初三數(shù)學(xué)奧數(shù)題解題方法十初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

奧數(shù)解題方法

借來(lái)還去

我國(guó)民間流傳著這樣一個(gè)故事，一位老人臨終時(shí)決定把家里的17頭七全部分給三個(gè)兒子。其中大兒子分得二分之一,

二兒子分得三分之一，小兒子分得九分之一，但不能把牛殺掉或賣掉。三個(gè)兒子按照老人的要求怎么也不好分。后

來(lái)一位鄰居用“借來(lái)還去”法順利地把17頭牛分完了。

某汽水廠規(guī)定：用3個(gè)空汽水瓶可換一瓶汽水，某人買了10瓶汽水，問(wèn)他總共可喝到幾瓶汽水？

如果3個(gè)空瓶可換1瓶汽水，那么有2個(gè)空瓶就可喝到1瓶汽水。這是因?yàn)椋?/p>

有了2個(gè)空瓶，再到別人那里“借來(lái)”1個(gè)空瓶，就可換來(lái)1瓶汽水，喝完把空瓶給別人“還去”，這時(shí)不欠

不余。

10瓶汽水喝完后得10個(gè)空瓶，10個(gè)空瓶乂可換:來(lái)5瓶汽水，總共可喝到“10+5=15”瓶汽水。

用字母表示數(shù)

方方、圓圓、丁丁、寧寧四個(gè)小朋友共有45本書，但是不知道每人各有幾本書。如果變動(dòng)一下：方方的減少2本，

圓圓的增加2本，丁丁的增加?倍，寧寧的減少?半，那么四個(gè)小朋友的書就?樣多。問(wèn)：每個(gè)小朋友原來(lái)各有幾

本書？

解：設(shè)一樣多是x本。

X+2+X-2+X4-2+2X=45

X=W

方方：10+2=12TT：104-2=5

圓圓：10-2=8寧寧：2X=20

逐步調(diào)整

你可以根據(jù)題中的部分條件，找到一個(gè)與正確答案比較接近的“準(zhǔn)答案”，然后再對(duì)它進(jìn)行修改或調(diào)整。這樣一步

一步地逼近，最后一定會(huì)得到符合題口所有條件的正確答案的。

轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)題常用的也是十分重要的一種方法一一轉(zhuǎn)化。這種轉(zhuǎn)化通常是指轉(zhuǎn)化條件或問(wèn)題，特別是轉(zhuǎn)化題中的數(shù)量關(guān)系。

一個(gè)兩位小數(shù)，去掉小數(shù)點(diǎn)后比原來(lái)的數(shù)大53.46。這個(gè)兩位小數(shù)是多少？

一個(gè)數(shù)的99倍是53.46,求這個(gè)數(shù)。

兩個(gè)數(shù)相除的商是21,余數(shù)是3。如果把被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)相加，它們的和是225。被除數(shù)、除數(shù)各是

多少？

題H中前一句話換個(gè)說(shuō)法就是：被除數(shù)比除數(shù)的21倍還多3。再換個(gè)說(shuō)法就是：被除數(shù)與除數(shù)的和比除數(shù)的“2

1+1”倍還多3。

題目中第二句話換個(gè)說(shuō)法是：被除數(shù)與除數(shù)的和是225-（21+3）=201。

整個(gè)題目的意思換個(gè)說(shuō)法就是：201比除數(shù)的22倍多3。從而可以先求出除數(shù)是：（201-3）+22=9

可求出被除數(shù)是：21X9+3=192

假設(shè)

小華解答數(shù)學(xué)判斷題，答對(duì)一題給4分，答錯(cuò)一題扣4分，她答了20道判斷題，結(jié)果只得56分。小華答對(duì)了兒

題？

假設(shè)小華全部答對(duì)：該得4X20=80（分），

現(xiàn)在實(shí)際只得了56分，相差80-56=24（分），

因?yàn)榇饘?duì)一題得4分，答錯(cuò)一題扣4分，這樣，一對(duì)一錯(cuò)相比，一題就差8分（4+4=8）,

根據(jù)總共相差的分?jǐn)?shù)以及做錯(cuò)一題相差的分?jǐn)?shù)，就可以求出做錯(cuò)的題數(shù)：24+8=3（題），

一共做20題，答錯(cuò)3題，答對(duì)的應(yīng)該是：

20-3=17（題）

4X17=68（分）（答對(duì)的應(yīng)得分）

4X3=12（分）（答錯(cuò)的應(yīng)扣分）

68-12=56（分）（實(shí)際得分）

某校有100名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，平均得63分，其中男生平均得60分，女生平均得70分，那么，男生比女生

