2021-2022北京高二上學期期末

模擬試題（一）

本試卷共9頁，150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試

卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符

合題目要求的一項）

1.（2021?北京師范大學昌平附屬學校高二期末）已知空間向量〃=（-3,2,5）"；=（1,蒼-1）,

且￡與萬垂直，則/等于（）

A.4B.1

C.3D.2

2.（2021?北京?牛欄山一中高二期中）已知直線,經過點（2,1）,且與直線2x-），+1=。垂

直，則直線/的一般式方程為（）

A.x+2y-4=0B.x+2y=0C.2x-y-3=0D.2x-y=0

3.（2021?北京八十中高二期中）已知"〃?HO,則方程=1與〃=。在同

一坐標系內的圖形可能是（）

試卷第2頁，共37頁

4.（2021?北京市昌平區第二中學高二期中）是“方程」一+上一=1表示橢

8—mm—2

圓”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分條件又不必要條件

5.（2020?北京?清華附中高二期末）已知拋物線C:/=2x的焦點為￡A（Xo，），o）是C上

一點，貝/q=（）

4

A.1B.2C.4D.8

6.（2021?北京市第三十五中學高二期中）下列命題中，正確的是（）

A.3+4i的虛部是4iB.3+4i的共相復數是-3+4i

C.（3+4i）i=-4+3iD.|3+4i|=后

7.（2021?北京八十中高二期中）橢圓二+==1（.>〃>0）上存在一點產滿足耳/516。，

crb~

￡，6分別為橢圓的左右焦點，則橢圓的離心率的范圍是（）

A.（0.11B.（0*1C.[1,1）D.吟.1）

8.（2020?北京市第一零九中學高二期中）在直三棱柱ABC-A8G中，若8C_LAC,

ZA=pAC=4,9=4,M為AA的中點，尸為朋以的中點，。在線段上，

AQ=3QC,則異面直線尸。與4C所成角的余弦值為（）

「2屈

Vx?----

1313

9.(2018?北京海淀?高二期中(理))已知圓G：(x-2)2+(y-3/=l,圓

22

C2:(x-3)+(y-4)=9,MtN分別是圓C「G上的動點，尸為x軸上的動點，則以

|PM|+|PN|的最小值為()

A.55/2-4B.V17-1C.6-2x/2D.JI7

試卷第4頁，共37頁

10.（2021?北京?中關村中學高二期中）如圖所示，正方體48CO-A4GA中，點E是

棱cq上的一個動點，平面8EA交棱AA于點r，則下列命題中假命題是（）

A.存在點E,使得AG”平面3石。尸

B.存在點E,使得B「//平面BERF

C.對于任意的點￡,平面AC。，平面BEQ/

D.對于任意的點￡,四棱錐&-8EZ）廠的體積均不變

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）

11.（2021?北京?牛欄山一中高二期中）如圖，正方體ABC。-ABC。中，棱長為2.

（1）g冠=；

（2）若點E在對角線D3上，貝IJ通?猬=.

12.（2021?北京?牛欄山一中高二期中）橢圓C：=+1=］（4>〃>0）左、右焦點分別

a'b~

為6（-c,O）,6（。,0），點尸是橢圓C上點，"Jx軸，且/P入1=45。，則橢圓。的

離心率為.

13.（2021?北京市昌平區第二中學高二期中）直線〃次-），+2機-1=0經過一定點。，則

點C的坐標為，以點C為圓心且與）’軸相切的圓的方程為.

14.（2021?北京?北大附中高二期中）已知二面角為銳角，平面a的法向量為

/?!=（V3,0,-l）,平面夕的法向量為〃2=（-當,l，g>則COS〈〃1,〃2〉=，二面

角a一/一夕的大小為.

15.（2021?北京市昌平區第二中學高二期中）在平面直角坐標系中，定義

d（S,7）=|電-%|+|y2fl為兩點5&，乂），7（，為）之間的“折線距離％有下列命題，

其中為真命題的是___________.（填序號）

①若40,0）,5（1,1）,則若A,8）=2；

②到原點的“折線距離”不大于1的點構成的區域面積為1；

試卷第6頁，共37頁

③原點。與直線x-y+3=。上任意一點M之間的折線距離的最小值為3；

④原點。與圓(x-+⑶-4尸=1上任意一點M之間的折線距離d(O,M)的最大值為

6+V2.

