PAGEPAGE1專題15統計的命題規律【學習目標】1．會收集現實問題中兩個有關聯變量的數據并作出散點圖，會利用散點圖直觀相識變量間的相關關系；2．了解最小二乘法的思想，能依據給出的線性回來方程系數公式建立線性回來方程；3．了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯表)的基本思想、方法及其簡潔應用；4．了解回來的基本思想、方法及簡潔應用．【學問要點】1．抽樣方法(1)抽樣要具有隨機性、等可能性，這樣才能通過對樣本的分析和探討更精確的反映總體的狀況，常用的抽樣方法有簡潔隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣．(2)簡潔隨機抽樣是指一個總體的個數為(較小的有限數)，通過逐個抽取一個樣本，且每次抽取時每個個體被抽取的概率相等．簡潔隨機抽樣的兩種常用方法為抽簽法和隨機數表法．(3)分層抽樣是總體由差異明顯的幾部分組成，常將總體按差異分成幾個部分，然后按各部分所占比例抽樣，其中所分成的各部分叫做層．(4)系統抽樣是當總體中的個數較多時，將總體均分成幾部分，按事先按確定的在各部分抽取．2．總體分布的估計(1)作頻率分布直方圖的步驟：①求極差(即一組數據中最大值與最小值的差)②確定組距與組數③將數據分組④列頻率分布表(下圖)分組頻數頻率累計頻率…………⑤畫頻率分布直方圖，將區間標在橫軸上，縱軸表示頻率與組距的比值，以每個組距為底，以各頻率除以組距的商為高，分別畫矩形，共得個矩形，這樣得到的圖形叫頻率分布直方圖．頻率分布直方圖的性質：①第個矩形的面積等于樣本值落入區間的頻率；②由于，所以全部小矩形的面積的和為1.三．高考命題類型分析（一）隨機抽樣例1．從2024名學生中選取50名學生參與某一活動，若采納下面的方法選取：先用簡潔隨機抽樣從2024人中剔除18人，剩下的2000人再按系統抽樣的方法抽取50人，則在這2024人中，每個人入選的概率（）A．不全相等B．均不相等C．都相等，且為D．都相等，且為【答案】C【解析】【詳解】因為簡潔隨機抽樣和系統抽樣都是等可能抽樣，從個個體中抽取個個體，則每個個體被抽到的概率都等于，即從2018名學生中選取50名學生參與全國數學聯賽，每人入選的概率都相等，且為，故選C.練習1．下列說法中錯誤的是（）A．先把高二年級的2000名學生編號為1到2000，再從編號為1到50的50名學生中隨機抽取1名學生，其編號為，然后抽取編號為，，的學生，這樣的抽樣方法是系統抽樣法；B．獨立性檢驗中，越大，則越有把握說兩個變量有關；C．若兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的值越接近于1；D．若一組數據1、a、3的平均數是2，則該組數據的方差是.【答案】C【解析】對于A，依據個體數目較多，且沒有明顯的差異，抽取樣本間隔相等，知這種抽樣方法是系統抽樣法，∴A正確；對應B,獨立性檢驗中，越大，應當是說明兩個變量有關系的可能性大，即有足夠的把握說明兩個變量有關，B正確；對于C，兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數|r|的值越接近于1，C錯誤；對于D，一組數據1、a、3的平均數是2，∴a＝2；∴該組數據的方差是s2＝×[（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2]＝，D正確．故選：C.上購物經驗的人數，所得數據的莖葉圖如圖所示，則這20個班有網購經驗的人數的眾數為（）A．24B．37C．35D．48【答案】C【解析】這20個班有網購經驗的人數最多的數字為35；所以眾數為35，故選C．【點睛】本題主要考查利用莖葉圖求眾數，意在考查對基礎學問的駕馭與應用，是基礎題．練習2．已知一組數據3，4，5，a，b的平均數是4，中位數是m，從3，4，5，a，b，m這組數據中任取一數，取到數字4的概率為，那么3，4，5，a，b這組數據的方差為（）A．B．2C．D．【答案】D【解析】依據3，4，5，a，b的平均數是4，中位數是m，從3，4，5，a，b，m這組數據中任取一數，取到數字4的概率為，可知，由方差公式求解即可.（三）頻率分布直方圖例3.．例3.．2024年APEC會議于11月10日至11日在越南峴港實行，某探討機構為了了解各年齡層對APEC會議的關注程度，隨機選取了100名年齡在[20，45]內的市民實行了調查，并將結果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（分組區間分布為[20，25），[25.30），[30，35），[35，40），[40，45]）．（1）求選取的市民年齡在[30，35）內的人數；（2）若從第3，4組用分層抽樣的方法選取5名市民進行座談，再從中選取2人參與APEC會議的宣揚活動，求參與宣揚活動的市民中至少有一人的年齡在[35，40）內的概率．【答案】（1）30；（2）.【解析】（1）由頻率分布直方圖可得年齡在內的頻率為，從而可得結果；（2）利用分層抽樣的方法可知，所選的5人中，從第3組選3人，從第4組選2人，利用列舉法，求出總事務以及至少有一人的年齡在內的事務，再利用古典概型概率公式即可得出結果.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得年齡在[30，35）內的頻率為0.06×5=0.3，則選取的市民年齡在[30，35）內的人數0.3×100=30；【點睛】本題考查古典概率概率公式與頻率分布直方圖的應用，屬于中檔題．利用古典概型概率公式求概率時，找準基本領件個數是解題的關鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本領件個數較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為困難的問題中的基本亊件的探求.在找基本領件個數時，肯定要按依次逐個寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避開多寫、漏寫現象的發生.練習3．某市要對2000多名出租車司機的年齡進行調査,現從中隨機抽出100名司機,已知該市的司機年齡都在[20,45]之間,依據調査結果得出司機的年齡狀況的頻率分布直方圖如圖所示,估計該市出租車司機年齡在頻率是(