多多少名？

假設(shè)100名同學(xué)都是男生，那么應(yīng)得分

60X100-6000（分）

比實(shí)際少得

63XI00-6000=300（分）

原因是男生平均分比女生少

70-60=10（分）

求出女生人數(shù)為

300+10=30（名）

抓不變量

數(shù)學(xué)題中，常常會(huì)出現(xiàn)數(shù)量的增減變化，但這些量變化時(shí)，與它們相關(guān)的另外一些量卻沒(méi)有改變。這種“不變量”

往往在分析數(shù)量關(guān)系時(shí)起到重要作用。

例一今年小明8歲，小強(qiáng)14歲。幾年后小明和小強(qiáng)歲數(shù)的和是40歲？

從年齡上不變來(lái)找解題的“突破口”

小明和小強(qiáng)的年齡差是：14-8=6（歲）

小明那一年是：（40-6）+2=17（歲）

是在幾年之后呢？17-8=9（年）

例二王進(jìn)和張明計(jì)算甲、乙兩個(gè)自然數(shù)的積（這兩個(gè)自然數(shù)都比1大）。王進(jìn)把甲數(shù)的個(gè)位數(shù)字看錯(cuò)了，計(jì)算結(jié)

果為91,張明卻把甲數(shù)的十位數(shù)字看錯(cuò)了，計(jì)算的結(jié)果為175。兩個(gè)數(shù)的積究竟是多少？

91=7X13=1X91,所以175和91的公約數(shù)是1或7,因?yàn)橐覕?shù)比1大，所以乙數(shù)一定是7。

抓住：一個(gè)因數(shù)（乙數(shù)）沒(méi)有變，乙是91和175的公約數(shù)

914-7=13……王進(jìn)看錯(cuò)了的甲數(shù)

1754-7=25……張明看錯(cuò)了的甲數(shù)。

15X7=105

找隱蔽條件

應(yīng)用題中的磔蔽條件，往往是分析問(wèn)題的突破口或者是最關(guān)鍵的一步。所以，審題時(shí)如果感到缺少條件，你不妨提

醒自己：有沒(méi)有什么隱蔽條件？

一個(gè)家庭由丈夫、妻子、女兒和兒子組成，他們的年齡和是73歲。丈夫比妻子大3歲，女兒比兒子大2歲。4

年前這個(gè)家庭成員的年齡和是58歲。請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)家庭成員現(xiàn)在的年齡各是多少歲？

隱蔽條件，可以推知：兒子今年才3歲。

由“女兒比兒子大2歲”可以算出女兒今年是：3+2=5（歲）

從而可知，丈夫與妻子現(xiàn)在的年齡和是：

73-（5+3）=65（歲）

由他們的年齡差是3歲，容易算出丈夫今年是：

（65+3）+2=34（歲）

妻子今年是：65-34=31（歲）

一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是24座米.其中有一條邊長(zhǎng)是6厘米，求另外兩條邊的長(zhǎng)。