三、解答題（共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程）

16.（2021?北京?人大附中高二期中）已知復數2=（＞+〃.6）+（＞+帆-2）也〃￡?）在

復平面內所對應的點為A

（1）若復數z+4"?為純虛數，求實數團的值；

（2）若點A在第二象限，求實數〃?的取值范圍

試卷第8頁，共37頁

17.(2021?北京八中高二期末)已知AAHC中，3(7,3),NA=90°味在x軸上,

點。是8c邊上一動點，點A關于。的對稱點為。.

(1)求8c邊所在直線的方程；

(2)當。與氏C不重合時，求四邊形的面積；

(3)直接寫出麗?麗的取值范圍.

18.(2020?北京市陳經綸中學高二期中)如圖，在四棱錐C-A8EF中，平面A8￡F_L平

ffiABC,△ABC是邊長為2的等邊三角形，AB//EF,N4BE=90。，BE=EF=3點M

為BC的中點.

(1)求證：EM〃平面ACF；

(2)求證：AM±CE；

(3)求二面角EIG廣的余弦值.

試卷第10頁，共37頁

19.（2020?北京西城?高二期末）已知拋物線C：y2=2px（〃>0）,拋物線C上橫坐標為

1的點到焦點戶的距離為3.

（1）求拋物線C的方程及其準線方程；

（2）過（-1.0）的直線，交拋物線C于不同的兩點A,交直線工=-4于點￡直線

區戶交直線工=-1于點〃是否存在這樣的直線,,使得。切/A尸？若不存在，請說明理

由；若存在，求出直線/的方程.

20.（2021?北京四中高二期中）已知在四棱錐P-/WCQ中，底面ABCZ）是邊長為4的

正方形，△24。是正三角形，CDJL平面A4。，￡F。。分別是尸。,口）,8。,40的中

點.

（1）求證：PO_L平面ABCQ；

（2）線段％上是否存在點M,使得直線GM與平面EPG所成角為《？若存在，求線

O

段PM的長度；若不存在，說明理由.

試卷第12頁，共37頁

21.（2021?北京?清華附中高二期末）已知橢圓忘+￡=1（。>8>0）短軸的兩個端點與

橢圓的右焦點構成面積為1的等腰直角三角形.

（1）求橢圓的離心率及其標準方程；

（2）過點的直線交橢圓于P,0兩點，線段。。的中點為問在y軸上是

否存定點。，使得端=《？若存在，求出。的坐標；若不存在，請說明理由.

2021-2022北京高二上學期期末一解析

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符

合題目要求的一項）

1.（2021?北京師范大學昌平附屬學校高二期末）已知空間向量2=（-325）,B=（l,蒼-1）,

且￡與5垂直，則x等于（）

A.4B.1

C.3D.2

【答案】A

【分析】

根據空間向量垂直的坐標表示可求得實數x的值.

【詳解】

由題意可得〉B=-3+2X—5=2X—8=O，解得X=4.

故選：A.

2.（2021?北京?牛欄山一中高二期中）已知直線/經過點（2/），且與直線2x-y+l=O垂

直，則直線/的一般式方程為（）

A.x+2y-4=0B.x+2y=0C.2A-y-3=OD.2x-y=0

【答案】A

【分析】

根據條件求出直線/的斜率，然后可得答案.

【詳解】

因為直線2x-y+l=（）的斜率為2

試卷第14頁，共37頁

所以直線/的斜率為-；，所以直線/的方程為y-1=-g（x-2）,即x+2y-4=0

故選：A

3.（2021?北京八十中高二期中）已知〃加工0,則方程"二=1與〃?=0在同

一坐標系內的圖形可能是（）

【答案】A

【分析】

利用特殊值法驗證即可得到答案.

