北師大教材數學試卷

一、選擇題

1.下列關于函數的定義，正確的是:()

A.函數是一種關系，其定義域是所有可能的輸入值

B.函數是一種關系，其值域是所有可能的輸出值

C.函數是一種關系，其定義域和值域是一一對應的

D.函數是一種關系，其定義域和值域可以是任意的

2.已知函數f(x)=xA2+1，求f(-1)的值:()

A.2

B.0

C.1

D.-1

3.在下列各數中，屬于實數集的有:()

A.、/2

B.N-2

C.1/3

D.TT

4.下列關于數列的定義，正確的是:()

A.數列是一種有序的數集

B.數列是一種無序的數集

C.數列是一種關系

D.數列是一種集合

5.已知數列｛an｝的通項公式為an=2n-1，求a5的值:()

A.9

B.10

C.11

D.12

6.下列關于三角函數的定義，正確的是:()

A.正弦函數的定義是y-sin(x),其中x是銳角

B.余弦函數的定義是y=cos(x),其中x是銳角

C.正切函數的定義是y=tan(x),其中x是銳角

D.正弦函數、余弦函數和正切函數的定義都是y=sin(x),y=8$便)和y=

tan(x),其中x是銳角

7.已知sina=1/2,求cosa的值:()

A.Y3/2

B.-V3/2

C.1/2

D.-1/2

8.在下列各式中，屬于代數式的有:()

A.2x+3y

B.xA2+yA2-1

C.3V2x

D.2xA2+3xy-4yA2+5

9.已知a+b=5,a-b=1，求a和b的值:（）

A.a=3,b=2

B.a=2,b=3

C.a=1,b=4

D.a=4,b=1

10.下列關于方程的定義，正確的是：（）

A.方程是含有未知數的等式

B.方程是含有已知數的等式

C.方程是含有常數項的等式

D.方程是含有函數的等式

二、判斷題

1.函數的定義域可以是一個有限集合，也可以是一個無限集合。（）

2.對于數列｛an｝,如果an>0對所有n成立，那么｛an｝是遞增數列。（）

3.在直角坐標系中，所有斜率相等的直線都在同一直線上。（）

4.如果兩個三角形的對應邊長比例相等，那么這兩個三角形全等。（）

5.函數y=xA2在定義域內是增函數。（）

三、填空題

1.若函數f（x）=3x-2是增函數，則其斜率k=o

2.數列｛an｝中，如果an=M2+1,則數列的第10項a10=。

3.在直角三角形ABC中，NC=90。，若AC=3,BC=4,則AB的長度為

4.已知sina=1/4,且。在第二象限，則cosa的值為.