等腰三角形的腰不能是6厘米，所以只能底是6厘米另兩條邊：（24-6）+2=9（厘米）

整體看問(wèn)題

從整體上觀察思考，全面地審題。

例一有甲、乙、丙三種貨物。如果買甲3件，乙7件，丙1件，共花去3.15元;如果買甲4件，乙10件，丙

1件，共花去4.20元。現(xiàn)在買甲、乙、丙各1件，需要花多少錢？

買甲3件，乙7件，丙1件，花3.15元①

買甲4件，乙10件，丙1件，花4.20元②

要想求出買甲1件，乙1件，丙1件，共需花多少錢，必須使上述①與②中對(duì)應(yīng)的“件數(shù)”相差1。

為此，可轉(zhuǎn)化已知條件：

將條件①中的每個(gè)量都擴(kuò)大3倍，得：

買甲9件，乙21件，丙3件，花9.45元③

將條件②中的每個(gè)量都擴(kuò)大2倍，得：

買甲8件，乙20件，丙2件，花8.40元④

所以，買甲、乙、丙各一件，共需要花的錢數(shù)為

9.45-8.40=1.05（元）

例二一條馬路長(zhǎng)2000米，老張?jiān)隈R路的一端，老李在馬路的另一端。他們分別從這條馬路的兩端同時(shí)出發(fā)，

相對(duì)而行。老張每分鐘走60米，老李每分鐘走40米。老張帶著一條狗，狗每分鐘跑120米。這條狗與老張一同出

發(fā)，碰到老李時(shí)就向老張跑，碰到老張又向老李跑，……直到老張與老李相遇。問(wèn)這條狗從出發(fā)到老張與老李相遇

時(shí)共跑了多少米？

提示：不需要把狗每趟所跑的路分別算出來(lái)，只要用它的速度乘一共所跑的時(shí)間就可以了。

合理變形

把算式合理變形，是我們進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算最常用的方法。

99X99+199

=(100-1)x(100-1)+200-1=100x100-100-100+1+200-1=10000

合理的變形可以使解題過(guò)程變得簡(jiǎn)捷而靈活。怎樣的變形才是“合理”的呢？

(1)題目變形之后，要使隱蔽的簡(jiǎn)算特點(diǎn)暴露出來(lái)；

(2)只能變“形”，而不能改變數(shù)的大小。

全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

一、選擇題

1.設(shè)aVbVO,a2+b2=4ab,則竺的值為【】

a-b

A、6B、在C、2D、3

2.已知a=1999x+2000,b=1999x4-2001,c=1999x4-2002,則多項(xiàng)式a?+b2+c2-ab-bc-ca的值為【】

A、0B、1C、2D、3

3.如圖,點(diǎn)E、F分別是矩形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，連AF、CE交于點(diǎn)G,則史幽9等于【

°矩形同6UO

432

一Ba

、--D

54、-

63

D

AEB

4.設(shè)a、b、c為實(shí)數(shù)，x=a--2b4--,y=b'—2c+—,z=c?_2a+2?，則x、y、z中至少有一個(gè)值

。33

A、大于0B、等于0C、不大于0D、小于0

5.設(shè)關(guān)于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0,有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1、X2,且xiVlVx?,那么a的取值范圍是【]

22,2C、a<-|2

A、--<a<-B、a>一I)、—<a<0

75511

6.A】A2A3…A9是一個(gè)正九邊形，AiA2=a,AA=b，則A1A5等于1

A、yja1+Z?2B、J/+岫+〃C、^(a+h)D、a+b

二、填空題

7.設(shè)內(nèi)、X2是關(guān)于x的一元二次方程x?+ax+a=2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則(X|-2xj(x?-2xJ的最大值為。

8.已知a、b為拋物線y=(x—c)(x—c—d)—2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),aVb,則,一《+|。一目的值為。

9.如圖，在aABC中，NABC=60°,點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，使得NAPB=NBPC=NCPA,且PA=8,PC=6,則PB

10.如圖，大圓()的直徑AB=acm,分別以0A、0B為直徑作。(%、002,并在。()與。01和。。2的空隙間作兩個(gè)等圓

。0」和OOi,這些圓互相內(nèi)切或外切，則四邊形0QQ.◎的面積為cm)

11.滿足(n2—n—l)H2=l的整數(shù)n有個(gè)。

12.某商品的標(biāo)價(jià)比成本高或，當(dāng)該商品降價(jià)出出時(shí)，為了不虧本，售價(jià)的折扣(即降價(jià)的百分?jǐn)?shù))不得超過(guò)d%,

則d可以用P表示為O

三、解答題

2一一一一3

13.某項(xiàng)_L程，如果由甲、乙兩隊(duì)承包，2一天完成，需付180000兀；由乙、丙兩隊(duì)承包，3—天元成，需付150000

54

元；由甲、丙兩隊(duì)承包，29天完成，需付160000元。現(xiàn)在工程由一個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完成的前提下，哪

7

個(gè)隊(duì)的承包費(fèi)用最少？

14.如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF滿足AB=CD=EF,旦對(duì)角線AD、BE、CF交于一點(diǎn)Q,設(shè)AD與CE的交點(diǎn)為P。（1）

QDACCP_AC2

求證:（2）求證:

~ED~~EC~PE~~CE1

16.如果對(duì)一切x的整數(shù)值，x的二次三項(xiàng)式ax?+bx+c的值都是平方數(shù)（即整數(shù)的平方）。證明：（1）2a、2b、c

都是整數(shù)；（2）a、b、c都是整數(shù)，并且c是平方數(shù)；反過(guò)來(lái)，如果（2）成立，是否對(duì)一切的x的整數(shù)值，x的二

次三項(xiàng)二a/+bx+c的值都是平方數(shù)?