【詳解】

解:由題意，當〃2=1,〃=2時，方程//+〃./=1表示焦點在X軸上的橢圓V+2）3=1,

方程，俄+〃），2=0表示開口向左的拋物線），2=-gx,故排除選項C、D；

當/〃=-1,〃=1時，方程皿2+〃），2=1表示焦點在y軸上的雙曲線）,2一寸=1,方程

〃a+〃3，2=0表示開口向右的拋物線），2=X,故排除選項B,而選項A符合題意，

故選：A.

4.（2021?北京市昌平區第二中學高二期中）是“方程‘一+」一=1表示橢

8—mm—2

圓”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分條件又不必要條件

【答案】B

【分析】

利用充分條件和必要條件結合橢圓方程判斷即可

【詳解】

當〃?=5時，方程±+匕=1表示圓，

33

8-//z>0

當方程二一+上一=1表示橢圓，則號-2>0,解得2<相<8且機工5,

8一〃『2b一…〃-2

所以“2<〃?<8”是“方程上+上=I表示橢圓”的必要不充分條件，

8-mm-2

故選：B

5.(2020?北京?清華附中高二期末)已知拋物線C：y2=2x的焦點為",人(%,)，0)是。上

一點，|4戶|=<%,則。=()

4

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【分析】

利用拋物線的定義、焦半徑公式列方程即可得出.

【詳解】

由拋物線C:/=2x可得〃=《二；,

港線方程x=《，

試卷第16頁，共37頁

,??4%,%）是C上一點，事>0.

4

5p\

??7％=xo+^=xo+2，

解得/=2.

故選：B.

6.（2021?北京市第三十五中學高二期中）下列命題中，正確的是（）

A.3+4i的虛部是4iB.3+4i的共匏復數是-3+4i

C.（3+4i）i=-4+3iD.|3+4i|=x/5

【答案】C

【分析】

根據復數的概念，共枕復數的概念，復數的模及復數的運算法則，逐項判定，即可求解.

【詳解】

對于A中，復數3+4i的虛部是4,所以A不正確；

對于B中，復數3+4i的共物復數是3-4i,所以B不正確；

對于C中，根據復數的運算法則，可得（3+4i）i=-4+3i,所以C正確；

對于D中，根據復數模的計算公式，可得|3+4i|=歷不=5,所以D不正確.

故選：C.

7.（2021?北京八十中高二期中）橢圓=\（a>b>0）上存在一點P滿足￡尸_L,

件用分別為橢圓的左右焦點，則橢圓的離心率的范圍是（）

【答案】D

【分析】

當點尸位于短軸的端點時'最大，要使橢圓=1（4>〃>0）上存在一點P

滿足匕尸_16尸，只要/耳。鳥最大時大于等于即可，從而可得出答案.

【詳解】

解：當點P位于短軸的端點時，/￡尸鳥最大,

要使橢圓小小叱…）上存在一點「滿足歸號,

只要/片。鳥最大時大于等于+即可，

即當點。位于短軸的端點時，/OPR吟,

Asin'g

所以sin/OPF；=

a42

又橢圓的離心率0<e<l,

所以橢圓的離心率的范圍是

故選：D.

試卷第18頁，共37頁

8.（2020?北京市第一零九中學高二期中）在直三棱柱ABC-A8G中，若8C_LAC,

44=?,AC=4,4\=4,M為A4的中點，尸為朋以的中點，。在線段上,

AQ=3QC.則異面直線P0與AC所成角的余弦值為（）

A底口2屈「2屈八屈

13131313

【答案】D

【分析】

建立空間直角坐標系，利用空間向量計算異面直線所成的角即可.

【詳解】

解：以點C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系C-M，z,

則C((),O,O),44,0,0),網(),46,0),

例(4,0,2),42,2網，A(4，()，4),Q(l,0,l),

從而屣=(T—26,0),AC=(-4,0,0),

設異面直線PQ與AC所成角為凡由題意可得：

co,”即狗4一回

網X國一標x廠13"

故選：D.

