〃=3,-2e2rb=4勺+/，其中4=（1,0）,%—（。,1），求”?辦

9.己知。=(-1,1),b=(-3,5),求(a%)(a+/?).

10.已知d=（3,-4）OB=（6-3）,OC=（5-m-3-in）.

⑴若A,B,C三點共線,求實數m的值；

（2）若NA8c為銳角，求實數小的取值范圍.

10.已知卜卜4,W=3,（2a—3旬（2a+分）=61,求〃與.夾角。

己知,卜忖=1J2cL=3,求

12.已知|a|=|b|=1,|2a—3各|=3,求a+B

已知卜|=2,慟=3,4?1=3,求白+3

13.

14.已知向量〃=3,-2e2,3=4耳+e2,其中q=。,。),％=(°，1)，求〃?B和?。1?

15.已知Z=(5,〃z),^=(3-1),且13$與H互相垂直，求〃2的值。

17.已知向量1=(6,2),b=(-3,k)，當k為何值時:

(Da//b；(2)a1b；⑶〃與］的夾角為鈍角.

18.已知M=4,慟=3,若(加一3可?(2Q+4=61,求向量〃與3的夾角.【2006年】

五.證明題

1.如果41,2)夙3,3),。：7,-1),前=，冊求證:而=2茄.O是坐標原點.

4

2.已知。=(T,2),B=(-2,1),求證：co{a,B)=一.

3.已知平面上三個向量的模均為1,它們之間的夾角為120°,求證：(3-3)_LA

4.已知〃=(cosa,sina)B={cos/?,sinP),求證：“+B與互相垂直.

5.已知力(1,2),8(2,3),以3,0),求證：ABI.AC.

6.已知：四邊形ABCD的四個頂點的坐標為A(2,1),B(5,2),C(4,5),D(1,4),求證：ABCD

為正方形.

4

7.已知。=(-1,2),5=(-2,1),證明：cos〈a,?=-.【2013年】

5

8.已知A(2,1),B(5,2),C(l,4).證明：MBC是等腰直角三角形。【2018年】

六.綜合題(10分)

3

1.已知△ABC的內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且cosA=—，ZSABC的面積是4.

5

(1)求【2020年】

(2)若b=2,求a的值.

第七章平面向量答案

一、選擇題

1-5BBACI)6-10ABACB11-15CDACC16-20CDBAA

21-25CBAAB26-30BCDDC31-35ABABA36-40CADCD41-45DBCCC46-50BDDCA

51-55CDDDB

二、填空題

1大小與方向2共線3比4.Ub.1^.~AC~AE71工

?一.—

DBBA9°A0】0.011,--

8.3

12.00i3.(O,2)14,(-2,-3)15.(2,-4)16.117.(5,5)瓜(2,-1)19.(-2,3)201(-3,3)

0

21.(T或180°22.180°23.120°24,_°*25.-226.1527.228.-1829.-4

3

30.-531.-3032.233.--34.135035.336."37.538.039.-540.-141.542.

8

—43.544.V345.646.(-4,-1)47.(0,7)

2

四.解答題答案

1.解:因為￡=(-2,4底=(1,3),

所以。+「=(-2,4)+(1,3)=(-1,7)

a-b=(-2,4)—(1,3)=(―3,1),立+否=2(-2,4)+(1,3)=(-3,11)

2.解：因為1+否=(2,—317—3二(4,-1),兩式相加(減)得

所以￡=(6,⑷%=(-2-2)a=(3,-2日=(-1,-1),

3解：赤=(2,-3)欣=(一2,3)

4.解：設點D的坐標(x,)，)，因為麗=前，所以(x,)，-2)=(5,1),因此點D的坐標(5,3))

5.解；a?B=3

\\—?——T

6.解；\a+2b)?\a-3b)=cfa-a?b-6b?b=3x3-3x2x--6x2x2=

7.解；(i)=(2)設(2〃+可?分=+=2

8.解；〃?〃二（3,-2）?（4,1）=10

9.解:因為［?歸=8,1+辦=（-4,6）,所以］dE+B）=8（-4,6）=（-32,48）

10.解：（1）由題意得AB=（3J）8C=（—1—〃Z,T〃），

因為A,B,C三點共級所以而與部共線，因此3（-"?）=lx（—l-〃z）,〃?=g

（2）由題意得NABC為麗與前夾角，因為NA3c為銳角，所以而?正=3+3m+〃?

1

O31

>n.〃2-所以小一二且〃7。已因此實數"的取值范圍

>42，

11.解:

（加一3%）.（2a—3^?^=4x4x4——3x3x3=37—4t/?^=61

所以"?B=_6cos/?,^=^=-=--,因此Z與否夾角為120，

''/剛4x32

12.解：因為2々-3囚二J（￡-3??（2Z-3B）=J4UE.]+91?B=3,

——?—?

所以4x1x1—1247?〃+9xlxl=9,a?b=一,

^3

所以。-1=yj[a-b）^（a-b）=Ha?a-h，+，,b=xI-2x^+1x1=

13.解：因為2^-3^=颶-3司電力@二也.￡-121?I+9癡=3,

—?―*—?一

所以4xlxl—12z7?/7+9xlxl=9,〃?/?=一,

^3

所以a+2=4+4）?（《+B）=yla^a+2cfb+b*b=Jlxl+2xg+lxl=

14.解：因為。?工=3所以

a+b=癡+討?\（i+b）=ya?a+2ci+b=72x2