2002年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

一、選擇題(每小題5分，共30分)

1.設(shè)mVbVO,a2+b2=4ab,則空的值為()。

a-b

A、舊B、遙C、2D、3

a+6a+b2/+必+2ab6ab

答案：A.由題意：-^->0,且a2-^-bi-2ab2ab、'

a-b

2.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,貝ij多項(xiàng)式a2+b2+c2—ab—bc—ca的值為（）。

A、0B、1C、2D、3

答案：原式:^[(a-b)2+(b-c)2+(o-a)2]=^[l+l+4]=3o

乙乙

s

3.如圖，點(diǎn)E、F分別是矩形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，連AF、CE交于點(diǎn)G,則'四邊形的⑺等于()。

S矩形八成7)

A8

答案：設(shè)S期形間產(chǎn)1。因?yàn)镋、F是矩形ABCD中邊AB、BC的中點(diǎn),

2

2叱=

所以SAG￡F=S,\CBF,設(shè)為X；SAGAE=SAGBF.J設(shè)為y。則[,得2x+2y=可.

x+2y=

4

2.、.

所以S四邊形AGCD二-FT.從而s四邊形:S版形ABQ>=2:3.

4.設(shè)a、b、c為實(shí)數(shù)，x=a2—2b+—,y=b'—2c+—,z=c2—2a+—,則x、y、z中至少有一■個(gè)值(）。

333

A、大于。B、等于0C、不大于0D、小于0

答案：由題意：x+y+z=a2+b2+c2-2a-2b-2c+乃=(aT)2+(bT)2+(cT)2+乃-3>0,所以x、y、z中至少有一個(gè)大于

0.

5.設(shè)關(guān)于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0,有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根XL且XV1VX2,那么a的取值范圍是（）。

222八

A、--<a<-nB、a>—2C、aV---2D、—<a<0

755711

11?+2

答案：由題知：（X「D（X2-1）<0,即X1X2-（X|+X2）+1〈O,代入韋達(dá)定理并整理得------<0,可知選（A）.

6.AiA2A3…A9是一個(gè)正九邊形,AA=a,A&=b,則AA等于（）。

A>y/a2+/?2B、"Jci~+ab+b2C>—(t/+/?)D、a+b

答案：.延長(zhǎng)A也和A內(nèi)相交于P,連結(jié)A2A4.易證：APAJ和APA如均為正A且

PA2=A2Ai=AiA3=bo所以AiA5=PAi=a+b.

填空題（每小題5分，共30分）

7.設(shè)X1、X2是關(guān)于x的一元二次方程x'+ax十a(chǎn)=2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則(X|-2xz)(x2-2x1)的最大值為。

63

答案：由A=(a-2)2+4>0知a為一切實(shí)數(shù).由韋達(dá)定理,tt^it=9xx-2(x+x)2=-2a2+9a-18<-b.

1212O

8.已知a、b為拋物線y=(x—c)(x—c—d)—2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a<b,則|。一(?|十上一的值

為o

答案：由題知：(a-c)(a-c-d)-2=0,(b-c)(b-c-d)-2=0.所以a-c和b-c是方程t(t-d)-2=0(&J--dt-2=0)的兩

實(shí)根.所以(a-c)(b-c)=-2<0,而a<b,即a-c<b-c.所以a-cO,b-c>0.所以原式4-a.