9.(2018?北京海淀?高二期中(理))已知圓G：。-2)2+()，-3>=1,圓

22

C2:(x-3)+(y-4)=9,M,N分別是圓G，C?上的動點，尸為x軸上的動點，則以

|PM|+|PN|的最小值為()

A.572-4B.x/17-1C.6-272D.布

【答案】A

【分析】

求出圓C1關于工軸的對稱圓的圓心坐標A,以及半徑，然后求解圓A與圓C?的圓心距

減去兩個圓的半徑和，即可求出I9I+1川I的最小值.

【詳解】

圓Ci關于工軸的對稱圓的圓心坐標人(2,-3),半徑為1,圓。2的圓心坐標為。，4),半徑

為3,

易知,當知三點夫線時,易“1+1取得最小值,

I91+1PN|的最小值為圓A與圓G的圓心距減去兩個圓的半徑和，

22

即：|AC2|-3-l=7(3-2)+(-3-4)-4=5^-4.

故選：A.

10.(2021?北京?中關村中學高二期中)如圖所示，正方體4BCD-A8CQ中，點七是

棱CG上的一個動點，平面8ER交棱AA,于點尸，則下列命題中假命題是()

試卷第20頁，共37頁

A.存在點E,使得AGa平面4芯。￡

B.存在點E,使得B。/平面BERF

C.對于任意的點E,平面ACQ_L平面

D.對于任意的點￡,四棱錐的體積均不變

【答案】B

【分析】

當上為華的中點時，則「也為AA的中點，可證AC"j平面BED、八判斷A是真命題：

由印。與8R相交，判斷B是假命題；根據對于任意的點E,都有BRJ.平面AG。，判

斷C是真命題；根據勿-8m尸=VE_BBR+VF-BBR,而兩個三棱錐的體積為定值，判斷D

是真命題.

【詳解】

當￡為cq的中點時，則尸也為AA的中點，?.?""/AG，:?AG〃平面4EA產；故A

為真命題；

因為平面4"）尸，由正方體性質知々。與BR相交于一點，所以用。〃平面

BCC］用不正確,故B為假命題

平面AG。，BRu平面8區＞聲，.?.平面ACQJ.平面BED尸，故C是真命題；

???%?吟產%.叱+%-明.，???CCJMA〃平面因A，所以EE到面即已的距離為

定值，??四棱錐5-6。吠的體積為定值，故D是真命題

故選：B

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）

11.（2021?北京?牛欄山一中高二期中）如圖，正方體ABC。-44GA中，棱長為2.

（1）珂陽二

（2）若點￡在對角線。3上，則通.宿=.

【答案】84

【分析】

以。為原點建立空間直角坐標系，然后利用向量計算即可.

【詳解】

試卷第22頁，共37頁

以。為原點如圖建立空間直角坐標系，則4(2,0,0),R(0.0,2)，G(0,2,2)

所以AD；=(-2,0,2),AC；=(-2,2,2),所以9??宿=4+4=8

因為點E在對角線。B上，所以設七(〃,40),所以4百=(〃—2,〃,0)

所以荏.宿=-勿+4+勿=4

故答案為：8；4

12.(2021?北京?牛欄山一中高二期中)橢圓C：\左、右焦點分別

為耳(Y,o),5(。,0),點尸是橢圓c上點，軸，且NP6￡=45。，則橢圓C的

離心率為.

【答案】0-1或T+行

【分析】

設歸用=/〃，根據直角三角形為等腰直角三角形,得H|P同、恒閭,根據橢圓的定義

以及離心率公式求解即可.

【詳解】

在心△〃/SU中，設歸聞=〃?,

因為/尸鳥6=45°,所以歸閶="姓忻閭=加

故e=2==.

2a\PF}\+\PF2\m+可

故答案為：V2-1

13.(2021?北京市昌平區第二中學高二期中)直線機")，+2〃7-1=0經過一定點。，則

點C的坐標為,以點C為圓心且與)’軸相切的圓的方程為.

【答案】(-2-1)a+2)2+(y+l)2=4

【分析】

①化簡直線方程確定直線所過定點即可；

②根據點C的坐標得圓心的坐標，根據圓與y軸相切得半徑的長，從而確定圓的方程.

