PAGEPAGE1課時作業9對數與對數函數一、選擇題1．函數y＝eq\r(log32x－1＋1)的定義域是(C)A．[1,2] B．[1,2)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log32x－1＋1≥0，,2x－1>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log32x－1≥log3\f(1,3)，,x>\f(1,2)，))解得x≥eq\f(2,3).2．若函數y＝f(x)是函數y＝ax(a>0，且a≠1)的反函數，且f(2)＝1，則f(x)＝(A)A．log2x B.eq\f(1,2x)C．logeq\s\do8(\f(1,2))x D．2x－2解析：由題意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，∵f(2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2.∴f(x)＝log2x.3．函數f(x)＝xa滿意f(2)＝4，那么函數g(x)＝|loga(x＋1)|的圖象大致為(C)解析：由f(2)＝2a＝4，得a＝2.所以g(x)＝|log2(x＋1)|，則g(x)的圖象由y＝|log2x|的圖象向左平移一個單位得到，C滿意．4．(2024·惠州市調研)若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sineq\f(2π,5)，則(D)A．b>c>a B．b>a>cC．c>a>b D．a>b>c解析：依題意，得a>1,0<b＝logπ3<logππ＝1，而由0<sineq\f(2π,5)<1,2>1，得c<0，故a>b>c，故選D.5．若函數f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在區間(－∞，1]上遞減，則a的取值范圍為(A)A．[1,2) B．[1,2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)解析：令函數g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，對稱軸為x＝a，要使函數在(－∞，1]上遞減，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1>0，,a≥1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a>0，,a≥1，))解得1≤a<2，即a∈[1,2)．6．(2024·洛陽市第一次聯考)設a＝log36，b＝log510，c＝log714，則(D)A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c解析：因為a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，因為log32>log52>log72，所以a>b>c，故選D.7．(2024·貴陽市摸底考試)20世紀30年頭，為了防范地震帶來的災難，里克特(C.F.Richter)制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是運用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級M，其計算公式為M＝lgA－lgA0，其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標準地震”的振幅．已知5級地震給人的震感已經比較明顯，則7級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的(D)A．10倍 B．20倍C．50倍 D．100倍解析：依據題意有lgA＝lgA0＋lg10M＝lg(A0·10M)，所以A＝A0·10M，則eq\f(A0×107,A0×105)＝100.故選D.二、填空題8．(2024·全國卷Ⅰ)已知函數f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1.則a＝－7.解析：由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.9．若logaeq\f(3,4)<1(a>0，且a≠1)，則實數a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞)．解析：若a>1，則logaeq\f(3,4)<0，不等式logaeq\f(3,4)<1肯定成立；若0<a<1，則logaeq\f(3,4)<1＝logaa，依據對數函數性質可得a<eq\f(3,4)，又a>0，故0<a<eq\f(3,4).所以a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞)．10．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，則函數y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值是13.解析：由f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，得f(x2)＝2＋log3x2，x2∈[1,9]，即x∈[1,3]，得函數y＝[f(x)]2＋f(x2)的定義域為[1,3]．y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2，即y＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3，令log3x＝t,0≤t≤1，則y＝(t＋3)2－3，當t＝log3x＝1，即x＝3時，ymax＝13.三、解答題11．已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，f(0)＝0，當x>0時，f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))x.(1)求函數f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2.解：(1)當x<0時，－x>0，則f(－x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))(－x)．因為函數f(x)是偶函數，所以f(－x)＝f(x)．所以函數f(x)的解析式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logeq\s\do8(\f(1,2))x，x>0，,0，x＝0，,logeq\s\do8(\f(1,2))－x，x<0.))(2)因為f(4)＝logeq\s\do8(\f(1,2))4＝－2，f(x)是偶函數，所以不等式f(x2－1)>－2可化為f(|x2－1|)>f(4)．又因為函數f(x)在(0，＋∞)上是減函數，所以|x2－1|<4，解得－eq\r(5)<x<eq\r(5).即不等式的解集為(－eq\r(5)，eq\r(5))．12．設f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定義域；(2)求f(x)在區間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))上的值域．解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，且a≠1)，∴a＝2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x>0，,3－x>0，))得x∈(－1,3)，∴函數f(x)的定義域為(－1,3)．(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，∴當x∈(－1,1]時，f(x)是增函數；當x∈(1,3)時，f(x)是減函數，故函數f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))上的最大值是f(1)＝log24＝2.又f(0)＝log23，f(eq\f(3,2))＝log2eq\f(15,4)，log23<log2eq\f(15,4)，∴函數f(x)在[0，eq\f(3,2)]上的最小值是f(0)＝log23.故函數f(x)在區間[0，eq\f(3,2)]上的值域為[log23,2]．13．(2024·全國卷Ⅲ)設a＝log0.20.3，b＝log20.3，則(B)A．a＋b<ab<0 B．ab<a＋b<0C．a＋b<0<ab D．ab<0<a＋b解析：由a＝log0.20.3得eq\f(1,a)＝log0.30.2，由b＝log20.3得eq\f(1,b)＝log0.32，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，所以0<eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)<1，得0<eq\f(a＋b,ab)<1.又a>0，b<0，所以ab<0，所以ab<a＋b<0.14．(2024·成都診斷性檢測)已知定義在R上的奇函數f(x)滿意f(x＋2)＋f(x)＝0，且當x∈[0,1]時，f(x)＝log2(x＋1)，則下列不等式正確的是(C)A．f(log27)<f(－5)<f(6)B．f(log27)<f(6)<f(－5)C．f(－5)<f(log27)<f(6)D．f(－5)<f(6)<f(log27)解析：f(x＋2)＋f(x)＝0?f(x＋2)＝－f(x)?f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期為4的周期函數．又f(－x)＝－f(x)，且有f(2)＝－f(0)＝0，所以f(－5)＝－f(5)＝－f(1)＝－log22＝－1，f(6)＝f(2)＝0.又2<log27<3，所以0<log27－2<1，即0<log2eq\f(7,4)<1，f(log27)＋f(log27－2)＝0?f(log27)＝－f(log27－2)＝－f(log2eq\f(7,4))＝－log2(log2eq\f(7,4)＋1)＝－log2(log2eq\f(7,2))，又1<log2eq\f(7,2)<2，所以0<log2(log2eq\f(7,2))<1，所以－1<－log2(log2eq\f(7,2))<0，所以f(－5)<f(log27)<f(6)．eq\a\vs4\al(尖子生小題庫——供重點班學生運用，一般班學生慎用)15．若A(a，b)，B(e，c)(其中e為自然對數的底數)是f(x)＝lnx圖象上不同的兩點，則下列各點肯定在f(x)圖象上的是(A)A．(ae，b＋1) B．(a＋e，b＋1)C．(a＋e，b) D．(ae，b)解析：∵A(a，b)，B(e，c)是f(x)＝lnx圖象上不同的兩個點，∴lna＝b，lne＝1＝c，∴b＋1＝b＋c＝lna＋lne＝ln(ae)，∴(ae，b＋1)在f(x)圖象上，故選A.16．(2024·湖北八校聯考)已知π為圓周率，e＝2.71828…為自然對數的底數，則(B)A．πe<3e B．πlog3e>3logπeC．3e－2π<3πe－2 D．logπe>log3e解析：對于A，∵函數y＝