9.如圖，在△ABC中，NABC=60°,點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，使得NAPB=NBPC=NCPA,V\旦

PA=8,PC=6,則PB=。3%

pBg

答案：易證：APABsABCP,所以飛一二亙引得PB=4技

10.如圖，大圓()的直徑AB=acm,分別以0A、0B為直徑作。0i、O02,并在。。與。&和。0?的空隙間作兩個(gè)等圓

。&和0(%,這些圓互相內(nèi)切或外切，則四邊形0G0C的面積為cm%

aaaaaaa

22

答案：設(shè)。0；的半徑為x,則0。=彳+x,0,0=彳，02=工-x.所以(彳+x)=(4)+(2M解得乂=后，

易得菱形。QQQi的面積為‘a(chǎn)；

11.滿足行一門—1)-2=1的整數(shù)n有個(gè)。)d

答案：由題設(shè)得n2-n-l=±1,有5個(gè)根:0,1,-1,2.和-2

12.某商品的標(biāo)價(jià)比成本高械，當(dāng)該商品降價(jià)出售時(shí)，為了不虧本，售價(jià)的折扣(即降價(jià)的百分?jǐn)?shù))不得超過(guò)盛,

則d可以用p表示為。

100r>

答案：設(shè)成本為a,則a(l+p%)(l-d%)=a,得d.00K

三、解答題(每小題20分，共60分)

23

13.某項(xiàng)工程，如果由甲、乙兩隊(duì)承包，2—天完成，需付180000元；由乙、丙兩隊(duì)承包，3二天完成，需付150000

54

元；由甲、丙兩隊(duì)承包，2‘天完成，需付160000元。現(xiàn)在工程由一個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完成的前提下，

7

哪個(gè)隊(duì)的承包費(fèi)用最少？

答案：設(shè)單獨(dú)完成，甲、乙、丙各需a、b、c天.則

12

（；+=1

V

15

1

T

20）=1

V44

解得a=4,b=6,c=10（c>7,舍去）.

又設(shè)每天付給甲、乙、丙的費(fèi)用分別為x、y、z（元），則

y（A-+y）=l8OOOO

y（y+z）=150000

y（z+x）=160000

解得x=15500,y=29500,所以甲4天完成的總費(fèi)用為182000元，乙6天完成的總費(fèi)用為177000元，所以由乙承包.

14.如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF滿足AB=CD=EF,且對(duì)角線AD、BE、CF交于一點(diǎn)Q,設(shè)AD與CE的交點(diǎn)為P。

⑴求證：2=生⑵求證：?二維

EDECPECE2

答案：（1）易證N3=N4,所以NAEC=NDEQ,而NACE=N2,

所以△ACEsAQDE.可得結(jié)論成立.

CPCQ

⑵分析：易證N6=N4,所以FC〃ED,所以

PE=ED

CQAC2

所以只需證至萬(wàn)=下三，

QD2AC1

由⑴有五討=諼°

..CQQD2,

所以只需證1方-w力2,即QD-=CQXEQ.

這只需證ACQDsAEQD.

而由題設(shè)有N7=N3+N5=N4+N5,

由⑴有N9=/EAC,而NEAC=/8==NQCD,

所以可證得ACQDsAEQD.

15.如果對(duì)一切x的整數(shù)值，x的二次三項(xiàng)式a/+bx+c的值都是平方數(shù)(即整數(shù)的平方)。證明：(1)2a、2b、c

都是整數(shù)；(2)a、b、c都是整數(shù)，并且c是平方數(shù)；反過(guò)來(lái)，如果(2)成立，是否對(duì)一切的K的整數(shù)值，x的

二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的值都是平方數(shù)？

答案：U)由題設(shè)知，可分別令x=0、T、1,得

則有?一,2a=1?+/,215:112-「均為整數(shù).(其中m、n、k為整數(shù))

(2)假設(shè)2b為奇數(shù)2t+l(t為整數(shù)).

取x=4得16a+4b+m2=h"h為整數(shù)).

因2a為整數(shù)，從而16a可被4整除.

所以16a+4b=16a+4t+2除以4余2.

所以16a+4b為偶數(shù).①

又因?yàn)?6a+4b=(h+m)(h-m).

若h、m的奇偶性不同，則16a+4b=(h+m)(h-m)為奇數(shù),這與①矛盾.

若h、m的奇偶性相同，則16a+4b=(h+m)(h-m)能被4整除，從而2b為偶數(shù)，這與假設(shè)矛盾.

所以假設(shè)不成立，即2b應(yīng)為偶數(shù),從而b為整數(shù).

所以a=k2+b-c為整數(shù).

反之，若a、b、c都是整數(shù),且c是平方數(shù)，則對(duì)一切x的整數(shù)值,x的二次二項(xiàng)式ax2+bx+c的值不一定是平方

數(shù).例如：取a二b=x=c=l,則ax?+bx+c=3,不是平方數(shù).