【詳解】

直線方程變形為：〃心+2)-(>+1)=0

所以直線過的定點為C(-2,-l).

即圓心坐標為C(-2-\),所以圓心到)，軸的距離為2

圓與)，軸相切時，圓的半徑為2

所以圓的方程為(X+2)2+G，+1『=4.

故答案為：①(一2,_|)@(、+2)2+()，+1)2=4.

14.(2021?北京?北大附中高二期中)已知二面角為銳角，平面夕的法向量為

-

n}=(73,(),-1),平面夕的法向量為〃2=-怖，則cos〈晨區)=,二面

角a-/一〃的大小為.

試卷第24頁，共37頁

【答案】一立9。

24

【分析】

利用空間向量夾角公式求解兩個法向量的余弦值，結合二面角&-1-〃為銳角，得到二

面角［-/-，的大小.

【詳解】

（點內,-1）（一冬；

_3_2

~2~2_V2

cos〈晨屋〉=胃告==

同?陶2722

設二面角大小為。（0<or<）,因為二面角。一1一力為銳角,故cosa=-cos〈晨胃〉

解得：a=）

4

故二面角口-/-6的大小為￡

4

故答案為：一旦,V

24

15.（2021?北京市昌平區第二中學高二期中）在平面直角坐標系中，定義

"67'）=|七-%|+|必-。1為兩點5（百，凹），7（巧，力）之間的“折線距離”，有下列命題,

其中為真命題的是___________.（填序號）

①若40,0),8(1,1),貝lJd(A8)=2；

②到原點的“折線距離”不大于I的點構成的區域面積為I;

③原點0與直線"3=。上任意一點M之間的折線距離4CM）的最小值為3,

④原點0與圓2尸+（..4-=］上任意一點用之間的折線距離d（O,M）的最大值為

6+叵.

【答案】①③④

【分析】

根據定義直接計算①，設點p(x,y)到原點的“折線距離”不大于I,即可得到N+NwI,

畫出圖象，求出面積即可判斷②，設”(x,x+3)即可表示d(O,M)再根據分段函數的性

質計算可得③，依題意設M(x,y),則"(o,M)=x+y,再利用點到直線的距離求出x+y

的范圍，即可判斷④；

【詳解】

解：對于①若40cd(AB)=|I-q+”q=2,故①正確；

對于②，設點P(x,y)到原點的“折線距離”不大于1,M|x-0|+|y-0|<l,即兇十加1,

則P點在下圖所示的平面區域內，則所圍成的區域的面積為2X；X2XI=2,故②錯誤;

2x4-3,x>0

對于③，設M(x,x+3)：則d(O,M)=k|+|x+3仁3,-3c<0,函數圖象如下所示:

-lx-3,x<-3

則4(O，M)mm=3,故③正確;

試卷第26頁，共37頁

對于④，因為圓(x-2)2+(y-4尸=1表示以(2,4)為圓心，1為半徑的圓，

設M(x,y),則d(O"W)=N+3=x+y,令%+y=z,則x+y_z=O

所以與，<1，解得6-點KZK6+&，即0。5。2=6+0，故④正確;

故答案為：①③④

三、解答題(共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程)

16.(21)21?北京?人大附中高二期中)已知復數2=(>+帆-6)+(〃，+m-21(〃7￡/?)在

復平面內所對應的點為A

(1)若復數z+4〃?為純虛數，求實數"，的值；

(2)若點A在第二象限，求實數〃?的取值范圍

【答案】

(1)-6

(2)(-3,-2)u(1,2)

【分析】

(1)先求得z+4〃z,根據其為純虛數，可得『：+"〃二610,即可求得加值.

(2)先求得點A在復平面內坐標，根據其在第二象限，可得“，2+即可求得

m~+m-2>0

m的范圍.