)A．0.02B．0.04C．0.2D．0.84【答案】C（四）莖葉圖例4．將甲、乙兩名同學5次物理測驗的成果用莖葉圖表示如圖，若甲、乙兩人成果的中位數分別為，則下列說法正確的是()A．；乙比甲成果穩定B．；甲比乙成果穩定C．；乙比甲成果穩定D．；甲比乙成果穩定【答案】A練習1．為比較甲、乙兩地某月12時的氣溫狀況，隨機選取該月中的5天，將這5天中12時的氣溫數據（單位：）制成如圖所示的莖葉圖.考慮以下結論：①甲地的平均氣溫低于乙地的平均氣溫；②甲地的平均氣溫高于乙地的平均氣溫；③甲地氣溫的標準差小于乙地氣溫的標準差；④甲地氣溫的標準差大于乙地氣溫的標準差.其中依據莖葉圖能得到的統計結論的標號為()A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】B【解析】由已知的莖葉圖，我們易分析出甲、乙兩地某月12時的氣溫抽取的樣本溫度，進而求出兩組數據的平均數、方差，可得答案．【詳解】由莖葉圖中的數據，我們可得甲，乙兩地某月12時的氣溫抽取的樣本溫度分別為：甲：26，28，29，31，31乙：28，29，30，31，32；所以甲地該月12時的氣溫的標準差大于乙地該月12時的氣溫標準差.①正確，故選B.故數據的方差是，故標準差是，故選：D．【點睛】本題考查了解方程組問題，考查求數據的平均數和方差問題，是一道基礎題．練習2．若樣本的平均數是，方差是，則對樣本，下列結論正確的是()A．平均數為14，方差為5B．平均數為13，方差為25C．平均數為13，方差為5D．平均數為14，方差為2【答案】C【解析】依據平均數和方差的定義和性質進行求解即可．【點睛】本題主要考查樣本數據的方差和平均數的計算，依據相應的公式進行計算是解決本題的關鍵．（七）極差、方差、標準差例7．已知某7個數的平均數為3，方差為，現又加入一個新數據3，此時這8個數的平均數為x，方差為，則（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】由題設條件，利用平均數和方差的計算公式，進行求解，即可得到答案.【詳解】由題意，依據這7個數的平均數為3，方差為，即，，即，現又加入一個新數據3，此時這8個數的平均數為，方差為，即，故選B.練習1．在下列命題中，下列選項正確的是（）A．在回來直線中，變量時，變量的值肯定是15.B．兩個變量相關性越強，則相關系數就越接近于1.C．在殘差圖中，殘差點比較勻稱落在水平的帶狀區域中即可說明選用的模型比較合適，與帶狀區域的寬度無關.D．若是兩個相等的非零實數，則是純虛數.【答案】D【解析】依據回來方程的定義推斷；依據相關系數的定義推斷；依據殘差圖的性質推斷；依據純虛數的定義推斷.【點睛】本題主要通過對多個命題真假的推斷，主要綜合考查回來方程的定義、相關系數的定義、殘差圖的性質、純虛數的定義，屬于中檔題.這種題型綜合性較強，也是高考的命題熱點，做這類題目要細心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要留意從簡潔的、自己已經駕馭的學問點入手，然后集中精力突破較難的命題.（九）回來分析例9．26．已知某商品的價格（元）與需求量（件）之間的關系有如下一組數據：x1416182022y1210753；參考：；當時,,（1）求，；（2）求出回來直線方程；（3）計算相關系數r的值，并說明回來模型擬合程度的好壞。【答案】（1）；（2）；（3），擬合效果好.【解析】（1）由平均數公式計算x，y的平均值即可；（2）結合回來方程系數公式和（1）的結論求解回來方程即可；（3）利用相關系數的計算公式求得相關系數即可比較擬合效果的好壞．【點睛】本題考查了線性回來方程的實際應用，線性回來方程的性質，相關系數的概念等，重點考查學生的計算實力和對基礎概念的理解，屬于中等題．練習1．某工廠每日生產一種產品噸，每日生產的產品當日銷售完畢，日銷售額為萬元，產品價格隨著產量改變而有所改變，經過一段時間的產銷，得到了的一組統計數據如下表：（1）請推斷與中，哪個模型更適合刻畫之間的關系？可從函數增長趨勢方面給出簡潔的理由；（2）依據你的推斷及下面的數據和公式，求出關于的回來方程，并估計當日產量時，日銷售額是多少？（結果保留整數）參考公式及數據：線性回來方程中，，.，，【答案】(1)答案見解析；(2)23萬元.【解析】分析：（1）從函數增長趨勢考慮可知更適合刻畫之間的關系.（2）由題意可得非線性回來方程為，據此預料當日產量時，日銷售額是23萬元.點睛：本題主要考查非線性回來方程的求解，回來分析的數學思想等學問，意在考查學生的轉化實力和計算求解實力.（十一）獨立性檢驗例11．《中華人民共和國道路交通平安法》第47條的相關規定：機動車行經人行橫道時，應當減速慢行；遇行人正在通過人行橫道，應當停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”，《中華人民共和國道路交通平安法》第90條規定：對不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰款50元的懲罰.下表是某市一主干路口監控設備所抓拍的5個月內駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統計數據：月份12345違章駕駛員人數1201051009085（1）請利用所給數據求違章人數與月份之間的回來直線方程；（2）交警從這5個月內通