初三數(shù)學(xué)試卷及答案

一.選擇題（共12小題，第1、2小題每題3分，3~12小題每題4分，共46分）

在每小題給出的四個(gè)備選答案中，只有一個(gè)是符合題目要求的。請(qǐng)把正確結(jié)論的代號(hào)寫在題后的括號(hào)內(nèi)。

1.點(diǎn)A（1,3）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)似的坐標(biāo)為（）

A.（3,1）B,（1,-3）

C.（-1,3）D.（-1,-3）

2.函數(shù)）'='—中，自變量x的取值范圍為（）

A.X<2B,x<2c,x>2D,x>2

3.如圖所示，已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，那么該反比例函數(shù)的解析式為（）

9

A.y=__xB.yv-_隊(duì)_or

1

y=—

C.xD.=r

4.方程/+5式+1=0的根的情況為（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

D.無(wú)法確定根的情況

S.以下命題正確的是（）

A.圓的切線一定垂直于半徑

B.圓的內(nèi)接平行四邊形一定是正方形

C.直角三角形的外心一定也是它的內(nèi)心

D.任意一個(gè)三角形的內(nèi)心一定在這個(gè)三角形內(nèi)

6.一種藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，由每盒60元調(diào)至52元，若設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為X,則可列出關(guān)于x的方程為

A.60(1-2x)=52

B60(1-x)2=52

2

r60(1+x)=52

D52(1+x)2=60

y=-(x-4)2-3

7.已知拋物線3的部分圖象如圖所示，那么圖象再次與X軸相交時(shí)的坐標(biāo)為（）

A.(5,0)B.(6,0)

C.(7,0)D.(8,0)

8.圓O的半徑為4cm,圓P的半徑為1cm,若圓P與圓0相切，則0、P兩點(diǎn)的距離（）

A.等于3cmB.等于5cm

C.等于3cm或5cmD.介于3cm與5cm之間

9.如圖所示，直線MN與ZXABC的外接圓相切于點(diǎn)A,AC平分如果AN=6,NB=4,那么弦AC的長(zhǎng)為（）

A.4B.5C.6D.9

10.圓01的半徑為5,圓02的半徑為1，若?。2=8,則這兩圓的外公切線的長(zhǎng)為（）

A.4B.4后C.4百D.6

11.如圖所示，在正方形網(wǎng)格中，角a、B、丫的大小關(guān)系是（)

A.a>"yB,。=

C.a<B=YD.a=R=y

一次函數(shù)丁='比+〃+的圖象在一〈的一段都在軸的上方，那么的取值范圍一定是（

12.22WxlXa)

A.-1<?<0

B-3<a<0或0<6/<4

C,-\<a<2

D-1<0或()<。<2

二.填空題（共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

13.小明用計(jì)算器求得tan22.5°的值約為0.4142,那么cot675°的值應(yīng)為

14.方程/-6工+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為王、“2，那么xJ+Xz?的值為°

15.如圖所示，AB和CD為圓0的兩條直徑，弦CK//AN,R'的度數(shù)為40。，則NAO"的度數(shù)為

A

16.據(jù)報(bào)載，2004年美國(guó)正、副總統(tǒng)的四位競(jìng)選人是歷屆角逐美國(guó)總統(tǒng)寶座最富有的一群候選人，2003年他們的

家庭年收入與普通居民家庭年收入對(duì)比表如圖所示，那么家庭年收入最高的競(jìng)選人是，他的家庭年收入比

普通居民家庭年收入高出萬(wàn)美元。

美國(guó)正副總統(tǒng)候選人家庭年收入的?/與普通居民家庭年收入對(duì)比表

600(單位：萬(wàn)美元)

549.5

17.將二次函數(shù)卜=2/-4工+5化成y=a(x_〃)2+%的形式為

18.如圖所示，沿AC方向開山修路，為了加快施工速度，要在小山的另一邊同時(shí)施工，從AC上的一點(diǎn)B取

ZABD=\5(r,3。=6()()米，ND=6()0,當(dāng)開挖點(diǎn)E離D米時(shí)，恰好使A、C、E成?條直線。

三.(共3個(gè)小題，其中19、20小題各5分，21小題6分，共16分)

x2-22x.