(1)

由題意得Z+4〃1=(〃「4-5/77-6)+("『+〃7-2)i,

因為Z+4〃2為純虛數，

所以收+5,610,解得吁6

m-+用一2/0

(2)

亞數z在平面內所對應的點為人(〃+〃1-6,而+〃-2),

因為點A在第二象限，

所以12「八，解得一3<"?<-2或1

m~+/?z-2>0

所以實數機的取值范圍為(-3,-2)U(1,2)

17.(2021?北京八中高二期末)己知△八8c中，4(1,一1),"(一1,3),-4=90,。在工軸上，

試卷第28頁，共37頁

點P是8c邊上一動點，點A關于。的對稱點為D.

(1)求BC邊所在直線的方程；

(2)當P與反C不重合時，求四邊形八4OC的面積；

(3)直接寫出麗?麗的取值范圍.

【答案】(1)3x+4y—9=0；(2)10；(3)[-5,45].

【分析】

(1)設出。點坐標，根據而.而=0求解出C點坐標，根據直線的點斜式方程可求8c

邊所在直線的方程；

(2)根據對稱關系分析得到乂皿=Sw)c，由此可求四邊形ABDC的面積；

(3)設出P點坐標，表示出。點坐標，根據坐標形式下向量的數量積運算求解出質.而

的取值范圍.

【詳解】

(1)設c(〃7.o),因為乙4=90。，所以福.祝=0，

又麗=(-2,4),而=(旭一1,1),所以福?前=2-26+4=0,

a_na

所以m=3,所以。(3,0),所以限=:三=一｝

-1-34

所以8C邊所在直線的方程為：y=-=(1-3),即31+4)，-9=0；

(2)因為點A關于夕的對稱點為且P在“'上，

所以A到所在直線的距離等于。到BC所在直線的距離，

乂因為SJBC,SDBC有公共底邊BC,所以四邊形S|H)邊形AMC=2S'ABC,

又因為A到BC所在直線的距離為鼠;*=2,BC=J(3-(7)y+(0-3『=5,

2x5

=

所以Spq邊形BADC=2sdic2x^~=1°：

(3)麗?麗的取值范圍是卜5,45].

(理由供參考：設尸產

,//ZG[-1,3]

k4

因為A關于P的對稱點為。，所以。寺也

2…g

2

33-9/7/6525〃?

所以在而=16-8〃?+

222

ee、，一一“J6525"1卜[—5,45],

又因為一1W〃?W3,所以------

所以畫型武―5,45]

18.(2020?北京市陳經繪中學高二期中)如圖，在四棱錐GAAE尸中，平面4HE凡L平

面ABC,△ABC是邊長為2的等邊三角形，AB//EF,ZABE=90°,BE=EF=lf點M

為3C的中點.

(1)求證：〃平面ACr；

(2)求證:AMA.CE；

(3)求二面角的余弦值.

【答案】

(1)證明見解析

(2)證明見解析

⑶空

7

試卷第30頁，共37頁

【分析】

(1)先證明。MEb為平行四邊形，證明〃產D,再證明出結論；

(2)以OC,OB,所在直線為羽y,z軸，建立空間直角坐標系，得到點坐標，再

證明/W.?在=0即可；

(3)求出麗?是平面5CE的法向量，再求出平面8C尸的法向量，利用夾角公式求出

即可.

(1)

取AC中點。，連結。M,DF,在三角形A4C中，DM〃A3且DM=；AB,

又因為A8=2E/=1,所以E尸二1AB,

2

又因為口〃48,所以DME廠為平行四邊形，所以￡時〃尸。，

又因為EMC平面AC凡。產u平面AC產，所以EM〃平面ACE

(2)

取中點。，連結。C,OF,因為三角形4BC是等邊三角形，所以AB=2,COLAB,

因為四邊形A8"滿足AN""',N/W￡=90°,Eb=Hb=\.

所以廠8=m=夜，FOLAB,又因為平面ABEF_L平面ABC,所以0尸_1_平面48(7：

以。C,OB,O尸所在直線為-y,z軸，建立空間直角坐標系，

則A(0,T,0),Mg;,0,C(V3,0.0),E(0JJ),4M=^y.|,0,C￡=(-73,1,1)

所以而7?方=-=+二=0,所以AM_LCE；

22

(3)

由(2)知，AM1CE,由已知可得AA/J_BC,所以A/4_L平面8CE,

所以說是平面ACE的法向量,又83=(6.-1.0).8尸=(0「1.1).