5.對于二次方程xA2-5x+6=0,其兩個根的和為o

四、簡答題

1.簡述函數的連續性及其在數學分析中的應用。

2.解釋數列收斂的概念，并舉例說明。

3.描述勾股定理的幾何證明過程，并解釋其重要性。

4.說明什么是三角函數的周期性，并舉例說明周期函數在物理中的應用。

5.解釋什么是線性方程組的解法，并列舉至少兩種不同的解法及其適用條件。

五、計算題

1.計算下列函數在x=2時的導數值：f(x)=xA3-6xA2+9x-1o

2.解下列數列的通項公式：已知數列｛an｝的前n項和Sn=3nA2.n,求an的

表達式。

3.求解直角三角形ABC中，若NA=30。，AC=6,求BC和AB的長度。

4.已知sin0=1/2,cos0=V3/2,求tanO的值，并說明0所在的象限。

5.解下列二次方程：2xA2-4x-6=0,并指出其解的類型。

六、案例分析題

1.案例分析：某班級學生進行期中考試，成績分布如下：60-70分有20人，

70-80分有15人，80-90分有10人，90-100分有5人。請根據上述成績分

布，計算該班級學生成績的平均分、中位數和眾數。

2.案例分析：某工廠生產一批產品，已知這批產品的長度服從正態分布，平均

長度為10cm,標準差為1.2cm。現從這批產品中隨機抽取10件產品進行測

量，得到的長度數據如下(單位：cm):9.8,10.1,10.5,10.2,9.9,10.4,

10.6,10.3,10.7,10.0o請分析這組數據的分布情況，并計算樣本的均值和

標準差。

七、應用題

1.應用題：某商店銷售某種商品，前三個月的銷售額分別為：$5000,

$6000,$5500o假設銷售額服從線性模型，求該線性模型的表達式，并預測第

四個月的銷售額。

2.應用題：一個班級有40名學生，其中有20名男生和20名女生。已知男生

平均身高為1.75米，女生平均身高為1.65米。如果從該班級中隨機抽取10名

學生進行身高測量，請計算這10名學生平均身高的期望值。

3.應用題：一個工廠每天生產某種產品，其重量X（單位：kg）服從正態分

布，平均重量為50kg,標準差為2kg。如果要求產品的重量在47kg到53kg

之間的概率至少為90%，請問該工廠每天至少需要生產多少個產品才能滿足這

一要求？

4.應用題：某學校圖書館藏書10萬冊，其中歷史類書籍占5%,科學類書籍

占15%,文學類書籍占30%,其他類書籍占50%o如果某學生要隨機借閱一

本圖書，求他借到歷史類、科學類和文學類書籍的概率。

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題

1.C

2.A

3.ACD

4.A

5.C

6.A

7.A

8.ABCD

9.A

10.A

二、判斷題

1.正確

2.錯誤（遞增數列要求對于任意的n,an<an+1）

3.正確

4.正確

5.錯誤（在定義域內，函數y=x^2是減函數）

三、填空題

1.3

2.21

3.5

4.々3/2

5.5

四、簡答題

1.函數的連續性是指函數在某一點附近，無論取多小的鄰域，函數值的變化總

是很小的，即函數值的變化不會出現跳躍。在數學分析中，連續性是研究函數

性質的重要工具，例如導數和積分的概念都建立在函數連續性的基礎上。

2.數列收斂是指隨著n的增大，數列的項an趨向于某個固定的數A。如果對

于任意的正數￡,都存在一個正整數N,使得當n>N時，|an?A|V￡,則稱數

列｛an｝收斂于Ao

3.勾股定理的幾何證明可以通過構造直角三角形ABC,其中NC=90。，AC和

BC為直角邊，AB為斜邊。通過構造兩個相同的直角三角形，將它們拼接在一

起，可以證明ACA2+BCA2=ABA2o

4.三角函數的周期性是指三角函數的值在一定的區間內重復出現。例如，正弦

函數和余弦函數的周期是2TT,這意味著每隔2TT弧度，函數的值會重復。周期

函數在物理中有很多應用，如描述簡諧運動。

5.線性方程組的解法包括代入法、消元法等。代入法是通過將一個方程中的變

量表示為另一個方程中的變量的函數，然后代入另一個方程求解。消元法是通

過加減消元或乘除消元，使得方程組中的變量消去，從而得到方程組的解。

五、計算題

AA

1.f(x)=3x2-12x+9,f(2)=3*22-12*2+9=12-24+9=-3O

AA

2.an=Sn-Sn-1=(3n2?n)-[3(n-1)2-(n-1)]=6n-4o

3.BC=AC*tan(30°)=6*(1*3)=2V3,AB=x/(ACA2+BCA2)=、/(3八2+

A

(2V3)2)=V(9+12)=V21O

4.tanG=sinO/cose=(1/2)/(V3/2)=V3/3,B在第二象限。

5.方程的解為x=(4±J(4人2-4*2*(-6)))/(2*2)=(4±V(16+48))/4=(4±

464)/4=(4±8)/4,解的類型為實數解。

六、案例分析題

1.平均分=(60*20+70*15+80*10+90*5)/40=78.75,中位數=(70+

80)/2=75,眾數二70o

2.樣本均值=(9.8+10.1+10.5+10.2+9.9+10.4+10.6+10.3+10.7+

A

10.0)/10=10.1，樣本標準差=V[Z(x-x)2/(n-1)]=V[0.04]=0.2o

七、應用題

1.線性模型:y=ax+b,a=(6000-5000)/(3-1)=1000,b=5000-

a*1=400