----------+--------=3

19.用換元法解方程xX--2

sinB=-

20.已知：如圖所示，等腰三角形ABC中，底邊BC=12,5,求出底邊上的高AD的長(zhǎng)。

A

y=x+\

21.（1）解方程組1一+）’二1

（2）已知：如圖所示，圓。的圓心為原點(diǎn)，半徑為1,請(qǐng)?jiān)趫D中畫出一次函數(shù)y=x+i的圖象，并寫出它與

圓。的交點(diǎn)坐標(biāo)（無(wú)需過(guò)程）；

（3）你能發(fā)現(xiàn)（1）中方程組的解與（2）中交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系嗎？請(qǐng)寫出你的發(fā)現(xiàn)，不用說(shuō)明理由。

四.（本題滿分6分）

22.已知：如圖所示，ZXABC的AB邊上一點(diǎn)D滿足AB=3AD,點(diǎn)P在4ABC的外接圓上，ZADP=Z.C.

⑴求證：PA?=AD?A5；

PB

（2）求PD的值。

五.（本題滿分6分）

23.已知：如圖1所示，圓。的半徑為1,線段AB為圓。的直徑，P為圓。上一點(diǎn)，記/POB為a（a為銳角），

PCL4B于C,當(dāng)a=60"、45。時(shí)，圖2、圖3中PC、OC、tanNPAB的值分別見下表。請(qǐng)根據(jù)圖4、圖1將表中

空白處填寫完整。

圖1圖2

圖3圖4

aPC的彳直oc的值癡PAB的值

2

a=600且tanZPAB=tan30°=—

T23

42也tanZPAB=tan225°=V2-1

a=45°~T~T

tanZPAB=tan15°=

a=30°——

a——lan/PAB=tan=

六.（本題滿分6分）

24.物理實(shí)驗(yàn)過(guò)程：如圖1所示，用小錘以初始速度V。擊打彈性金屬片，不考慮空氣阻力時(shí)，小球做平拋運(yùn)動(dòng)。

用頻閃照相的方法觀測(cè)到小球在下落過(guò)程中的幾個(gè)位置（如圖2所示），用平滑曲線把這些位置連起來(lái)，就得到平

拋運(yùn)動(dòng)的軌跡（如圖3所示）

數(shù)學(xué)問(wèn)題：在圖3中，以小球擊出的水平方向?yàn)閤軸正方向，豎直向下方向?yàn)閥軸正方向，小球擊出點(diǎn)為原點(diǎn)

建立直角坐標(biāo)系，得到小球的位置坐標(biāo)（x,y）,（x>0,y>0）由物理知識(shí)可得到x（米），y（米）與時(shí)間t（秒）

的關(guān)系如下：

人二必/（1）

已知實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到3個(gè)時(shí)刻小球的位置坐標(biāo)如下表：

1（秒）123???

X（米）204060???

y（米）52045???

（1）確定”和g的值：

（2）寫出在圖3的坐標(biāo)系中，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）問(wèn)：當(dāng)小球在豎直方向下落80米時(shí)，它在水平方向前進(jìn)了多少米？

七.（本題滿分7分）

25.如圖所示，/ACB=30°，D為CB上一點(diǎn)，CD=V3,QD13C于D,交CA于0,以0為圓心，0D為

半徑的圓分別交CA于點(diǎn)E、F,P為線段CF上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)C、E重合），過(guò)P作PQUC于p,交CB于Q,

設(shè)CP=x,四邊形DEPQ的面積為y。

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍：

（2）若四邊形DEPQ的面積是4CDE面積的5倍，判斷此時(shí)△口「、的形狀，并說(shuō)明理由。

八.（本題滿分7分）

舊A

y=-----x+V3

26.如圖所示，直線3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，直線BC交x軸于D,交△ABO的外接圓

圓M于C,已知NCOD=NOBC"

（1）求證：MC1.OA；

（2）求直線BC的解析式。

5

GX

CV

九.（本題滿分8分）

27.已知拋物線/+（2，〃+l）X+機(jī)2+1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（xi，0）、B（x2,0），點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè),

拋物線與y軸的交點(diǎn)為C。

（1）用含m的代數(shù)式表示OA+OBQC的值；

（2）若OC=OA=2OB,求出此時(shí)拋物線的解析式。

理想的書籍是智慧的鑰匙.