設平面BW的法向量為兩=（”?），則【"第="即

m-BF=O[-y+z=0

令x=l,得比=（1,6,6），

由—爭+泊25

8s〈AM，所〉=25=〒'

又因為二面角￡?BCF為銳二面角，所以二面角￡8C/的余弦值為也.

7

19.（2020?北京西城?高二期末）已知拋物線C：y2=2px（〃）0）,拋物線C上橫坐標為

1的點到焦點尸的距離為3.

（1）求拋物線C的方程及其準線方程；

（2）過（-1,0）的直線，交拋物線C于不同的兩點A,B,交直線工=Y于點E,直線

B廣交直線工=-1于點小是否存在這樣的直線/,使得QE//A/？若不存在，請說明理

由；若存在，求出直線，的方程.

【答案】（1）拋物線C的方程為V=8x,準線方程為戶-2；（2）存在直線產半（一1）

或片一半（工+1）.

【分析】

（1）根據拋物線的定義即可求得拋物線的標準方程以及準線飛航程.

試卷第32頁，共37頁

(2)設出直線/的方程丁=依工+1)(〃=0),聯立直線的方程和拋物線的方程，消去后

根據判別式大于零求得k的取值范圍，寫出韋達定理.結合/%〃"'得到直線OE與直線

A廠的斜率相等，由此列方程，解方程求得k的值，也即求得直線/的方程.

【詳解】

(1)因為橫坐標為1的點到焦點的距離為3,所以1+勺3,解得〃=4,所以丁=8%，

即準線方程為x=-2.

(2)顯然直線/的斜率存在,設直線/的方程為y=k(x+1)伏工。),A(x”y),8(孫/).

聯立得『",消去)'得0/+(2/2-8)"女2=0

y=k(X+\)

由A=(2欠2-8)2-4左，>0,解得42<k<41.所以且女xO.

由韋達定理得玉+x,=殳爭，%占=1.

k

直線BF的方程為y=告*-2),

X?一Z

又而=-1，所以%=言，所以Q(T言)，

電一ZX?一乙

因為。￡〃AR所以直線DE與直線AF的斜率相等

「~.-3k+3^-

又E(Y,-3k),所以4-2=.

-3X]-2

整理得人出+山小=安+鉀，

化簡得「門瑞」=等裝等小+…

所以‘簽=7,整理得公=：,

解得％=±3g.經檢驗,k=±空符合題意.

33

所以存在這樣的直線，，直線/的方程為)，—手(X+1)或y—乎。+1).

20.(2021?北京四中高二期中)已知在四棱錐P-/WCQ中，底面ABCZ)是邊長為4的

正方形，△24。是正三角形，CDJL平面A4。，￡F。。分別是尸。,口),8。,40的中

點.

(1)求證：PO_L平面ABCQ；

(2)線段％上是否存在點M,使得直線GM與平面EPG所成角為《？若存在，求線

O

段PM的長度；若不存在，說明理由.

【答案】

(1)證明見解析；

(2)不存在；理由見解析.

【分析】

(1)利用線面垂直性質和等腰三角形三線合一可得CD_LPO,PO1AD,由線面垂直

的判定定理可證得結論：

(2)以0為坐標原點可建立空間直角坐標系，i&PM=/pA(O<r<l)，利用f表示出匕力,

利用線面角的向量求法可構造方程，由方程無解可知不存在.

(1)

QVPAO為正三角形，。為AO中點，.?.？O_LAO；

?.?CO_L平面PAO,POu平面PAO,:.CD±PO；

???CRAOu平面A8CO,CDC\AD=D,/.PO_L平面A8CO；

(2)

試卷第34頁，共37頁

連接。G,fflOG/MB,:XX)LAD,

則以。為原點，礪.麗,而為樂FZ軸，可建立如圖所示的空間直角坐標系,

則40,0,2?,4(2,0,0),G(0,4,0),E(-l,2詞,尸(-1,0詞,

.?.中=(2,0,-2@EF=(0,-2,0),EG=(l,2,-x