托爾斯泰

【試題答案】

北京市西城區(qū)2005年抽樣測(cè)試

初三數(shù)學(xué)評(píng)分參考

—.選擇題（共12小題，第1、2小題每題3分，3~12小題每題4分，共46分）

1.D2.B3.A4.A

5.D6.B7.C8.C

9.B10.C11.B12.D

二.填空題(共6個(gè)小題，每小題3分，共18分)

13.0.414214.2815.1100

16.克里，545.26

2

17,y=2(x-i)+3

18.300

三.（共3個(gè)小題，其中19、20小題各5分，21小題6分，共16分）

—=yy+2=3

19.解：設(shè)X,則原方程化為了1分

整理，得）/-3），+2=°

解得：M=1，%=22分

^-^=1

當(dāng)y=i時(shí)，x

整理.，得工2一工一2=0

解得：M=7,々=23分

^^=2

當(dāng),'=2時(shí)，x

整理，得x"—2%-2=0

解得“3x4=1-V34分

經(jīng)檢驗(yàn)，用=-1，%=2,七=1+6，匕=］一百是原方程的解。

???原方程的解為凡=T'々=2,七=1+0，5分

20.解：??,等腰三角形ABC中，ADLBC于ZXBC=\2

/.BD=DC=—=61分

2

An4

?.?RfAABO中，sin8=——=-2分

AB5

.?.設(shè)從。=4鼠AB=5k,則80=3%3分

BD=3k=6

k=24分

/.AD=4〃=85分

y=x+i(1)

21.解：(1)i,+V=1(2)

把（1）代入（2）,整理，

得/+%=01分

解得司二-1，々二°

把》=7代入（1）,得必二°

把0=（）代入⑴，得乂=1

%）=-1x=0

,，2

=

所以原方程組的解是〔必°%=13分

（2）見下圖4分

答：交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）、（0,1）

（3）答：（1）中方程組的解就是（2）中交點(diǎn)的坐標(biāo)。6分

注：教師講評(píng)此題時(shí)，可簡(jiǎn)單解釋：

①設(shè)點(diǎn)尸（達(dá)）'），則°P=J/+y2,所以/+）/=|表示的圖形是以圓心為原點(diǎn)，半徑為1的圓；

②類比“兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是它們的解析式組成方程組的解”，發(fā)現(xiàn)：“直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)就是它們的

解析式組成方程組的解”。

不做證明要求。

四.（本題滿分6分）

22（1）證：,/ZAPB=ZC,ZADP=ZC

.??4APB=ZADP

又NBAP=ZPAD

\APB?\ADP2分

PA_BA_PB

'~DA~~PA~~DP

PA2=AD?AB4分

（2）解.P"?=A。*人43=3AD

PA2=3AD2

PA=V3AD5分

:粵=空=66分

PDAD

五.（本題滿分6分）

23.解:

aPC的值OC的值

tanNPAB的值

1

a=30°百tanZ.PAB=tan15°=2-

2

T

asinacosa

,「…asina

tanNFAB=tan-=-------

214-coscr

。八。PC=-.0C=—

注：二二3°時(shí)，22共1分，其余各空每空1分。

六.（本題滿分6分）

24.解：⑴"=1時(shí)，X=20,

v0=201分

f=1時(shí)，y=5

g=102分

說(shuō)明：若選用，=2或，=3計(jì)算同樣給分。

2

（2）vx=20r①y=5t②

_x

由①得一20③

x~

y=—

把③代入②,得804分

（3）當(dāng)y=80時(shí)，x—J80y—J80x80—805分

答：當(dāng)小球在豎直方向下落80米時(shí)，它在水平方向前進(jìn)了80米。6分

七.(本題滿分7分)

25⑴????△CO。中，NOCO=30°,8=6

q

.?.OD=COtan3()°=V3x—=1,CO=2

3

OE=OD=OF=\fCE=CO-OE=\

G

作OG_LC4于G,則。G=COsin30°=—

2

?.?RfACP。中，ZPC(>=30°,CP=x

V3

P2=CPtan30°=-y-x

①當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上時(shí)，

???點(diǎn)P不與點(diǎn)C、E重合，

,.0<CP<CE

y=S四邊形力月FQ=S&CDE—SdCPQ

=-xCExDG——xCPxPQ

22

1,V31V3

=—x1X